1992年高中联赛第二试第一题的解析证法

1992年全国高中数学联赛第二试第一题是:设A_1A_2A_3A_4为(·)O的内接四边形,H_1、H_2、H_3、H_4依次为△A_2A_3A_4、△A_3A_4A_1、△A_4A_1A_2、△A_1A_2A_3的垂心,求证:H_1、H_2、H_3、H_4四点在同一个圆上,并定出该圆的圆心位置。 本题要证H_1、H_2、H_3、H_4四点共圆,用平面几何方法难度较大,不易下手,且圆心位置难以确定,竞赛试卷中得分率较低。下面给出解析法证明,不同于原参考答案,解法上较为直观。     

一道全国高中联赛题的另外几种证法

1996年全国高中数学联合竞赛第二试第三题为: 题 如图,圆O_1和圆O_2与△ABC的三边所在的三条直线都相切,E、F、G、H为切点,并且EG、FH的延长线交于P点,求证直线PA与BC垂直。     

1991年全国高中联赛第二试第三题的另证

题目设口a_n为下述自然数N的个数:N的各位数字之和为n且每位数字只能取1,3或4.求证:a_(2n)是完全平方数,这里n=1,2,….从评价竞赛题的角度去看,这是个很好的题目,因为它叙述简洁明确,形式新颖,不落俗套.更可喜的是,它几乎不需要什么基础知识,却有着多种不同的证明.这就为竞赛的参加者提供了“发散性思维”的广阔     

2002年高中联赛平面几何题的新证法

题目　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0°,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于Ｈ点 .点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .图 1　　解法 1　连ＡＨ交ＢＣ于Ｄ ,过Ｏ作ＯＰ⊥ＢＣ于Ｐ ,连ＡＰ交ＯＨ于Ｇ .设⊙Ｏ的半径为Ｒ ,连ＡＯ、ＢＯ ,则ＡＯ =ＢＯ =Ｒ .由∠Ａ =6 0°,知∠ＢＯＰ =12 ∠ＢＯＣ =6 0° ,ＯＰ= 12 ＢＯ =12 Ｒ .由欧拉定理 ,知Ｇ为△ＡＢＣ的重心 ,且 ＯＰＡＨ =ＰＧＧＡ=12 ,故ＡＨ =2ＯＰ =Ｒ .设∠ＢＡＯ =α ,由∠ＡＯＢ2∠Ｃ ,知∠ＢＡＯ =90° -∠Ｃ ,且∠ＨＡＣ…     

2001年高中联赛平面几何题的新证法

题目如图1,△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N.求证:(1)OB⊥DF,OC⊥DE.(2)OH⊥MN.     

2001年高中联赛平面几何题的新证法

题目如图1,△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N.求证:(1)OB⊥DF,OC⊥DE.(2)OH⊥MN.     

2005年全国高中联赛加试第二题别解

2005年全国高中数学联赛加试第二题:设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy bz=a,az cx=b,bx ay=c.求函数 f(x,y,z)=x~2/(1 x) y~2/(1 y) z~2/(1 z)的最小值.下面给出与标准答案不同的另外四种解法.解法1:由条件可得 x=(b~2 c~2-a~2)/(2bc),故     

一道全国初中联赛题的三种证法

题目 :如图 1,梯形ABCD中 ,AD∥BC ,分别以两腰AB、CD为边向两边作正方形图 1ABGE和正方形DCHF ,设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M .求证 :点M为EF的中点 .(2 0 0 4,全国初中数学联赛 (B卷 ) )本文给出三种证法 .证法 1:如图 2 ,过A、D分别作PA、QD图 2垂直于AD ,分别交EF于     

一道初中数学联赛题的几种证法

l,,2年全国t]J‘{,数学联赛题: 如i冬}l,在乙娥一‘},,月矛‘二,丫一,z)点,刃是线段月刀士一点.且‘产认方二 求证:RI)一2口). 证法一:在刀召卜取一点F,使阶’=八召.连结办’,则有/扛、、。一匕、4刃一}一匕月B*,/,是底边理上一2艺厂盯)~匕沌 月刃一El.’二6F, 占乙。II,=万/研,, 泞八、,店一25叨, 兰业竺一兰卫:竺 泞八解I一s八从「雀’S八,。‘十.勺广、‘、I泞八,。‘斗一泞八、。S八‘、,,S广肋‘召八Kc廿、泞八解。_、广人加, 万乙‘。乙J一厂刀4刃一小一匕了、月六. 乙刀肋二‘击万J 了4刀}’二乙‘月八 △‘妨F里△‘方1刃. …     

2000年全国高中数学联赛加试平面几何题的5种证法

(2000年联赛题)如图1,在锐角三角形ABC 的 BC 边上有两点 E,F,满足∠BAE=∠CAF,作 FM⊥AB,FN⊥AC,(M、N 是垂足),延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D 点.证明:四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等.     

一道高中联赛平面几何题的新证法

题目 如图1，过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B．所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC，求证：∠DBQ=∠PAC．     

用定积分解2004年全国高中联赛加试第二题

笔者有幸参加了2004年全国高中联赛的阅卷工作,对考试的总体情况有一定了解,感触颇深:不考的知识就不学(不管这些知识多有价值)依然是个痼疾,能够做出加试赛第二题第二问的同学真是凤毛麟角.本题以调和级数为背景,想到有关级数的放缩技巧的确不易,但若考生有点定积分的常识,即可自然地解出此题.     

一道全国初中联赛题的另两种证法

1995年全国初中数学联合竞赛第二试第一题,是一道以基础考能力,于平凡中见功底,内涵丰富,不落俗套的好题。 原题 已知∠ACE=∠CDE=90°,点B在CE上,CA=CB=CD,过A、C、D三点的圆交AB于F(如图1)。求证F为△CDE的     

’98全国高中数学联赛加试第一题学生的几种证法

一、纯平面几何法 1.天津实验中学学生姜薇的证法 证明:设I_A为旁切圆圆心.则A、I、I_A共线,交⊙O于K,交HC于P.显     

1990年全国高中联赛几道题的别解

第一试二、6解法一以1个女孩和2个男孩为一组,且使女孩恰好站在两个男孩中间,余下的9个男孩和这8个组被看成是17个元素.显然,这17个元素任意的圆排列被认为是满     

1992年全国高中联赛一道题的两种解法

1992年全国高中联赛第二试第一题是: 设A_1A_2A_3A_4为⊙C的内接四边形,H_1H_2,H_3,H_4 依次为△A_2A_3A_4,△A_3A_4A_1,△A_4A_1A_2,△A_1A_2A_3的垂心。求证:H_1,H_2,H_3,H_4四点在同一圆上,并定出该圆的圆心位置。     

一道立几题的推广和应用——八五年全国高中数学联赛二试第二题的一种解法

高中立体几何课本(甲种本)习题八中有这样一道题目: 11。一个棱锥所有的侧面与底面所成的二面角都等于a,那么 S佣二 证明:如图1设V一A:刃2…A。S底COSa-为,棱锥,只要证明 S△VAIAi+1 =旦应。A‘A‘十’ COSa(i二r,2,…,九,A。,,与A:重合)即可.也即 证明:设△ABC所在平面与平面M所成的二面角为a,C〔M. (1)若月B与平面M不平行,如图3所示.延长AB与平面M必有一个交点D.设点A在M内的投影是A’,点B在M内的投影是B’,则B尹必在DA产上.由命题1有: S△^‘De=S△^De·eosa, S心a‘ne=S△BDe一eosa,S△人,De一S△a,De一‘S△ADe…     

2003年联赛不等式题的多种证法

今年全国数学联赛一试的第一道解答题是不等式的证明题,我们班同学给出了多种不同解法,整理如下. 试题 已知3/25x#,求证:21x 23153219xx- -<. 方法1 (吴光锦、何建乐提供,用公式 222121512151515aaaaaa LL.) 左边123153843443xxx --= ?123153843161691515xxx -- ?19