一道IMO试题的又两种简证

题目:已知x、y、z)o,且x y十z一1,、_、一_,二_,7水址:U气xy十y二十zx一艺了yz哭不万 乙了 这是第25届I人了O试题.贵刊在1997年第2期和1998年第3期中分别刊登了董大禄,杨仁宽两位老师的简证,本人再给出两种简证.利用一次函数的单调性 证明:①当二、y、z中有一个为零时,不妨设二一。 /(y十z)21一7则了, 、忆 zx一Zx,z一v￡毯一一二<六,·、一护·一-·------一2-~44一27’原不等式成立.②当二、y、二中有两个为零时,不妨设x-y一。,则二y y二 二x一Zxy二一。,原不等式显然成立.③当二、夕、二全不为零时,由对称性,不妨设x)y)二,则。相似文献   

应用三角代换解题

一、证明不等式 例1已知护十5犷一4x,=2,求证:’!x十:}(2了了. 分析:将条件二’十5刀’一4T夕二2的左边配方,得(x一2必’十犷=2.由三角公式sin’8+eo:’口二1,想到(v/丁sins)’+(、/万cos的’二2,故可作如下三角代换,①、②联立解得{X=万二代入}x十川即可。 证明:由x’+5万’一连x万二2得仕一2妇2丫一2刀二了丁s笼no 万二训丁eos口,解得产!、、令 ,曰 一一 万 十令 fx一29== 场二了丁了丁s如力eos白 {认一二了了(51。夕+3cos口) 又夕二了丁co:日.,.}x十刀}=、/丁{5 in夕+3eos夕)=训百。、‘丁6{:;n(口+印)}①②解方程4二、l一“)-(1+x’)侧…     

1991年四川省初中数学联赛决赛

一、已知a为实数,且关于、的方程x“一ax十a二O有二实根a,民试证:a“+口艺)2(a+夕). 二、解关于实数x,夕,‘的方程(8‘xz一27万2+9梦z)2+(3yz一y之+2之2一8劣)2+9“6x一x 2. 三、如图,在△ABC外作△BPC,△CQA,△ARB,使匕PBC=匕CAQ=45。,匕BCpe二艺QCA=30“,乙ABR二匕BAR=15“.求证:△PQR是等腰直角三角形.即aZ+刀2+Za夕一4a)0今aZ+刀“一Za)0. 所以,a“+口2)Za=2(a+厅). 二、解原方程化为 (szx么一27封2+99之)2+(3夕乞一夕z+222一sx)“十(x一3)2=0.由非负数的性质,有{于一{“2么{“2歹‘一27犷龙”吧二U二\3互‘一夕之十22…     

错在哪里

一、湖南省式冈二中钟介澎来稿 题已知:x、y〔R,且尸十犷蕊1,求之=!x+,}+}y+1}一卜12y一x一4}的最值。 解:由已知可得,一1‘x成1,一1(夕(1,所以万十1)O,2万一x一4<0,并且一2成x十y镇2。 :=l、+万!+万+1一(2夕一二一4) =lx+万卜x一y+弓当x十,)0时, 之二x十夕十x一y+弓二Zx十5镇7当x十对簇O时, 之二一(x+互)+x一y+5 =5一翔)3故z的最大值是7,最小值是3。 解答错了!错在哪里? 错误的原因是把正方形区城A二{(芜,,)l一l‘工毛1,且一1镇;簇1}看作与圆面区城‘B={(x,夕)1扩+犷(1,二、万〔R}是等价的,而实际上是姓。B。 正确的解法是:%+对)O尸+对…     

如何求解有理分函数Y=a_1x~3+b_1x+c_1/a_2x~3+b_2x+c_2的极值

我们知道,求形如梦-a,xZ+乙,x+e,a Zx’+石Zx+cZ(a,,a:不同时为零)且函数定义域为a:工’+西2。‘2年。的实数的函数的极值,是用判别式刁方等实根的充要条件是(朱)2十法,通过求函数的值域,然后求得函数的极值的。例1求函数夕 xZ一x+1一‘xZ十x+1的极值.召1 Cl夕2 cZ欢】·】翻>。· 解:丫又少x任R都有扩+x十1>o,:.函数定义域R.去分母变形为(,一1)护一卜(;+1)x十刀一1二0当夕一1子。即夕铸1时,由x任R得① 刁解之得=(方+1)’一4(夕一z)’》0.告《万(3。当穿=1代入方程①得x二O任R.二函数召的值域为一登(万簇3.故函数的极值为穿。i。=合,…     

不等式中参数最值的一种求法

我们知道若:,,是两个变星,鲡。,歹~存在,则有卜列等价关系成立: x)夕,李二今“。)夕寸=当二飞飞知“ 李劣、几“。)夕。:. 利甲卜面等价关系来求解形如: 了(x,夕,:,…)扮匆(J.梦,:,…)的不等式,}‘的冬数认的最流既方便(实川.其主要思想方法是将所求参数最流问莎转化为求函数的最依问题.卜而借助实例简介具体求法. 例l对正数,,,,求使下等式:、丁二、万‘。、万石成立的最小正数二 口2年上海市高三数学竞赛题) 解:将原不等式“1,的鸟数分离,使其符合等价关系的形式.即原不等式等价于:(:2十犷十矛)2‘,L」:_*一丁下产不下一三一廿,月泛人l几…     

课堂练习点滴

在进行二元一次方程组的一次课堂练习中,我让同学们解以下几个不同的方程组:Zx+3夕=gx+5犷=X一夕-4x+5犷-3__.13_.5万石十瓦万=主瓦, 41粤二+, J 2~了;nx+(n一2)召二n一4,沈x十(m十3)g二m十6。z!l|几Z.J尸、we.、 . 9习 .夕.每‘月任,二护!JI、 . 曰.二 当同学们在解完上述各方程组后,都感到奇怪,为啥答案都是{二二万‘,这样激发了学生的求知欲望,迫切希望探求其中的规律.于是我就引导启发大家观察分析上面所列出的各方程组.发现所给出的各方程组中的未知数x和y的系数及常数项,都是按等差数列的规律列出的.如第一个方程组的方程,2x十3万…     

观察联想 妙用公式

“目已知召一斤十厅+l,那么号十最+奋-—·(2 000年全国初中数学竟赛尾) 分析若直接代人求值,运算非常繁琐.如果结合题目特点,注意到a一(犷百),+产夕万+1,联想立方差护一1~(二一1)(砂十x+1)的结构,则可化萦为简,别开生面. 解,.ta一(夕一乏一)2十,犷百+1,, :.心了万一1)a~(夕万一1)【(寻布百),十夕万+12〕-扩万)3一i,~2一i=1.:.生+1一夕万.两边立方,得泰+子+立+1一2.3 .3万十歹+典~1(浙江省温岭市铭屏镇二中李锦燮)观察联想 妙用公式@李锦燮$浙江省温岭市锦屏镇二中~~…     

例谈“a~2+b~2=0”在解题中的应用

若a、b为实数,且彭十夕一o,则a一O且b一。.在解题中若能充分利用这一结果,将会使一些看似无从下手的问题迎刃而解.请看以下例题. 例1已知实数x、y满足尹+少一Zx十4y+5一0.求x、y的值. 分析一个方程,求两个未知数,似乎无法求出.但将条件中的5拆成1+4,通过分组结合,可变形为矿+夕一。的形式,即可分别求出x、y的值. 解将原式变形为 (xZ一Zx十1)+(犷+4y+4)一O, 即(x一1)2+(少+2)2=o, :。x一1一O且y+2一O, 解之得x一1,y-一2. 例2如果实数x、y满足等式:Zx+扩+才犷+2一一Zxy,那么x+y的值是(). (A)一1(B)0(C)1(D)2 (1993年全国“希望杯”数学…     

三元二次齐式因式分解一法

对三元二次齐次多项式f(:,,::,x3)二a;,:,“亡不12苏J工二 2+a 2 3xzzs+aZs刃之xs+as3x3-+a:,x里我们有 定理f(::,x:,x。)能分解为实系数多项式b,二,+b:x:一卜b。x3与。,x,+。:x:+。:x3之积的充要条件是 f(o,:2,::)=(b:x:+b。x3) ·(。:::+e 3 x3), f(二:,o,x3)=(占,二工+西3二:) ·(e工x,+。,x3), 了(:,,::,o)=(乙,:,+b::2) ·(。Zx王+。:x:). 证:必要性显然.将三个恒等式展开比较系数即得充分性, 例1.分解因式: 2劣2+xy一3y艺+3xz+7夕之一2之2. 解:以f(二,歹,习记原式,则 f(o,夕,z)=(一夕+2:)(3夕一:), f(:,o,z)二(:+22)(Zx一:), f(x,y,…     

利用因式分解求不定方程整数解

因式分解的应用很广,本文举例说明它在求不定方程整数解中的应用. 例1求方程尹一少一12的正整数解. 解原方程可化为 (x十y)(x一y)~12. 而12一1 x12~2x6一3x4,因为x+y、x一y奇偶性相同,{x+’一“,}x一y一2,x一4,y一2.:.原方程的正整数解是x~4,y一2.例2求2尹一xy~10的正整数解.解原方程可化为 x(Zx一y)~10.而10一1 x10~2 xs,x、y是正整数, {百- 人‘义一10 y-10,19,Zx一y5, 是原方程的正整数解.8若x>y>。,求xs+7y一犷十7x的整数解.之y-"!3 原方程化为: 护一少一7x+7y一0, (-r一y)(了十艾y+犷一7)一。望>夕>O,…了一y护O,丫+艾y+犷一7.x>y>O,…     

初二(上)数学期中测试题(满分100分)

一、选择题(每小题2分,共2O分) 1.下列变形是因式分解的是(). (A)(a+1)(a一1)=aZ一1 (B)a“一Za一3=a(a一2)一3 (C)尸干尹y一工犷一犷一了气二十y)一少(x+y) (D)1一己2+2口b一bZ=(1+口一b)(l一a十b) 2.把一。xy一ax沙,+Zaxz提出公因式后,另一个因式是(). (A)y+x犷一2二(B)y一x少十2二 (C)一y+护y一22(D)xy+护犷一Zxz 3.在下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(). (A)100己4一36b5(B)一64x2一25y2 (C)一8了,”十Zx月一2夕月+2(D)4(工一少)2+(少一x丫 4.多项式彭一砂一矿+1的值(). (A)不小于零(B)小于零(C)大于零(D)不能确定 5.…     

用拆项法求分数项数列前n项和

1.直接拆项求和i一犷 + 劣 了气例1.求和尽。钊:+立一)+ 歹十。。。一卜 1‘留”十丽一解(劣,鱿=l) 夕一1军”(军一1),(公二1,夕戈1)S”==劣(]一劣n)一r 1.,1一工(x今1,夕,1)毛些卫丝斗1一劣 参一1夕”(今一1)(劣戈1,夕戈1.)2.用部分分式拆项求和~盆_。_、_。1”IJz·水利巧”二不可嘴’万l十 1+一丽不万灭而石犷’/..、114解S,=之).,11\十、—一尸二户少 5日+。二十(一生一-一-二一)一4几一34界+1〕 几石万‘ 一般地,若a:,aZ,数列,a,戈0,花=1,2,得: 一生一+卫匕+.” 口x口2口2口3a,,…为等差公差为d,则易 1十一 口”口”+l 件一一, G工…     

二元代换巧解无理方程

例1解方程了乏万二飞一了歹干丐~1(初中《代数》三尸131例1).解:设厂狂二飞~。,丫牙干丐-a一b一1,aZ一bZ~(Zx一4)一(之 5)二(2)十(1),得a十b由(1)、(s)得a~三~x一9,一82b.则 (1):x一9, (2) (3)x一8 2解得二:一4,x:~20.经检验,x:一20是原方程的根.例2解方程丫9一Zx 丫3一Zx二3罕/丁.解:设存=不~a,召了二花呀~b.则a b~3护厄~,(:aZ一bZ~(9一Zx)一(3一Zx)=6,(:(2)十(1),得a一b=了了,由(l)、(3)得a一2杯万:.丫可=丽二2了万~,:.212’经检验,二一音是原方程的根·例3解方程了3二2一sx十7一了3x“一7x十6二解:设了3扩一5x十7一a’丫3x“一7x 6,b…     

助你熟记英语单词

看图速记英语单词:、:冬左十乞十 州卜冲叼十州卜“神”咔一卜一十加冲~卜一十一十一刊卜”十”十.“十崎一十一十十时叫卜一神冲”~卜时叫卜一十~十~叫卜“十”一十①1十1一2②2一1~1③2火3一6④6分3一2⑤lal⑥二犷.打犷一~。1,(习O一兀不又a~f--口少n 一乙⑧aZ⑨a3⑩Zx+3一x一5⑩20%~1{这旦一下,一U. 乙4,卞丰+人了‘·十几+:吝去留甚甲忿十一5,‘二并V@⑩)二}一一势(仁‘颐@匆⑩颐O1,2,3,…一1,一2,一3,…@⑩⑩⑩音,O·‘,5,”‘厂·++·十。+名+‘++召+十十十:十干:十气·十二十+十一十一十一+一十一十二十二十一十十t.十一十一十~十…     

配方法应用2例

例1要使代数式厂+犷一14x+2夕十50的值为O,则二、y的取值为.(1995年重庆等五市联赛题) 解尹+了一14二+Zy+50一o, (工一7)’十(夕十1)2=0. :.x~7,y-一1. 例2怎样的整数a、b满足不等式澎+3b,十6相似文献   

数学分层优化设计(一)(北师大版 整式的除法,第一章综合)

一、填空题1 .6x“令(一Zx)-2.一as十(一a)2-·(一3·2“·,3二(一告a4oZ)一·(普二2一4了3,2)、(一2二2)-女口果一2以3阴b4与普。6b4·是同类项,那么阴 儿-9x2 mxy 4犷是完全平方式,则m一_一4X2(一1 2￡一专XZ)一—·二、选择题8.下列计算,结果正确的是A .8尹一2扩一4C.(一Zxz夕2)3令(一砂)3=一2x3夕3“·‘。二6令5X3一音X3D·(一xyZ)令(一x,y)-一犷若x爪丫、今二3, 任A .m一6,n一1一4尹则B.m~5,n一1C .m一5,n一0 D.m一6,n一O下列式子运算正确的是(一a4)一(一a)“一a“10A.C.(6 xy3)2一1若(m十5)m 1Zx乙夕tiD·M一m“ 4m一5,那么…     

一元二次方程有一根为1的条件

一元二次方程二x2+b二+c一O(a笋0)有一根为1的条件是a+b+c一0.利用这一结论可以简便地求解有关问题.现举数例如下. 例1已知方程尹一(3+、厂丁)x十k十2一。的一个根是1,求另一根和k的值. 解丫1是方程的根,…1一(3十、厂牙)+k+2一0.解得k一丫万.设另一根为。,则。+1一3十、厂了.…。一2+了万. 例2锐角。、夕是三角形的两个内角,且tga、tg月是方程3扩一(3十匀/万~)二十、厂舀一。的两个根,求第三个内角的大小.解丫3一(3+、乓)+、/了一。,…1是方程3x,一(3十丫万)x+、万一。的一个根.~一_~。~、,。.,,、乓.毛史刀毛晃阳力一引比;刀m,贝组m’1--…     

一元一次方程综合检测题

兮髯兮岁淤麟蔡色念邻参秘粼一蠢选择题1.下列方程中不是一元一次方程的是(). A .4x一l二九B.3%一2x=7 C.无一2二OD.怎二)么已知(。十2卜2+5砂一3一2二3是关于、的一元一次方程，则。和m的值分别为(). A .2和4B.一2和4 C.2和一4D一2和一4 3.将方程3x一5=7+2x移项后得().署戒鑫禽一礁饰令雀酥肴蔺哪寥A .3x一2%=7一5 C .3x十Zx二7+5 4.关于x的方程A .IB一1 5.将方程些二旦二2 A .3x一3=1十2戈C3%一3=2十2戈x一a=7 C5 1十Zx 6 B 3x+Zx=7一5 D .3x一2{丫二7+5的解是x=2，则a的值为( D.一5去分母后可得(署犷鸳犷护B .3%一9=1+2久; D .…     

算术平均值代换法

例1.分解因式:(xZ一劣+15)(劣2一x一5)+51解令夕二忿念一劣十15+劣2一劣一5=劣名一劣+5.则原式=(夕+10)(夕一10)+51二夕2一49 =(军一7)(夕+7) =(劣一2)(劣+1)(劣2一2+12)。例,·求{劣‘+犷4”272’劣一歹二2的实数解. 解设:二宁,结合‘一;第1式化为(:2一9)(22+25)=o,=2,方程组士3.故得两组解:一2,一4;=4,=2。二X夕之了,、、例3.已知劣,+劣:十.)为实数。求证:==1,名2蕊劣万。劣护..、几+端‘专十十”·十吐(等式当且仅当::二‘二二劣.二告时成立,· ﹂贝1一扩 +1 .1 劣 一一解设劣‘…+:二二0.因此 十‘护全 劣 十I‘1 劣+:盖 . . .十名注 …