谈圆外切闭折线的奈格尔点的性质

文献[1]建立了圆外切闭折线的奈格尔点的概念,并研究了它的若干性质.本文对圆外切闭折线的奈格尔点的性质作进一步探讨.首先引入圆外切闭折线的奈格尔点的定义. 定义[1] 设闭折线1231nAAAAAL(以下简记为()An)外切于⊙(,)Ir,以圆心I为原点建立直角坐标系xIy,设顶点iA的坐标为(xiy)(i=1,2,L,n), 令 1nNiixx==, 1nNiiyy== (1) 则点N(,NNxy)称为闭折线()An的奈格尔点. 定理1设闭折线()An外切于⊙(,)Ir,其奈格尔点为N,设闭折线的内角11iiiAAA-+=qi(1,2,,in=L,且0A为1,nnAA+为1A), 则 2222122(1)cscnijijniANAAnr??+=-邋…     

平面闭折线的两个有趣的性质

本文揭示任意平面闭折线的两个非常有趣的性质.为了叙述简便起见,我们约定: (i) 符号()An表示任意一条平面闭折线 1231nAAAAAL; (ii)()An的所有顶点组成的集合,称为()An的顶点全集,记作nV,即 123{,,,,}nnVAAAA=L; (iii) 设1mn?,由()An的任意m个顶点组成的集合,称为()An的顶点子集,记作mV其余()nm-个顶点组成的集合,称为mV的补集,记作mV,即 mmnVVV=U. 定义 在闭折线()An所在的平面内,以任一点P为原点建立直角坐标系xPy,设()An的顶点iA的坐标为(,)(1,2,,)iixyin=L,对任意给定的正整数k, (1) 令11niixxk==,11niiyyk==, ① 则…     

七谈圆内接闭折线垂心的性质

在拙文[1]~[6]中,我们对圆内接闭折线垂心的性质已作过多方面的探讨.这里再作点补充. 为了叙述简便起见,本文约定:符号()An表示内接于⊙(,)OR的任意一条闭折线 1231nAAAAAL. 从闭折线()An的n个顶点中,任意除去两个顶点jA和mA,其余(2)n-个顶点组成的集合,称为()An的二级顶点子集,记作(1jmV j)mn相似文献   

直顶闭折线及其性质

众所周知,直角三角形的垂心就是这个直角三角形的直角顶点. 据此,应用类比方法,我们可以建立“直顶闭折线”概念,并探讨其性质.为了叙述简便起见,我们约定:符号()An表示平面闭折线1231nAAAAA鬃? 定义 设闭折线()An内接于⊙(,)OR,若它的垂心H是它的某个顶点,不妨设为1A,则()An称为直顶闭折线,1A称为它的直顶点. 显然,按这个定义,直角三角形是最简单的直顶闭折线,直顶闭折线是直角三角形的一种推广. 直顶闭折线具有下列有趣性质: 定理1 设()An是直顶闭折线,其直顶点为1A,外心为O,则其顶点子集23{,,,}nAAA鬃椎闹匦?G与外心O重合. 证…     

欧拉圆心与顶点重合的闭折线的性质

顶角为120°的等腰三角形有一个不太引人注目的奇特性质(根据欧拉圆的定义容易验证):它的欧拉圆心恰与等腰三角形的顶点重合. 本文研究一般的圆内接闭折线当它的欧拉圆心[1]与某一顶点重合时的特殊性质.为便于叙述,特作如下约定: 符号⊙(,)OR表示平面内以点O为圆心R为半径的圆;符号()An表示任意一条内接于⊙(,)OR的闭折线1231nAAAAAL;平面内以()An的外心O为原点已建立了直角坐标系xOy. 定义 (I)由闭折线()An的任意(1kk# )n个顶点1'A2,',A…,'kA所组成的集合{1'A2,',A…,'kA}称为()An的一个顶点子集; (II)设闭折线)(nA的任意一个…     

平面闭折线k号心的几个性质

本文约定:(i)符号()An表示任意一条平面闭折线1231nAAAAAL;(ii)从()An的n个顶点中,任意除去两个顶点jA和mA(1jm相似文献   

关于圆外切闭折线的一个性质

对于三角形,下面的结论是熟知的[1]: 命题1 平分三角形的周长和面积的直线必经过三角形的内心. 这一性质可以推广到任意的圆外切多边形中[1]: 命题2 平分圆外切多边形的周长和面积的直线必经过三角形的内心. 本文拟将这一性质作进一步推广,证明关于圆外切闭折线的一个性质. 约定 符号121nAAAADL表示闭折线12AA 1nAAL的有向面积[2],ABCD表示△ABC的有向面积. 定理 设闭折线121nAAAAL有内切圆⊙(,),,IrMN分别是边12AA、1kkAA (1,kn相似文献   

一个三角形定理的推广及应用

美国数学家R.A.约翰逊在其名著[1]中,介绍了如下一个优美的三角形命题:定理1设△ABC内接于⊙(O,R),其重心为G,则221(222)OG=R?9AB+BC+CA.本文拟应用向量方法,将这个定理多方位地推广到一般圆内接闭折线中,并举例说明推广命题的若干应用.为此,我们约定:符号A(n)表示任意一条平面闭折线A1A2A3L An A1.定义设闭折线A(n)内接于(O,R),对任意给定的正整数k,若点Q满足11niiOQ OAuuur=k∑=uuuur,①则点Q称为闭折线A(n)关于点O的k号心.按这个定义,容易验证:圆内接闭折线A(n)关于其外心O的1号心、2号心和n号心,就是A(n)的垂心[2]、欧…     

圆外切闭折线的一个奇妙性质——一个三角形定理的推广

美国数学家R.A.约翰逊在其名著[1]§363中,介绍如下一个优美的三角形定理:定理1设△ABC三条边BC、CA、AB的中点分别为D、E、F,则△ABC的内心是△DEF的奈格尔点.本文拟应用向量方法,将这个定理推广到一般圆外切闭折线中.为了叙述简便起见,我们约定:符号A(n)表示任意一条平面闭折     

广义回形折线的环数与内角和

本文所述的闭折线都是平面闭折线 定义1 设M是闭折线A_1A_2A_3…A_nA_1所在平面内的定点,动点P沿着这条闭折线的边A_1A_2、A_2A_3、…、A_nA_1依次行进,若定点M始终处于动点P行进方向的左侧(或右侧),则M称为这条闭折线的同侧点,有同侧点的闭折线称为广义回形折线。     

三角形垂心定理的再推广

在拙文[1]中,我们曾利用坐标法,将三角形垂心定理推广为定理1设闭折线A(n)内接于⊙O,其二级顶点子集V jm的垂心为H jm,过点H jm作直线A j Am的垂线l jm,则诸直线l jm(1≤j相似文献   

圆内接闭折线垂心的一个性质的推广

从闭折线123nAAAAL的n个顶点中任意除去(1)kkn?个顶点,那么其余()nk-个顶点所组成的集合,称为这条闭折线的k级顶点子集,记为()jkV.文[1]研究了(3)jV的一个性质.本文将其推广到k级顶点子集,并作出更深入的分析. 定理1设闭折线123nAAAAL内接于⊙(,O)R,其垂心[2]为H,其k级顶点子集()jkV的垂心为()jkH,除去的k个顶点为12,,jjAA12,(1)kjkAjjjn?<<L则 22()1mljkjjmlkHHAA相似文献   

圆外切闭折线一个奇妙性质的推广

在拙文[1]中,我们曾将三角形的一个奇妙性质推广到一般圆外切闭折线中,得到了如下命题:定理1设闭折线A(n)外切于⊙I,其一级顶点子集V_j的2号心为B_j(j=1,2,…,n),则闭     

错在哪里

一、江苏淮阴县淮海中学宋丁全来稿题:在边长为1的正三角形内,有两个l圆相外切,而且它们分别和三角形的两条边相切,求两圆面积之和S的最值。解如图设⊙O_1、⊙O_2的半径分别为x、y(不妨设y≥x)则由题意可得 S=π(x~2+y~2) ① 3~(1/2)(x+y)+2((xy)~(1/2))=1 ②     

闭折线K号心的一个重要性质

设A(n)表示平面内任意一条闭折线A1A2…AnA1.由闭折线A(n)的任意m(1≤m≤n)个顶点组成的集合称为闭折线A(n)的顶点子集.把闭折线A(n)的所有顶点组成的集合Ω=A1,A2,,An(称为A(n)的顶点全集)任意分成两个非空集合Ω1、Ω2,则Ω1、Ω2称为闭折线A(n)的互补顶点子集.     

皮克定理的推广

由[1]我们知道格点多边形的面积公式,即:皮克定理如果格点多边形A1A2A3An面积为A,内部格点数和边上格点数分别为N和L,则12A=N L?.本文试将上述公式推广到格点广义回形折线.定义若广义回形折线的顶点全是格点,则称之为格点广义回形折线.(关于格点广义回形折线及其面积等概念,请参看文[2])定理若k环n边的格点广义回形折线A1A2A3An A1(简记为A(n)k)的同侧域至少包含一个格点,则该广义回形折线的面积为1()(1)2njk jjLA n N=?=∑ ?其中N j、L j分别为A(n)k的第j层多边形内部和边上格点数.证明如图,设格点M是封闭折线A(n)k的同侧点.由文…     

半正多边形

若干条线段首尾顺次相接,构成折线,每个顶点都关联两条边的折线,称为闭折线,无自交点的折线称为简单折线,简单闭折线称为多边形。如果折线一条边的两邻边折向同侧,就称之为单折边,否则,称为双折边。     

六谈圆内接闭折线垂心的性质

关于圆内接闭折线垂心的性质,我们已作过多次探讨(见拙文[1]～[2]),这里再作点补充.为此,先建立如下概念: 定义1 在△OMN所在的平面内,以顶点O为原点建立直角坐标系xOy,设顶点M和N的坐标分别为(,)MMxy和(,)NNxy,那么式子 1()2MNNMxyxy- 的值称为△OMN的有向面积,记作OMND, 即 1()2MNNMOMNxyxyD=-. 定义2 △OMN的有向面积的绝对值称为△OMN的面积,记作'OMND,即 D'||OMNOMN=D. 容易验证(这里从略):按上述定义确定的三角形面积,与平面几何里所说的面积是完全一致的. △OMN的方向规定为 OMNO,当这个方向为逆时针…     

垂心闭折线及其性质

本文约定:符号A(n)表示内接于⊙(O,R)的任意一条闭折线A_1A_2A_3…A_nA_1。定义对闭折线A(n),设其顶点全集的最大真子集{A_1,A_2,…,A_(i-1),A_(i 1),…,A_n}的垂心为H_i(i=1,2,…,n),则闭折线H_1H_2H)3…H_nH_1称为A(n)的垂心闭折线,记作H(n)。垂心闭折线具有下列性质:     

小学数学题苑

1。a+a=a十a(a二) a一a=a欠a(a=) a Xa=a+a(a=) 2。a+a+a+b+b=36 a+a+b+b+b二34 (a=b=) 3。()十去=1()一去二i ()x于=1()+告二1 4.小华做一道除法题时,错把除数36两个数字的位置颠倒了,结果商等于4还余23,间正确的结果应是多少? 5.下图中,每相邻两条边的夹角都是30。,其中有( 有( 有( 共有()个锐角)个直角)个钝角)个角 6.不用计算,直接写出结果 减米的于与8米的()一样长。 5吨的()与2.5吨的(、)一 样重。 ()平方米的含与()平方米 的子一样大。 ‘了.一个正方形和一个长方形的周长相等,它们的面积()。(①面积相等;②正方形的面积大,⑧长方形…