自然数幂和公式的推导研究

本文首先将自然数等幂和问题表述为递推关系,进而将自然数幂和问题化为对递推关系的求解。通过对递推关系的求解,得出幂和的组合数表示中系数递推关系,最后推导出自然数幂和的组合数表达形式。     

微分方程与自然数方幂和公式

本文用微分方程的知识导出了自然数方幂和公式。     

自然数幂和公式的简捷方法

利用高阶导数,简捷地推导出了∑n-1 k=0rkkm的两种形式的求和公式,并证明了一个Bernoulli数的确切表达式,得到了一个新的Bernoulli数递推公式。     

自然数方幂和公式的系数三角形

与用扬辉三角形可求出二项式任意次幂的展开式相似,自然数方幂和公式的系数三角形可求出自然数方幂和任意次幂的求和公式,且这种方法的计算速度超过以往的任何一种计算方法。     

自然数幂和公式的积分推导法

自然数幂和公式的推导方法甚众.各类书刊也时有介绍.其中以复变函数论为基础的推导方法最为出色,遗憾的是该非初等的推导方法一般读者难以接受.本文叙述一种积分推导法,不仅方法简捷,理论亦不深奥,只要稍具微积分知识就可以掌握.     

自然数幂和通项公式证明的新方法

针对自然数幂和问题,利用多项式和矩阵理论,得到了一种计算自然数幂和通项公式的方法,给出了该方法的具体推导过程．此方法的优点是将自然数幂和问题转换为了线性方程组求解问题,更浅显易懂．     

自然数幂和研究

自然数幂求和问题古今中外几百年来始终是一个热点。研究者们致力于找到更为简洁的求和方法．本文提供了一种算法,简化了求和过程。     

求自然数方幂和的两个递推公式

看过《湖南教育》一九七八年第六期发表的《用杨辉三角法求前 n 个自然数方幂和》一文后,引起了对这个问题的兴趣,通过钻研,有所收获.本文用高二学生可以理解的初等方法,介绍求自然数方幂和的两个递推公式和由公式观察出的两个性质,希望能对提高他们用数学归纳法与二项式定理解题的能力有所帮助.自然数方幂和是自然数列     

自然数方幂求和公式及所含因式

众所周知,Sk(n)=n↑∑↑i=1是一个关于n的k 1次多项式,且常数项为零．不妨设Sk(n)=k 1↑∑↑j=1αk,jn^j,定义实函数Pk(x)=k 1↑∑↑j=1αk,jx^j(x∈R）,其中αk,j为常数,显然(1)Pk(n)=Sk(n);(2)α2m 1,t=0;(3)Pk(0)=0,Pk(1)=1;(4)Sα（0)=n。     

构造长方形求自然数幂和

形如S_p(n)=1~p+2~p+3~p+…+n~p(p∈N~*)的和式称为自然数幂和,也称为p阶自然数幂.自然数幂和公式有着非常精彩的发展历史.低阶自然数幂和公式有许多种奇思妙解,相关的数学家的智慧依然为我们今天的数学学习提供了很好的借鉴,仍然能激励我们变更新视角、尝试新证法,在享受数学美的过程中,将问题研究继续下去.长方形是最简洁、最直观的基本图形.     

自然数方幂和的求法

∑i=1^n i^m(n，m是正整数)叫做自然数的m次方幂和。如何把∑i=1^n i^m表示成n的多项式Fm(n)，是历代数学家们不断探求的内容。从古代的欧几里德到现代的陈景润等，大多走离散的路子，所以过程较繁，也仅给了m在20以内的Fm(n)的表达式，本文把这个问题转化为研究∑i=1^n(i x)^n(x∈R)的表达式，化离散为连续，从而求得Fm(n)的递推表达式，使这个问题得到彻底的解决。     

自然数方幂的累进和

设S_t(n)=1~t 2~t … n~t,SS_t(n)=sum from i=1 to n sum from j=1 to i (j~t)=1~t (1~t 2~t) … (1~t 2~t … n~t),t∈N,并称SS_t(n)为自然数方幂的累进和。文[1]给出:     

自然数幂方和二项系数表示的系数公式

该文得到了自然数幂方和由二项系数表示的系数a(k)i的公式,和由排列数表示的系数b(k)i的公式,证明了系数存在惟一性及系数间的若干重要性质,给出了计算系数的C-语言程序.     

探究第二类自然数幂和通项公式的方法及其运用

针对第二类自然数幂和问题,利用二项式定理,得到了一种求解第二类自然数幂和的隐式通项公式,通过MATLAB编程求解隐式公式,并将该通项公式应用于实际问题中,验证公式的有效性和适用性。实例表明,该公式的优点是计算简单,具有普遍性和广泛的运用领域。     

自然数幂和的解析式研究

本文给出了解析式的递推算法:和显式表达式:其中T0,T1,T2,……是常数列,以及如何用M、N(M=2n+1,N=n(n+1)表示Sk(n)的一种简明方法:余数法。Sk(n)∑=ni=1ikSk(n)=∫kn0Sk-1(x)dx+(1-∫k10Sk-1(x)dx)n(k>2)Sk(n)=12nk∑+[k/2]i=0Ck2ik+1-2iTink+1-2i     

自然数幂和公式与三角公式的几何证明——数学史与数学教学关系个案研究

作为数学教育改革的一种尝试,文章将数学发展的历史与数学教育相结合给出了自然数幂和公式与三角公式的直观证明。由此探讨了数学史与数学教育的关系（ＨＰＭ）,认为数学史上许多思想方法十分精彩,富有启发性,若能将它们渗透到数学教学中,对数学教育改革将具有极其重要的意义。     

连续自然数的等幂和数组

下午第三节课,以往气氛热烈的初一年级(1)班教室却非常平静,这是什么原因呢?原来“数学兴趣小组”的成员们正围着一幅名画上的“难题”在抓耳挠腮地幂思苦想.名画《难题》是俄国著名画家波洛丹洛夫·别列斯基的代表作.这个难题要求用口算很快地求出(102+112+122+132+142)÷365的结果. 小芳心直口快,首先打破了沉默:“本题若先算平方,再求和,然后做除法,繁杂冗长,能巧解吗?” 小亮是本班的“数学通”,他订阅了《今日中学生》等报刊,见识广,思路宽.他说;“解本题     

自然数方幂和的一个简明算法

求前n个自然数方幂和的方法,目前大多采用递推形式求出。即是,欲求有n个自然数的K次幂之和(K为正整数),须先依次算出一次直至(K-1)次的方幂和,再计算K次方幂和。比如求:1~3+2~3+…+n~3,则要依次算出     

自然数方幂和多项式的零点分布

本文在继续探求自然数方幂和多项式的新表达式的同时,初步探讨了它的零点分布问题,得到了一个定理。     

用矩阵初等变换求自然数等幂和

本文讨论用矩阵初等变换方法求自然数的等幂和sum from i=1 to u(i~k),以下为方便起见,把这一和式记为S_k(n)。 由二项式定理,可得