Petrovic不等式的推广与类比

1 引言 1916年,M.Petrovic给出一个三角形不等式:[1] 设△ABC的三边长分别为a、b、c,则     

Petrovic不等式的加强

在本文中约定a,b,c为ΔABC的三边,s为半周长,R,r分别为ΔABC的外接圆半径与内切圆半径.1916年,M.Petrovic建立了如下涉及三角形三边的不等式[1,p.8]:1/3≤a2+b2+c2/(a+b+c)2<1/22000年,朱杏华[2]将不等式(1)推广到了n维单形.2008年,李华和张[5]将不等式(1)推广到了n边形.2009年,武爱民[4]对不等式(1)作了指数推广.其实早在     

关于Milosevic不等式的再探讨

针对Milosevic不等式改进和加强的结论，在对其条件进行调整的基础上，用初等的方法，给出了几何不等式∑cos^A＜1的另一个简易的证明，从而使Milosevic不等式的推广与证明更加完美．     

关于Petrovic不等式的一点思考

本文主要对Petrovic不等式进行了推广。     

Walker不等式的一种加强

文[1]P197收录了著名的Walker不等式： 设△ABC的三边长分别为a、b、c,内切圆半径为r,则1/a^2＋1/b^2＋1/c^2≤1/4r^2.（1）     

也谈Klamkin不等式的上界

1971年 ,M .S .Klamkin建立了如下一个涉及三角形三边的不等式[1 ] :ab bc ca≥ 13(a b c) 1a 1b 1c . ( 1 )在文 [2 ]中 ,宿晓阳先生给出了Klamkin不等式的上界估计     

Petrovic不等式的加强

<正>~~     

关于内角平分线与边长的几个不等式

建立三角形内角平分线与边长的几个不等式,并推证[1]中的几个猜想不等式。     

Gordon不等式的推广

1966年，Gordon提出了关于三角形的一个不等式： ba＋ca＋ab≥4√3△， 其中a，b，c是某三角形的边，△是其面积．因为 a^2＋b^2＋c^2≥bc＋ca＋ab． 所以它是Weitzenbock不等式 a^2＋b^2＋c^2≥4√3△ 的一个加强，式（3）也被用作第3届IMO试题． 本文给出了式（1）的一个加权推广．     

Nesbitt不等式的一个加强

1引言1903年，A．M．Nesbitt建立了如下关于三角形三边a、b、c的几何不等式：     

Klamkin不等式的多边形推广

利用控制不等式理论将关于三角形边长的Klamkin不等式推广为凸多边形的指数形式,并给出一个上界估计。     

Weizenb(o)ck及Tsintsifas不等式的加强

在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,S是它的面积．     

Bokov不等式的加强

Bokov不等式 :设ha、hb、hc 分别是△ABC的三边a、b、c上的高 ,r为△ABC的内切圆半径 .则∑ haha- 2r≥9.①其中∑ 表示循环和 .本文将给出式①的两种形式的加强 .命题 1　在△ABC中 ,有∑ haha- 2r≥3pr23.②其中p为△ABC的半周长 ,当且仅当△ABC为正三角形时等号成立 .证明 :令∏ 表示循环积 ,则∏ haha- 2r=∏2pra2pra - 2r=∏ pp -a=p3(p -a) (p-b) (p-c) =p3pr2 =pr2 .由三元均值不等式可得∑ haha- 2r≥3∏ haha- 2r13=3pr23.易见上式当且仅当ha=hb=hc 即a =b=c时等号成立 .由不等式p≥33r和式②可知式①成立 ,故式②强于式① …     

Klamkin不等式的加强推广

1982年,加拿大数学家M·S·Klamkin提出并证明了关于三角形边长的著名不等式：若△ABC的边长分别为a,b,c,     

Wolstenholme不等式的一个推论的应用

应用Wolstenholme不等式导出了一个简单的代数不等式,继而推证了一些有关三角形的二次型不等式,提出了一个尚待解决的猜想.     

Finslen—Hadwiger不等式的加强

利用三角形的高，角平分线长，给出Finslen-Hadwiger不等式的两个加强不等式链。     

Klamkin不等式的移植与推广

利用幂平均不等式将Klamkin不等式推广至空间任意n边形。     

一个不等式的推广

文 [1 ]给出了下面一个三角形不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,则13 ≤ a2 +b2 +c2(a +b +c) 2 <12 ,①当且仅当a =b =c时等号成立 .本文将不等式①推广为 :设△ABC的三边长分别为a、b、c .对于任意正整数n ,n >1 ,有13 n - 1≤ an+bn+cn(a +b +c) n<12 n- 1,②当且仅当a =b =c时等号成立 .证明 :根据文 [2 ],有an+bn+cn3 ≥ a +b +c3n,当且仅当a =b =c时等号成立 .由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立 .下面证明第二个不等式 ,这等价于an+bn+cn<12 n - 1(a +b +c) n.③用数学归纳法 .当n =2时 ,由式①知式③成立 .设n …     

Weizenbck不等式的推广、加强及其它

在△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c、S是它的面积,则有a~2＋b~2＋c~2≥4（3S）~（1/2）,这是我们熟知的Weizenbck不等式.