几何题中的直径应用例说

圆的直径具有许多重要的性质,巧妙地应用这些性质,可使很多问题简捷获解。 1.应用“直径所对的圆周角是直角” 例1 如图1,AB为⊙O_1与⊙O_2的公共弦,经过点B的直线和两圆分别相交于点C和D,AM、AN分别是⊙O_1与⊙O_2的直径. (1)求证:△AMC∽△AND; (2)设AC:AD=3:2,AM AN=12,分别求两圆的直径.     

巧用中线长定理解题

中线长定理又称Apollonius定理,关于此定理的一些基本应用可见1995年《中等数学》第1期,现再举一例: 直线上有四个点A、B、C、D,AB:BC:CD=2:1:3,分别以AC、BD为直径作⊙O_1、⊙O_2,两圆     

对一道几何题的思考

问题:已知⊙O_1的半径为3,⊙O_2的半径为1,圆心距为7.求与⊙O_1外切且与⊙O_2内切的⊙O 的半径. 对于此题,绝大部分学生会作出如图所示的图形,从而求出⊙O 的半径为2.5.现在的问题是与⊙O_1外切的点 A 和与⊙O_2内切的点 B 是否与 O_1O_2共线?上述的解答默认 O_1、A、O_2、B 四点共线.由两圆相切的性质知.O_1、A、O 三点共线,O、O_2、B 三点共线,但由此并不能推得 A、B 与 O_1、O_2共线,自然地我们就会问:满足本题条件的⊙O 唯一吗?回答是否定的.     

由圆生成椭圆再生成圆——2010年全国高中联赛江西预赛第10题的探究

众所周知,在包含于椭圆C：（x~2）/（a~2）＋（y~2）/（b~2）=1（a〉b〉0）的所有圆中,最大的圆是⊙O_1：x~2＋y~2=b~2,而在包含椭圆C的所有圆中,最小的圆是⊙O_2：x~2＋y~2=a~2,由⊙O1经过横向伸缩变换可以变为椭圆C,而椭圆C经过纵向伸缩变换可以变为⊙O_2,是否有其他途径实现由圆⊙O_1变为椭圆C,再由椭圆C变为⊙O_2呢？让我们的探究从2010年全国高中联赛江西预赛第10题的别解和变式开始.     

浅谈平几中证四点共圆的方法

平面几何中利用四点共圆可解决一些类型的证明题。比如证明角相等,线段相等,两直线平行或垂直等。因而四点共圆问题在初三圆这一章中占据着相当重要的地位,现根据本人教学中的粗浅体会,把平几中证四点共圆的方法整理归纳如下: 方法一:定义法若四点到一定点的距离都等于定长,则这四点共圆。例1 已知:⊙O_1、⊙O_2、⊙O_3、⊙O_4都经过A、B,在BA的延长线上任取一点P,过点P分别作⊙O_1、⊙O_2、⊙O_3、⊙O_4的切线,切点分别为C、D、E、F(如图一)求证:C、D、E、F四点共圆。证明:∵⊙O_1、⊙O_2、⊙O_3、⊙O_4都经过点A、B,PC、PD、PE、PF分别与⊙O_1、     

擂台题(22)及部分据本巧设题的评注

擂题(22) (赵振华提供,刊于1996年第5期) 如图PE、PF和PMN分别是⊙O的切线与割线,EF交MN于点H,⊙O的直径AB垂直于MN。HA、HB分别为⊙O_1、⊙O_2的直径。PE、PF分别交于⊙O_1、⊙O_2于点D、C。证明或否定:A、B、C、D四点共圆。     

数学问题与解答

476.如图1,⊙O_1交⊙O_2于P、Q,点A在⊙O_1上,点D在⊙O_2上,射线PA、QA、PD、QD各交圆于B、C、E、F,证明:△ABC与△DEF的外接圆是等圆。     

从一道中考题谈起

山东省1992年有这样一道中考试题例1 已知⊙O_1与⊙O_2相交于A、B两点,过点A作⊙O_2的切线交⊙O_1于C,直线CB交⊙O_2于D,直线DA交⊙O_1于     

数学竞赛专栏

有奖解题擂台(22)河南师范大学附中赵振华(邮编:453002)如图,PE、PF和PMN分别是⊙O的切线和割线,EF交MN于点H,⊙O的直径AB垂直于MN,⊙O_1、⊙O_2的直径分别为HA、HB。PE、PF分别交⊙O_1、⊙O_2于点D、C。证明或否定:A、B、C、D四点共圆。     

逐步扩散的两组练习题

为了诱导学生进行综合练习,开扩视野,提高分析问题和解决问题的能力,我在初《几何》第二册P_(122)“两圆的公切线”一节教学后,编串了下面一组练习题: 1、如图(1),⊙o_1与⊙o_2外切于P,过P点的直线分别交⊙o_1于A,交⊙o_2于B,Q为两圆外任一点,连结QA、QB分别交⊙o_1于C、交⊙o_2于D。求证:P、D、Q、C四点     

一道中考试题的几种解法

浙江省1989年初中中专(技校)招生统一考试第六题:“图1,半径都是5cm的⊙O_1和⊙O_2相交于点A、B.过A作⊙O_1的直径AC与⊙O_2交于点D,且AD:DC=3:2.求:(1)AD的长;(2)AB的长.”参考答案的两种解法是: 解法一:如图2(1)AD DC=10 AD:DC=3:2(?)AD=(2)连结CB并延长与⊙O     

用图形变换求阴影部分面积

正求图形阴影部分面积的问题,一般都是运用转化的数学思想。因为通常给出的阴影部分都是一种不规则的几何图形,往往是通过拆分或拼凑,将它转化为一个或几个规则图形来求解的。如图1,AB是⊙O_1的直径,AO_1是⊙O_2的直径,弦MN∥AB,且MN与⊙O_2相切于C点。若⊙O_1的半径为2,试求O_1B、BN、NC、CO_1所围成阴影部分的面积。在本题中,需要作出三条辅助线:连接O_1N、O_2C,过O_1作O_1D⊥MN于     

两个公差之比的几何意义及其应用

解析几何中的中点坐标公式大家是十分熟悉的:由这个公式易看出一个事实,即x_1,x,x_2;y_1,y,y_2两组数都是等差数列,不妨设其公差分别为d_1,d_2。本文的目的在于探讨这两个公差之比的几何意义及其应用。设P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)分别是直线l与二次曲线C的两个交点,P(x,y)为P_1P_2的中点,则d_2/d_1就是弦P_1P_2的斜率k。这一几何意义是不难证明的事实上,d_2/d_1=(y-y_1)/(x-x_1)=k。     

关联三个圆的一个定理

定理 圆内接折四边形ABCD,边AB、CD交于点H(图1).O、R分别是外接圆的圆心和半径.O_1、O_2,r_1、r_2分别是△ADH和△BCH的内心和半径.O到O_1、O_2的距离分别为d_1、d_2,则     

一道IMO题的探讨

题已知A为平面上两个半径不相等的圆O_1和圆O_2的交点,外公切线P_1P_2的切点为P_1、P_2另一外公切线Q_1Q_2的切点为Q_1、Q_2,点M_1、M_2分别为P_1Q_1、P_2Q_2的中点.求证;∠O_1AO_2=∠M_1AM_2(如图)这是1983年第24届国际数学奥林匹克竟赛试题的第2题.笔者对该题的证明思路、方法及结论进行了探讨,并加以改造.认为此题内涵丰富,证法灵活多样,而以下法最巧:     

一道几何例题的开发

现行初中几何第二册p124上有这样一道例题,如图1,⊙O_1和⊙O_2外切于点A,BC是⊙O_1和⊙O_2的公切线,B、C为切点。求证:AB⊥AC。此题貌似平常,但只要我们对其作深入的发掘,便能得出一系列有趣的结果,这对于激发学生的学习兴趣,培养学生的能力是极为有益的。首先我们给出三个有别于教材的简单证明。证法一:如图2,连结O_1O_2,O_1B,O_2C因为BC是两圆的公切线,所以O_1B⊥BC,     

一道平几例题在解题教学中的作用

九年义务教育新教材《几何》第三册第44页有这样一道例题:已知,⊙O_1和⊙O_2外切于点A,BC是⊙O_1和⊙O_2的公切线,B,C为切点。求证:AB⊥AC。这是一道直线与圆及圆与圆的位置关系的综合题,目的是复习与巩固上述位置关系的知识点。近年来,许多中考题就是由此题演变而成的。笔者认为,教师在课堂教学中抓住这种典型问     

由一组相切的圆的半径而引出的一组数列

“已知如图各圆两两相切,⊙O的半径为2R,⊙O_1,⊙O_2的半径为R,注⊙O的半径。”这道题是义务教育三年制初中教科书《几何》(第三册)(人教版)第152页的第5题。为以下讨论方便,我们设⊙O的半径为R,则四⊙O_1,⊙O_2的半径为r/2号;并设⊙O _3的半径为r_3,则由图中可知:(R/2)~2+(R-R_3)~2=(R/2+R_3)~2,解得:R_2=R/3(因为OO_3⊥O_1O_2)。 现在我们对这道题进一步研究,能否求出与⊙O、⊙O_1、⊙O_3都相切的⊙O_4的半径?回答是肯定的。设⊙O_4的半径为r_4,并设∠O_1OO_4=a,如图,则∠O_3OO_4=90°-a,由余弦定理得:     

再论由一组相切的圆的半径而引出的一组数列

笔者曾在《黔东南民族师专学报》(自然版)1996年第1 ,2期合刊上论证了由·O,(?)P_1,(?)P_2围成的区域中,从(?)P_1起顺次相切的圆的半径构成一组数列.为下面讨论方便。设(?)O的半径为1,则(?)P_1,(?)P_2的半径均为1/2,那么上面那组数列是:1/2,1/3,1/6,1/(11),…,通项是:1/(n~2+2)=0,1,2,…).现在问题是在这组两丙相切的圆中,还有没有其他一些圆的半径也构成数列?回答是肯定的.如图:由(?)O,(?)O_1,(?)P_2围成的区域中,从(?)P_2起顺次相切的圆的半径也构成一组数列:1/2,1/6,1/(14),1/(26),…,其通项为1/(2n~2+2n+2)(n=0,1,2,…)读者可以仿文[1]的方法给出证明.现在证明由(?)O,(?)O_1,(?)P所围成的区域中,(?)O_1起顺次相切的圆的半径所组成的数列.设这组圆的圆心分别为O_1,O_2,O_3,…,O_n,(?)O_1OP=α_1,(?)O_2OP=α_2,(?)O_3OP=α_3,…,(?)O_nOP=α_n,先计算(?)O_2的半径,设(?)O_2的半径为x,由余弦定理,得     

1997年高中联赛二试(1)题另解

题目:如图,已知两个半径不相等的⊙O_1与⊙O_2相交于M、N两点,且⊙O_1、⊙O_2,分别与⊙O内切于S、T两点,求证:OM⊥ MN的充分必要条件是S、N、T三点共线。 证法一:(姜