小议“奇思妙解”

在数学解题中 ,常常谈到“奇思妙解” .这里实际上隐含着一个因果关系 ,“奇思”是条件 ,“妙解”是奇思的结果 .奇思 ,不是猎奇 ,也不是异想天开 ,而是由此及彼的一种联想 ,是换一个角度去观察、思考、分析问题 ,是一个化归与转化的思维过程 ,正如前苏联著名数学家Ｃ·Ａ·雅可夫斯娅所说 :“解题就是把习题归结为已经解过的问题 .”请先看下面的例子 .例 1　已知点Ａ( 3,0 ) ,Ｐ是圆ｘ2 ｙ2 =1上任意一点 ,∠ＡＯＰ的平分线交ＰＡ于Ｍ(Ｏ为原点 ) ,试求点Ｍ的轨迹 .奇思　Ｓ△ＡＯＰ =Ｓ△ＡＯＭ Ｓ△ＭＯＰ.妙解　设Ｍ (ｘ ,ｙ)　 (ｘ>…     

一道不等式证明的“十种”解法

不等式的证明是让学生颇为头疼的东西,虽然外表对称美丽,但往往无从下手,多种方法交织在一起,不知如何选择,很多重要的不等式,不知道何时用.笔者在讲授人教A版选修4—5《不等式选讲》的过程中,遇到下面这样一个经典的问题,在对这个问题进行深入研究的过程中,思路逐渐开阔,很多奇思妙解不     

“垃圾桶”里的数学问题

创新展台栏目在坚持求新的基础上,继续扩大选稿范围,即不仅仅局限于考题的解析与评价,还可以是原创新题的展示,教材例、习题的变式研究,经典问题的奇思妙解,中考命题规律的探究,等等.欢迎大家为本栏目撰稿.     

“巧思妙解”源自递推分析

"数学要讲推理,也要讲道理",有些"巧思妙解"在推理上无可挑剔,但为何能够使用这些技巧解决问题的道理却不很显见.如果在教学中只讲推理、不讲道理,那么教师教给学生的仅仅是数学解题的技术,而缺乏数学思想的渗透,难以提高教学质量.函数、数列与不等式的综合问题难度较大,许多学生感到非常困难,而在看到答案后又惊叹于解答的巧妙,久而久之,便会对这类问题产生"敬畏"之心,不利于数学学习兴趣的培养.本文通过递推分析来剖析一类"巧思妙解"背后的道理,以期对学生的学习过程有所启发.     

聚焦高考中概率的“交汇性”

<正>以能力立意是高考数学命题的指导思想,在知识网络交汇点处设计试题是高考命题的新特点和大方向.概率这部分内容,是高中数学的新增内容,与概率交汇的数学问题正是在这种背景下"闪亮登场",频频出现在高考和各级各类的模拟试题之中.这类以概率为背景的数学问题,与函数、方程、数列、不等式、线性规划、几何等知识内容交叉渗透,自然地交汇在一起,使数学问题的情景新颖别致,可考查学生在新情景中采集信息、处理信息的能力和综合运用数学知识分析、解决问题的能力.本文结合近几年高考题和有关省市高考模拟试题分类解析概率与相关知识的"交汇性",供同学们复习参考.     

“垃圾桶”里的数学问题

创新展台栏目在坚持“求新”的基础上,继续扩大选稿范围,即不仅仅局限于考题的解析与评价,还可以是原创新题的展示,教材例、习题的变式研究,经典问题的奇思妙解,中考命题规律的探究,等等．欢迎大家为本栏目撰稿．     

“线性化”在多元不等式证明与最值求解中的应用

(本讲适合高中)多元不等式的证明与最值的求解是各类数学竞赛的热点问题,其中一些条件、结论是对称(或轮换)式的单元式(每个式子含一个变元或可化成单元式)的问题,可借助一次式放缩估计,从而解决问题,称之为“线性化”.本文结合具体例题分类予以讨论.     

常见的不等式问题解题思路

不等式是高考数学的热点之一.由于不等式的证明难度大,灵活性强,技巧要求很高,常常使它成为数学高考中的高档试题.而且,不论是几何、数论、函数等许多问题,都与不等式有关,这就使得不等式的问题（特别是证明）尤为重要.虽然不等式证明没有固定的模式,因题而异,灵活多变,技巧性强,但它也有一些基本的常用方法.要熟练掌握证明技巧,必须从学习这些基本的常用方法开始,善于分析题目的特征,综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质,找到突破口以下谈谈常见的不等式题型的     

数学课堂中的“做数学”

《数学课程标准》指出:有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿与记忆,动手实践,自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。因此,数学课堂是一个做数学的过程。这就要求我们教师要结合学生的生活经验和已有的知识设计富有情趣和意义的教学活动,在生活中寻找数学,用数学解决生活问题,让学生在做中发现,做中感悟,做中理     

例谈数学复习＂由厚到薄＂的策略

华罗庚先生倡导学习应是“由薄到厚再到薄”的过程,他指出：“咀嚼、消化、理解、融会贯通了,就会‘由厚到薄’”,那么在数学复习中如何落实这一要求呢？众所周知,问题是数学的心脏,掌握数学就意味着掌握解题,所以笔者认为：在夯实双基之上,深入、全面地探索问题的奇思妙解,就能活跃学生的认知系统、思维策略和创新意识,就能使知识纵横交错、     

“一次函数”常见错误剖析

从常量到变量,从代数式、方程、不等式到函数,实现了从常量数学到变量数学的跨越,随之,分析问题和解决问题的思路、方法与之前也有所不同,导致不少同学在学习"一次函数"这部分内容时,常犯思维定势的错误,不会从变化的角度理解问题,不会用数形结合的方法去分析问题等.     

聚焦高考中导数的“交汇性”

正导数是学习高等数学的基础,作为解决数学问题的一种工具,它为高中数学注入了新的活力.导数方法的基础性、工具性作用,凸现了它在整个教材中的地位.在高考数学试卷中是必然要出现的题型.笔者在平时的教学过程中总结发现:导数与函数、数列、三角、概率、不等式、解析几何等其他知识的交汇进行命题考查应用数学知识,解决综合问题的能力已成为高考的一大亮点.本文结合近几年全国高考试题,解析导数与相关知识的"交汇性",供同学们复习参考.     

数学归纳法证明不等式的解题策略刍议

数学归纳法重在考查归纳、探索的能力.近几年利用数学归纳法证明不等式已成为高考命题的一道亮丽的风景线.但是,各种参考书或杂志在研究此类问题时,都只谈到与n有关的不等式可用数学归纳法证明,并罗列了一些题解的过程,而没有深入探讨:数学归纳法证明不等式的本质是什么?什么时候能用或不能用数学归纳法证明不等式?又如何把一些不能用数学归纳法证明不等式的题,转化为能用数学归纳法证明?本文拟针对上述三个问题,进行分析研究.     

对一道中考数学“帐篷题”的赏析——兼谈类比推理在数学中的作用

创新展台栏目在坚持“求新”的基础上,继续扩大选稿范围,即不仅仅局限于考题的解析与评价,还可以是原创新题的展示,教材例、习题的变式研究,经典问题的奇思妙解,中考命题规律的探究,等等．欢迎大家为本栏目撰稿．     

蚂蚁爬行最短路径问题

以一道数学习题为背景,探究了蚂蚁在圆柱表面爬行最短路程问题,综合运用一元函数微分学知识,给出了这个初等数学模型难题的奇思妙解。     

巧用斜率妙解数学问题

结合四个案例探讨如何巧用斜率妙解数学问题,以帮助学生突破难点,提高解题效率.     

对一道“新定义”试题的分析

创新展台栏目在继续坚持"求新"的基础上,将扩大选稿范围,即不仅仅局限于考题的解析与评价,还可以是原创新题的展示,教材例、习题的变式研究,经典问题的奇思妙解,中考命题规律的探究,等等.欢迎大家为本栏目撰稿.     

例析初中数学竞赛中的高斯函数问题

正在实数问题的研究中,我们经常会涉及到实数的整数部分和小数部分,这部分内容既可以考察不等式估计,又可以考察代数方程,是近几年数学竞赛中的热点内容.本文就初中数学竞赛中,有关高斯函数的基础知识和基本题型作了一些总结,并给出了各类题型的基本解法.     

不等式恒成立的参数范围求解策略

不等式恒成立是中学数学的一类常见问题，集合、不等式、函数（数列）的最值与单调性等都与不等式恒成立问题相关，同时由于处理不等式恒成立问题往往需要使用多种数学思想与方法，因此也成为各类考试包括各地高考中的热点问题．不等式恒成立问题中的参数范围求解，很多文章对此进行研究，并给出了许多处理方法．结合常见数学思想方法和不等式恒成立的数学本质，对于求解不等式恒成立的参数范围问题，笔者认为主要有如下三种方法．     

“柯西不等式与排序不等式”单元教学建议

柯西不等式与排序不等式是新课程中的新增内容,是不等式内容的一个重要部分,是一种基本不等式形式,有其独特的外形和广泛的使用范围．柯西不等式是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一．在本单元,学生将通过不等式基本性质,基本不等定理来推导柯西不等式、排序不等式,并会初步运用这两个不等式定理进行计算、证明一些不等式的结论、