一道值得研究的课本习题

题与两圆x2 y2=1及x2 y2-8x 12=0都外切的圆的圆心在( ) (A) 一个椭圆上 (B) 双曲线的一支上 (C) 一条抛物线上 (D) 一个圆上 这是人民教育出版社编著,全日制普通高级中学教科书(必修)<数学>第二册(上)复习参考题八A组第4题.     

一道解析几何习题的引申

【题】 :过双曲线x2 - y22 =1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点 ,若|AB|=4 ,则这样的直线共有 (　　 ) .A .1条　　　　B .2条C .3条　　D .4条正确答案是C .对该题进一步的探讨分析发现 ,此双曲线的实半轴a =1,虚半轴b =2 ,过焦点与x轴垂直的弦长为2b2a =4 ,|AB|=2b2a =4 >2a =2 .试问 :|AB|无论多长答案是否都是C呢 ?请看 :设双曲线 x2a2 - y2b2 =1(c =a2 b2 )的右焦点为F ,过F作直线l交双曲线于A、B两点 ,|AB|=d ,试根据d的不同取值讨论l的存在性 .预备知识 :(1)两顶点间的距离是双曲线两支上的两点间距离的最小值 ;(2 )过双…     

对教材一道轨迹题的探究与思考

1问题背景人教A版数学选修2-1第80页复习参考题第3题:与圆x~2+y~2=1及圆x~2+y~2-8x+12=0都外切的圆的圆心在()。(A)一个椭圆上(B)双曲线的一支上(C)一条抛物线上(D)一个圆上评析这是教材里一道定义法求轨迹的典型例题.此题综合考察了两圆位置关系,双曲线的定义以及求轨迹问题等相关知识,从知识网络的交汇点上命题,既考查基础知识,又考查综合运用能力,体现了高考的命题方向.     

动中求静

在高考试题中,常会遇到有关动点轨迹的解析几何问题.如下题: 例一动圆与两圆扩+少~1和尹+少一sx+12=。都外切,则动圆圆心轨迹为 (A)圆。(B)椭圆。 (C)双曲线的一支。(D)抛物线。 (1993年全国高考题) 对此题,不少同学均是采用如下方法求解的.即: 解法1:由方程尹+犷二l可知,其圆心为O(0,的,半径为1. 由方程x,+夕,一sx+12=0,即(x一4)’+少2=4可知,其圆心为A(4,0),半径为2。 设动圆的圆心为M(x,刃,其半径为r,且OM与00、OA分别外切于点B、C(如图)。则IMA}一}材O}=(I MC}+】CA!)一(l MB}+}刀O}) 一(r十2)一(r+1)一1即!材月!一】材01一1(…     

对一道高考题的推广

20 0 2年高考第 2 0题是这样的 :设 A,B是双曲线 x2 - y22 =1上的两点 ,点 N ( 1 ,2 )是线段 AB的中点 .( )求直线 AB的方程 ;( )如果线段 AB的垂直平分线与双曲线相交于 C,D两点 ,那么 A,B,C,D四点是否共圆 ?为什么 ?本文将第 ( )题的条件一般化 ,探究 A,B,C,D四点共圆的充分必要条件 .命题　设 A,B是双曲线 x2a2 - y2b2 =1 ( a>b>0 )上的两点 ,点 N( x0 ,y0 )是线段 AB的中点 ,线段 AB的垂直平分线与双曲线相交于 C,D两点 ,则 A,B,C,D四点共圆的充分必要条件是 :a2 y0 ± b2 x0 =0 .证明　设 A( x1 ,y1 ) ,B( x2 ,y2 ) ,…     

利用曲线系思想解一类轨迹问题

1命题命题1若A B是椭圆22C1:ax2+by2=1的一条弦,且弦AB的中点为M(xM,y M),则椭圆22222C:(2x M x)(2y My)a b?+?=1经过A、B两点.证明设点A(x A,y A)、B(x B,y B),则由M是弦AB的中点,可知,x B=2x M?xA,y B=2y M?yA,由点B在椭圆C1上,知(2x M?x A)2/a2+(2y M?y A)2/b2=1,所以点A在椭圆C2上.同理可知点B也在椭圆C2上,故椭圆C2经过A,B两点.类似地有:命题2若AB是双曲线22C1:ax2?by2=1的一条弦,且弦AB的中点为M(xM,y M),则双曲线22222C:(2x M x)(2y My)1a b???=经过A,B两点.命题3若AB是抛物线y2=2px的一条弦,且弦AB的中点为…     

2006年高考解析几何试题特点扫描

选择题选择题强调对基本概念、基本技能和数学符号运用的考查,应重点掌握解答选择题的常用方法和技巧.(一)以基本概念为载体,考查基本能力例1(辽宁卷)方程2x2-5x 2=0的两个根可分别作为A.一椭圆和一双曲线的离心率B.两抛物线的离心率C.一椭圆和一抛物线的离心率D.两椭圆的离心率解析考查圆锥曲线离心率的特征范围(几何性质).方程2x2-5x 2=0,即(2x-1)(x-2)=0的两个根分别为和2.选A.12例2(广东卷)已知双曲线3x2-y2=9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于A.!2B.2!3C.2D.43解析考查双曲线的标准方程和第二定义.…     

高三数学综合训练(四)

一、选择题1.已知全集U=R,且A={x|x-1|>2},B={x|x2-6x 8<0},则(UA)∩B等于()A.[-1,4]B.(2,3)C.(2,3]D.(-1,4)2.已知正方体外接球的体积是332π,那么正方体的棱长等于()A.22B.233C.432D.4333.函数y=log2x-2的定义域是()A.(3, ∞)B.[3, ∞]C.(4, ∞)D.[4, ∞]4.下列函数中,图像的一部分如下图所示的是()A.y=sinx 6πB.y=sin2x-6πC.y=cos4x-3πD.y=cos2x-6π5.已知f(x)=(3a-1)x 4a,x<1,logax,x≥1,是(-∞, ∞)上的减函数,那么a的取值范围是()A.(0,1)B.0,31C.71,13D.71,16.已知双曲线3x2-y2=9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与…     

2007年高考数学模拟卷

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的.1.设A、B、C为三个集合,则x∈A∪B是x∈B∩C的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件2.若x 32xn的展开式中存在常数项,则n的值可以是()A.10B.12C.14D.183.若P(a,b)是双曲线x2-4y2=m(m≠0)上的一点,且满足a-2b<0,a 2b>0,则点P一定位于双曲线的()A.右支上B.上支上C.右支或者上支上D.不能确定4.在数列{an}中,a1=2,an 1=an 2,(n为奇数),2an,(n为偶数).则a5等于()A.12B.14C.20D.225.抛物线y=-x2上的点到…     

《圆锥曲线》同步训练

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()A.1716B.1165C.87D.02.点P(1,0)到曲线x=2cosθy=姨3sinθ(其中参数θ∈R)上的点的最短距离为()A.0B.1C.姨2D.23.已知定点A、B且｜AB｜=4,动点P满足｜PA｜-｜PB｜=3,则｜PA｜的最小值是()A.12B.23C.72D.54.过双曲线x2a2-yb22=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于()A.2B.姨2C.姨3D.2…     

2004年全国新课程卷理科21题别解

题目　设双曲线C :x2a2 - y2 =1 (a >0 )与直线l:x y =1相交于两个不同的点A、B .(Ⅰ )求双曲线C的离心率e的取值范围(Ⅱ )设直线l与y轴的交点为P ,且 PA=51 2 PB ,求a的值 .图 1根据课本 p132 1 3题的解法可知 ,该题第 (Ⅰ)问可用反证法求解 .下面给出另一解法 :(Ⅰ )由C和L相交于两个不同的点A、B ,故知方程组x2a2 - y2 =1 ,x y=1 .有两个不同的实数解 ,消去 y并整理得( 1 -a2 )x2 2a2 x- 2a2 =0 .由Δ =4a4 8a2 ( 1 -a2 ) =0得a =2 ,a=0 .　　根据图 1知 :方程无解 ,则a>2或a<0 ,且a=1 ,a=2时仅有一解 .所以方程组有两个不同…     

关于直线、圆、圆锥曲线的高考预测题

一、选择题(每小题5分,共50分)1.设集合M=｛直线｝,P=｛圆｝,则集合M∩P中的元素个数为A.0B.1C.2D.0或1或22.直线x-"3y=0绕原点按逆时针方向旋转30°所得直线与圆x2 y2-4x 1=0的位置关系是A.相交且过圆心B.相交但不过圆心C.相切D.相离3.已知双曲线x22-y2=1a>0,)上一点P到两焦(b>0a b2点F1,F2的距离分别为6和2,点M(,)到直线PF302和PF2的距离相等,则此双曲线的方程为A.x4-y2=1B.x4-=1C.x4-=1D.x4-=122y22y22y22354.过抛物线y2=4x的焦点F作斜率为的直线交抛43物线于A,B两点,若AF=λFB(λ>1),则λ等于#$#$A.3B.4C.4D.3325.若曲线x…     

同心椭圆与圆的一个性质

<正>已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),点A1,A2分别为C的左、右顶点.结论1如图1,若椭圆C和动圆C1:x2+y2=t2(b相似文献   

2004年全国高中数学联赛福建赛区预赛

一、选择题 (每小题 4分 ,共 2 4分 )1 .已知点 (x ,y)在直线x 2 y =3上移动 .当 2 x 4y 取最小值时 ,点 (x ,y)与原点的距离是 (　　 ) .(A) 354　 (B) 451 6 　 (C) 324 　 (D) 982 .设双曲线 x2a2 - y2b2 =1的离心率e∈2 33,2 .则双曲线的两条渐近线夹角α的取值范围是 (     

一道高考试题的探讨

06年全国高考数学理科试题(北京卷)第19题:已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22.记动点P的轨迹为W.(Ⅰ)求W的方程;(Ⅱ)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA.OB的最小值.解:(Ⅰ)依题意,点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,所求方程为:x2-y2=2(x>0)(Ⅱ)当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=x0,此时A(x0,x22-2),B(x0,-x02-2),∴OA.OB=2.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx b,代入曲线方程x2-y2=2(x>0)中,得:(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0(*)依题意可知方程(*)有两个不相等的正数根,设A(x1,y1),B(x2,y2)…     

抛物线问题错解剖析

同学们在解决抛物线问题时,常常入手容易,但要获得正确完美的解答却不容易.下面对同学们在解决抛物线问题时产生的错误进行剖析,供参考.1.概念不清【例1】平面内与定点(-1,2)和定直线x 2y-3=0的距离相等的点的轨迹是()(A)圆(B)椭圆(C)抛物线(D)直线错解:由抛物线定义知,应选(C).剖析:平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线,但定点必须在直线外.此题定点(-1,2)在直线x 2y-3=0上,由数形结合知,应选(D).2.不明题意【例2】过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线与抛物线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2).求y1y2的值.错解:由抛…     

有心二次曲线的一组性质

本文给出有心二次曲线圆、椭圆及双曲线的一组定值性质,并由此给出它的统一性质.性质1给定圆x2 y2=a2,过对称轴x轴(或y轴)上的点N(n,0)(或N(0,n))的两条对称割线交圆于A、B、C、D四点,直线BC或AD交x轴(或y轴)于M(m,0)(或M(0,m)),则mn=a2.证明如右图,设yA(xA,yA),B(xB,yB),BA由N     

2007年高考圆锥曲线问题分类剖析

一、与圆锥曲线几何量有关的问题【例1】(宁夏)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为.解析:注意两个距离,利用等积法和相似三角形知识得:2=acb,b=6,∴e=ac=3.点评:等积法可得双曲线中顶点到渐近线的距离为acb.【例2】(陕西)抛物线x2=y的准线方程是().A.4x 1=0B.4y 1=0C.2x 1=0D.2y 1=0解析:注意焦参数和准线之间的关系,2p=1,∴y=-2p=-14,∴4y 1=0,选B.点评:抛物线标准方程的特点及焦参数的确定,注意开口方向和由方程确定焦参数的方法.【例3】(陕西)已知双曲线C∶ax22-by22=1(a>0,b>0),以C的右…     

《圆锥曲线方程》自测题

一、选择题(每小题5分,共60分)1.若α∈R,则方程x2 4y2sinα=1所表示的曲线必定不是().A直线;B圆;C双曲线;D抛物线2.若焦点在x轴上的椭圆x22 ym2=1的离心率为21,则m=().A3;B23;C38;D323.抛物线y2=4x,按向量a平移后所得抛物线的焦点坐标为(3,2),则平移后的抛物线的顶点坐标为().A(4,2);B(2,2);C(-2,-2);D(2,3)4.如果双曲线的2个焦点分别为F1(-3,0)、F2(3,0),一条渐近线方程为y=2x,那么其2条准线间的距离是().A63;B4;C2;D15.已知定点A、B且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是().A21;B23;C27;D56.已知双曲线x2-y22=1…     

高二数学单元测试(圆锥曲线)

一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共60分 )1.椭圆 2x2 +y2 =1的准线方程是 (　　 )　　 (A)y=± 2　　　 (B)x =± 2　　 (C) y=± 2 (D)x=± 22 .抛物线x =12 0 y2 的焦点坐标是 (　　 )　　 (A) ( 0 ,5 )　　 (B) ( 5 ,0 )　　 (C) 0 ,15 (D) 15 ,03 .双曲线 y25 -x24=1两准线间的距离是(　　 )　　 (A) 10　 (B) 5　 (C) 103 　 (D) 534.以 x22 5 +y29=1的焦点为焦点 ,离心率e=2的双曲线方程是 (　　 )　　 (A) x26-y212 =1　　 (B) x26-y214 =1　　　 (C) x24-y214 =1(D) x24-y212 =15 .过点P( -4 ,2 )与 x22 -y2 =1有…