巧用“长方体”妙解几何题

长方体(特殊情况下是正方体)是我们所熟悉的几何体,它有许多特性,如图1,沿对角面一分两半,则得到两个形状、大小完全相同的直三棱柱.长方体的一条体对角线与共点的三条棱所成角的余弦的平方和等于1(如图2).若能将图形之间的这些有趣的联系和数据关系加以应用,在解题时若能构造长方体,往往能化难为易、化繁为简,轻松获得巧解.     

从正方体透视正四面体与球体的切接问题

如图 1,我们看到正四面体内接于一个正方体 ,此时 ,正四面体的 6条棱恰为正方体的 6条面对角线 ,正方体的中心也是正四面体的中心 .我们可以将一个正方体切割成一个正四面也可以将一个正四面体补形成一个正方体 ,利用这个事实 ,可以通过正方体研究正四面体与球体的切接问题 ,从而化难为易 .在多面体与球体的切接问题中 ,正方体和正四面体与球体的切接类型是最丰富、最全面的 .主要有 ( 1)正方体或正四面体的外接球 ;( 2 )正方体或正四面体的内切球 ;( 3)正方体或正四面体的棱切球 .解决此类问题的基本思路是 :作出过它们“接”“切”点的轴…     

以正方体为载体设计试题的若干途径

正方体是高中立体几何一种重要的模型.正方体自身具有很多典型的线线、线面、面面的平行和垂直关系,而且通过连线还可以得到一些特殊的多面体,如三棱锥(包括正四面体)、四棱锥等等;同时,正方体中棱长、面对角线、体对角线及点面距离间     

找正方体展开图相对的面

将正方体表面沿某些棱剪开 ,展成一个平面图形 ,有 1 0余种展法 .在变化多样的平面展开图中 ,找出折成正方体后某个面的对面 ,给本来就抽象的空间思维增加了难度 .解决这个问题时 ,可按以下步骤寻求规律 .1 .将正方体的展开图去掉 3个面 ,留下如图 1的 3个正方形 .根据这 3个正方形位置的特点得出 :在一条直线上的 3个正方形中两端的 2个正方形就是相对的 2个面 ,如图 2中的 1与 3、2与 5、4与 6分别是相对的面 .2 .展开图如图 3时 :即正方体平面展开图中没有 3个正方形在一直线上 ,但通过观察 ,发现折叠成正方体后 ,1和 3连接 ,2和 4连接 ,…     

构造正方体模型巧解高考立几题

正方体是高中立体几何中一种重要的多面体,同时也是一种重要的立几模型.不仅因为正方体中有很多典型的线线、线面、面面的平行和垂直关系,而且通过连线可以得到一些特殊的多面体,如三棱锥(包括正四面体)、四棱锥等等,并且正方体中棱长、侧面对角线、正方体对角线及点面距离存在着特殊的数量关系.根据正方体的这些特点,可以把求正四面体、三棱锥、四棱锥等问题转化为正方体模型处理,不仅     

正方体中的线段的距离和所成的角解法谈

在正方体中,有12条棱、12条面对角线、4条体对角线,共计28条线段,有174对异面线段。这些异面线段共分六大类,只有四种不同的距离。现分述如下。 为了方便,设正方体的棱长为a、异面线段间的距离为d,所成的角为θ。 一、棱与棱异面 如图1,与棱AB成异面线段的有A′D′、     

构造正方体 巧解高考题

正方体有8个顶点,6个面,12条棱,有4条体对角线,有12条侧面对角线,有1个对称中心,有3对互相平行的侧面或者底面,有3组成互相平行的棱,每1组有4条棱,其中有线在平面内,线面平行、垂直,面与面平行、垂直.可以说,立体几何整个体系可以在正方体里面得到体现,因而有“百宝箱”的美称.有许多高考立体几何题,可以构造正方体得到一些巧妙的解法,下面略举几例.     

“长方体和正方体的表面积”教学设计与评析

教学内容：六年制小学数学第十册第２４～２６页例１、例２。教学目的：１ 使学生掌握长方体、正方体表面积的概念及计算方法。２ 发展学生的空间观念,培养学生的分析、推理能力。教学重点：长方体表面积的计算。教学难点：长方体每个面的长和宽与长方体长、宽、高的关系。教具学具：教师准备微机及长方体、正方体模型,学生准备自制的长方体、正方体学具。教学过程：一、复习旧知１ 长方体有（）个面,相对的面面积（）,相对的棱长度（）。２ 正方体有（）个面,每个面都是（）形,这些面的面积都（）。［评：复习旧知少而精,目的性强,…     

构造正方体解题例说

正方体是常用的立几模型，立体几何许多基本概念与定理，可以用正方体中的点、线、面来说明，因而人们给它以“百宝箱”的美称。因此熟练运用正方体中点、线、面的关系，对于解决立体几何问题很有帮助。下面举例予以说明。     

"万能"模型--正方体在高中立体几何教学中不可忽视

正方体是学生比较熟悉的几何体,它包含了立体几何中研究的点、线、面元素及各元素间的关系。它为我们学习线线、线面、面面的位置关系提供了具体而丰富的实例,能为辨析概念,突破难点提供直观的模型,使一些问题巧解。正方体制作也比较简便,可以达到学生人手一个,便于在学习中使用。但必须说明平面是无限延展的,直线是无限延伸的,不能局限于正方体模型中的正方形和线段。也就是说,对各元素间的关系可由正方体模型引入,但又不能受模型的限制。 一、借助正方体进行概念教学 (一)平面的基本性质 如图1,正方体AC1中,任     

学生是聪明的

在一次六年级的立体图形的表面积和体积的复习课上,我出了一道题:一个正方体木块,表面积是88平方分米,如图把它锯成体积相等的8个小正方体,每个小正方体的表面积是多少?我原以为大部分学生会将体积、表面积混淆,只有一小部分学生能说出理由、正确解答。想不到题目一出示,许多学生积极举手,思维相当活跃。有的学生先求出大正方体每个面的面积:88÷6=443(平方分米),进而想求棱长,但左冲右突均难奏效,致使求解搁浅。一位小朋友用88÷4得出小正方体的表面积是22平方分米。因为从大正方体到小正方体,小正方体每个面正好是大正方体一个面的面积的1…     

巧设活动激趣探索——『认识图形』教学片段与反思

在设计小学数学“认识图形”这一课时,我对教材进行创造性的处理,努力为学生创设一个广阔的活动空间、探索空间,让他们最大限度地参与探索的全过程。片段一:感知“面”与“体”的关系。上课伊始,教师并没有局限于书本,而是用多媒体出示长方体、正方体、圆柱(把它们拟人化,跑入画面)。学生喊出它们的名称。这时,随着一声“我来也”,三棱柱跑入画面。教师先让学生给它起名字,再引导他们认识三棱柱,让学生利用课前准备的学具(几何形体)进行研究,引导他们通过摸一摸、说一说了解物体的表面。反思:学生已经学习了长方体、正方体、圆柱,初步认识了…     

谈正方体表面展开图的学习

北师大版七年级《数学》(上册)第一章为我们展现了丰富多彩的图形世界,使数学真正走进了生活,一幅幅生动的插图,一串串崭新的问题,等待我们去观察、去探究,极大地激发了同学们学习数学的兴趣。培养学生的空间能力,尽快适应七年级的数学学习是本章的学习目的。下面谈谈正方体表面展开图的学习。一、弄清一个概念将一个正方体沿某些棱剪开,展成一个平面图形,即指“正方体6个面展开所成的6个正方形中的每一个至少有一条边与其他的正方形的某条边重合”,由此我们知道,要把一个正方体展开成平面图形,至少需要剪七刀。因为正方体一共有六个面,展开…     

异面直线距离求法的复习课

在高一立几教学中,遇到有关求异面直线的距离问题,对学生来说是一个难点.为化难为易加深理解,在第一章授完后,以正方体中成异面直线的棱、面对角线、对角线的距离求法为主题进行一次复习,利用本章知识使学生摸索出求异面直线距离的一些规律,收到较好的效果.首先简单地归纳一下求异面直线距离的一些方法,然后讨论正方体中成异面直线的     

利用正方体解决正四面体问题

如图1，正方体6个表面的6条对角线构成正四面体S-ABC的6条棱，因而对每一个棱长为m的正四面体，均可将其放置于棱长为a（a=2的平方根/2m）的正方体内，且使正四面体的4个顶点分别为这个正方体的4个顶点，     

割补法在立几中的应用

正方体截去四个三棱锥后(如图)得到一个以面对角线为棱的正四面体 ABCD,反之,正四面体补上四个三棱锥后则还原为原来的正方体,其面对角线即为正四面体棱长,且这个正四面体的体积的正方体体积的1/3.实际上,这里的“截去”或者“补上”就是典型的割补法.在立几中,割补法的应用很广泛,请看下面例题.     

用正方体解决正四面体问题偶举

我们知道，正四面体的各棱相等。这样，正四面体还可以从正方体中得到，即在正方体AC1中，连结A1CA、A1B、A1D、BD、DC1、BC1，则由这六条面对角线构成一正四面体(图1)。     

数学奥林匹克高中训练题(15)

第一试 一、选择题(每小题6分,共36分) 1.正方体表面正方形的对角线中存在异面直线,如果其中两条异面直线的距离是1,那么,正方体的体积为( )。     

正方体的表面展开图——实验与研究

实验将一个正方体形状的硬纸盒剪开一个面(如图1,沿着三条棱 AB、BC、AD 剪开,将上底面沿着棱 CD 翻转),然后再如法恰当地剪开其他各个面并翻转、摊平,便得到正方体的一个表面展开图(如图2).     

空间图形的"最短路径"问题

全日制义务教育数学课程标准(实验稿)中把原来的“平面几何”改为了“空间与图形”,将平面图形的学习扩展为了空间图形的学习.即在原来的平面图形的基础上,增加了一部分立体图形知识.在新课标下的数学教材中,就出现了一种空间图形中的“最短路径”问题.受新教材内容的引导和启迪,近年来的中考数学试题中也常出现这类问题.例1如图1,一只昆虫要从正方体的一个顶点爬到相距它最远的另一个顶点,哪条路径最短?说明理由.简析:正方体中相距最远的顶点应该是正方体一条对角线所在的两个顶点.可将正方体展开(如图2所示),在展开图上连接昆虫爬行的起点…