1986年莫斯科大学数学入学试题及答案

力学数学系 1、解方程:2cos(√x π) 1=0。 2、半径为1cm的圆与半径为3cm的圆相交于C点,过C作直线交小圆子A,交大圆于B。已知线段AB为2√5cm,求线段AC之长。〔答:√s/2cm〕 3、解不等式: 4、从一村庄到一城市前面是泥路,后面是公路。汽车司机和摩托车手分别从村庄和城市同时于早晨7时出发相向而行,汽车沿     

成人高考数学综合练习题及答案

<正> 代数一、填空: 1、计算:[(-2)~2]~(-(1/2))+2°/(2~(1/2)) -1/(|1-2~(1/2)|)=-(2~(1/2)+1)/2 2、把x~5y-x~3y+2x~2y-xy分解因式为xy(x~2+x-1)(x~2-x+1) 3、已知((2a+b~(-1))~2+|2-a~2|)/(a+2~(1/2))=0,则(a-b)/(a+b)=(3/5) 4、计算1/2lg25+lg2-lg0.1~(1/2)-log_29×log_32=-(1/2) 5、设A={x:|x|<2}, B={x:x~2-4x+3≤0},则A∩B=1≤x<2;A∪B=-23的解集为{x:x>4}∪{x:0相似文献   

1999年加拿大数学奥林匹克

1.试求方程4x~2-40[x] 51=0的全部实数解.此处,如x是实数,[x]表示小于或等于x的最大整数. 2.令△ABC是高为1的等边三角形.一个圆心与C在AB同一侧的半径为1的圆沿着线段AB滚动.试证:此三角形内部的圆弧等长. 3.试求满足性质n=(d(n))~2的全部正整数n.此处,d(h)表示n的正因数个数. 4.设a_1,a_2,…,a_8是取自集合{1,2,3,     

挖掘几何背景巧解题

题 若实数x,y满足x~2 y~2-2x 4y=0,则x-2y的最大值是()(A)5~(1/2)(B)9(C)5 25~(1/2) (D)10分析 方程x~2 y~2-2x 4y=0,即(x-1)~2 (y 2)~2=5,所表示的曲线是一个圆,圆心为P(1,-2),半径为5~(1/2)(如图1),这个圆的一个特点是通     

圆锥曲线中的一对定圆和定直线

<正>一、探寻圆锥曲线中的一对定圆和定直线性质1如图1,已知双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0),存在一个与双曲线相切的定圆C,对双曲线上左支上的任一点P,过点P作圆C的两切线PD、PE,切点分别为D、E,圆C右侧与x轴垂直的切线交直线PD、PE于点A、B,则线段AB的长为定值.     

直线与圆的典型题例解析

直线与圆是解析几何知识的基础,也是近几年高考的热点内容,因此,熟悉、掌握一些直线与圆综合问题十分必要. 例1已知圆C与圆C1:x2+y2-2x—=0外切,并且与直线l:x+ 3~(1/2)y=0相切与点P(3,-3~(1/2)).求此圆C的方程. 求圆C的方程要先确定圆心的坐标和半径的长.可设圆C的圆心为C(a,b),半径为r,因为圆C与圆C1相外切,且圆C1的半径为1,所以两圆的圆心距|CC1|=r+1.又因为与直线l相切与点P,所以圆C的圆心在过P点与直线l垂直的直线上,且圆心到直线l的距离等于半径r,依据圆的几何性质即可求出参数a,b、r 解:设所求圆的圆心为C(a,b),半径为r.     

1992年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试题及解答

考生注意:这份试卷共有26道试题,满分150分。一、填空题 (本大题满分30分)本大题共有10题,只要求直接填写结果,每个空格填对得3分,否则一律得零分。 1.求值:cos 5π/8 cos π/8=____。 2.(x+1/x)~8的展开式中1/x~2的系数是____(结果用数值表示)。 3.函数y=sin~2x-sinxcosx+cos~2x的最大值是____。 4.方程log_5(x+1)-log_(1/5)(x-3)=1的解是____。 5.计算(3~(1/2)+i)~6=____(i是虚数单位)。 6.如果直线l与直线x+y-1=0关于y轴对称,那么直线l的方程是____。 7.已知圆台的下底面半径为8cm,高为6cm,母线与下底面成45°的角,那么圆台的侧面积是____cm~2(结果中保留π)。 8.已知函数y=f(x)的反函数是f~(-1)(x)=x~(1/2)-1(x≥0),那么函数y=f(x)的定义域是     

12.3 直线与圆的位置关系

考测点导航 1.相交弦、切割线、切线长定理及其推论; 2.这些定理及推论和函数知识相联系后证明圆中的比例线段或求角、求线段长。典型题点击一、已知如图12-15,在直角坐标系中,以y轴上的点C为圆心,1为半径的圆与x轴相切于原点O,点P在x轴的负半轴上,PA切⊙C于点A,AB为⊙C的直径,PC交OA于点D。     

第19届全俄中学生数学奥林匹克

九年级 9.1.已知n是自然数,且2n 1与3n 1都是完全平方数,对此n,5n 3能否是质数? 9.2.长为1的两条线段相交于点O,且∠AOC=60°。证明:AC BD≥1。 9.3.设f(x)为二次三项式,可用三项式x~2·f(1/x十1)或(x-1)~2f(1/(x-1))来替换f(x)。问:用这两种运算能否从二次三项式x~2 4x 3得到二次三项式x~2 10x 9?     

1996年全国高中数学联合竞赛试题及解答

第一试 一、选择题(本题满分36分,每题6分) 1.把圆x~2 (y-1)~2=1与椭圆9x~2 (y 1)~2=9的公共点,用线段连接起来所得到的图形为 (C) (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形     

浅谈极值问题的三角解法

一些极值问题,若用三角方法处理反比代数解法简明,因为运用三角知识易于建立几何图形中角与线段之间的函数关系,兹举数例说明。例1 定圆内接矩形中,何者面积最大。代数法如图,设定圆半径为R,AB=x,则BC=(4R~2-x~2)~(1/2)。矩形面积S=x (4R~2-x~2)~(1/2)。因S>0,故S~2与S取极大值的条件相同。而S~2=x~2(4R~2-x~2)。又x~2+4R~2-x~2=4R~2为定值。故当x~2=4R~2-x~2,即x=     

构造完全平方式求值

例1 x为实数,求x~4+4x+4的最小值.解原式=(x~4-2x~2+1)+(2x~2+4x+2)+1 =(x~2-1)~2+2(x+1)~2+1.因为(x~2-1)~2≥0,(x+1)~2≥0,     

用尺规作图求二次方程的根

二次方程x~2+px+q=0的根即二次函数y=x~2+px+q与x轴的交点坐标,我们用尺规来作出交点,作法如下: 1.在坐标轴上作出点R(0,1)和S(-p,q); 2.求出线段RS的中点C(-P/2,q+1/2); 3.以C为圆心,以半径r=CR作圆. 下面我们证明这个圆和x轴的交点确实也就是抛物线与x轴的交点,事实上利用距离公式不难得出:     

错在哪里

<正>题目已知函数f(x)=3~(x-b)(2≤x≤4)的图象过点(2,1),则F(x)=[f~(-1)(x)]~2-f~(-1)(x~2)的值域为______.错解由题意得f(2)=3~(2-b)=1,所以b=2,f(x)=3~(x-2).因为函数f(x)的定义域为2,[4],所以2≤f~(-1)(x)≤4,0≤log_3x≤2,又F(x)=[f~(-1)(x)]~2-f~(-1)(x~2)     

1993年上海市高三数学竞赛

第一试 满分120分,只填最后的结果 1.已知x∈N,且3~(1/2)位于(x 3)/x和(x 4)/(x 1)之间。则x=_______。 2.已知抛物线y=ax~2 bx c与x轴交于不同的两点A,B,抛物线的顶点为C。若△ABC是等腰直角三角形,则b~2-4ac=_______。 3.已知方程x~2 (a-2)x a 1=0的两实根为x_1,x_2,而点(x_1,x_2)在圆x~2 y~2=4上,则实数a=_______。     

2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题

第一试一、选择题(每小题5分,共50分)1.a、b 为实数,集合 M={b/a,1},P={a,0},f:x→x表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 P 中仍为 x,则 a+b 的值等于().A.-1 B.0 C.1 D.±12.若函数 f(x)满足 f(2/(x+|x|))=log_2(x|x|)~(1/2),则 f(x)的解析式是().A.log_2x B.-log_x C.2~(-x) D.x~(-2)3.若关于 x 的方程(3/2)x=(2+3a)/(5-a)有负数根,则实数 a 的     

1996年莫斯科大学入学考试部分数学试题及解答

1.（力学数学系,七月）解不等式 (17.9x-4x)~(1/2)≥3x-3·2x 2.（力学数学系,五月）求不等式 (x~2-5x-3)~(1/2)≤6-x　 3. （力学数学系,七月）解混合组 log_2sinx-log_2 2y |log_2cosx-log_2 2y|=2 (x-π/4)~2 1/(2y~2)≤1 4.（力学数学系,三月）α为何值时,方程2cos_2 (2~(2x-x~2))=a 3~(1/2)sin(2~(2x-x~2 1))至少有一解?     

一个解法有错的题

上海辞书出版社出版的《数学题解辞典》平面解析几何281页455题的解法有些不妥。 281页455题。作出点集D:{(x,y)||x|≤y≤|x| 3~(1/2)-1,x~2 y~2≤4},并求其面积。原书解法如下: [解] 设直线y=|x|,y=|x| 3~(1/2)与圆x~2 y~2=4分别交于A、B、C、D;圆心为O。y=|x| 3~(1/2)-1与y轴的交点为E(0,3~(1/2)-1),点集D为图中扇形OAB中除去扇形ECD所构成的区域(图中阴影部分,包括边界)。     

分离参数法在高考中的应用

分离参数法是求含参数方程或不等式中的参数范围的一种简捷方法.就是通过分离参数,然后讨论主变量的变化情况,讨论出参数的变化范围.下面举例说明它在高考中的应用.例1 设对所有实数x,不等式x~2log_2 (4(a+1))/a+2xlog_2 (2a)/(a+1)+log_2 ((a+1)~2)/(4a~2)>0恒成立,求 a 的取值范围.(1987年全国高考题)解:设 t=log_2 (2a)/(a+1),则已知不等式化为:     

从一道高考题的错解谈逻辑划分的应用

91年高考数学理科25题:“已知n为自然数,实数α>1,解关于x的不等式log_αx-4log_(α~2)x 12log_(α~3)x … n(-2)~(n-1)·log_(α~n)x>1-(-2)~n/3 log_α(x~2-α)”是一道考查对数、数列、解不等式等多种基本知识的综合题.此题难度并不高,但阅卷发现错误却不少.概括地说,一是基础知识不够扎实,基本技能不够熟练,如不会应用对数换底公式、等比数列求和出错,未考虑对数函数的定义域解不等式失误等等;