一个多项式命题的应用

由高中代数(甲种本)第三册第19页的定理:“复系数一元n次方程在复数集C中有且仅有n个根(k个重根算作k个根)”,可以引出推论: 使复系数多项式f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) … a_n之值为零的相异x值如多于n个,则a_0=a_1=a_2=…=a_n=0(即f(x)≡0)。(*) 推论(*)易由反证法证明。因为若a_0≠0,则由定理可知,满足f(x)=0的不同x值最多有n个,这与己知使f(x)的值为零的不同x值多于n个相矛盾。所以,a_0=0。同     

整数根定理的再改进

关于整系数多项式的整数根,有如下定理: 1.给定整系数多项式 f(x)=a_nx~2+a_(n-1)x~(n-1)+…+a_1x+a_0 (a_0≠0)如果r是f(x)的整数根、则r必是a_0的因子。由这个定理虽然可确定f(x)的可能的整数根的范围,但在某种情况下,范围是比较大的。所以有必要把这个“可能零点”的个数尽量减少。《中学数学教学》1983年第2期发表的“整数根定理的改进”一文,对定理1作了改进。使可能的整数根的范围大大缩小。该译文的定理如下:     

综合除法在多项式求值中的综合应用

当x为非零有理数时,应用综合除法和余数定理求有理系数整次多项式 f(x)=a_nx~n+a_(n-1)x~(n-1)+…+a_1x+a_0(a_n≠0) (1)的值总是可行的,有时还比较简便。但当x=3+2~(1/3)/2或2-3~(1/2)i一类无理数或虚数时,简单地用综合除法求(1)式的值就不可行了。计算这类值通常采用代入法,用二项式定理展开、合并(同类项或同类根式)、化简。但当n值较大时,用这种方法计算很     

整值多项式判定定理及其应用

定义:若实系数n次多项式 f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) … a_(n-1)x a_n 当x取任何整数时,多项式f(x)的值皆为整数。则称F(x)是整值多项式。关于整值多项式的知识在有关书籍上已有论述。但所给判定方法及其证明既非初等且表述冗长,运算复杂。有的还需要巧妙的变形与详尽的讨论.这里介绍一个判定定理,把整值     

浅谈艾逊斯坦因判别法的教学

多项式理论是高等代数的重要内容之一,在研究有理系数多项式的因式分解时,有下述定理:设f(x)=a_nx~n+a_(n-1)x~(n-1)+……+a_1x+a_0是n次整(数)系数多项式,如果有一个素数P,使:     

用矩阵解几个初等数学问题

一、用矩阵分解多项式的一次因式:定理:n次多项式f(x)=a_0x~n+a_1x~(n-1)…+a_n在数域R中有一次因式的充要条件是存在一个秩为1的2×n阶矩阵A=(a_0 a_(11) a_(21)……a_(n-2.1) a_(n-1.1) (a_(12) a_(22) a_(32)……a_(n-1.2) a_n)     

零多项式

设R是实数集,则R上x的一元多项式一般可定义成: a_nx~n+a_(n-1)x~(2-1)+…+a_1x+a_0 ①此处a_1∈R(i=0,1,2,…,n)。n,n-1,…,是非负整数。多项式①可用符号f(x),g(x),…等记之。若a_n≠0,则称多项式①的次数为n。基于这个定义,六年制重点中学高中课本《代数》第一册提出“数零称为零多项式,我们不规定它的次数”。显然,这一讲法是合理的,与a_n≠0的要求一致。我们可用R[x]来记R上面x的一元多项式的全体,零多项式(以下简记成0)在R[x]中关于多项式的加法和乘法运算具有性质:任意f(x)∈R[x]有     

数学竞赛中条件多项式的求解方法

多项式理论是代数学的一个重要组成部分，有关多项式方面的问题常常被用作数学竞赛的试题．本文仅就数学竞赛中求解满足某些条件的多项式归纳几种方法介绍如下．1．从分析根的情况入手设n∈N,a_0，a_1，…，a_n∈C（或R，或Z）且a_n≠0，称f(x)=a_nx~n a_(n-1)x~(n-1) … a_0(1）为复（或实、或整）系数一元n次多项式．多项式的次数常记为degf(x)=n．单独的一个非零常数，叫做零次多项式；系数a_0，a_1，…，a_n全为零的多项式叫做零多项式．若数x_0满足f(x_0)＝0，则称x_0为多项式f(x)的根．由代数基本定理：复系数一元n次多项式f（x）有…     

初等超越函数有次数吗?

问代数基本定理的内容是什么? 答代数基本定理的内容是:每一个复数域上n次代数方程 f(x)=a_0x~n+a_1x~(n-1)+…+a_(n-1)x+a_n=0(a_0≠0,n≥1) (1)在复数域中至少有一个根。问它有哪些重要推论? 答它的重要推论有     

求“多项式数列”的和数问题

定义设P(x)为m次多项式,则以a_n=P(n)为项的数列称为m次多项式P(x)的数列。问题设a_n为m次多项式P(x)的数列,问如何求和sum from k=1 to n(a_k)=sum from k=1 to nP(K)。为此我们先给出引理1 设f(x)为m次多项式,则一阶差分Δf(x)=f(x+1)-f(x)为m-1次多项式,命题是显然成立的,故证略。引理2 若P(x)=a_mx~m+…+a_1x+x_0,α_m≠0为一m次多项式。则有f(x)=β_m+1x~(m+1)+…+β_1x,使得Δf(x)=P(x)。证明时只要算出Δf(x)=f(x+1)-     

整值多项式的判定定理

设 f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) … a_(n-1)x a_n是n次实系数多项式,如果当x取非负整数值时,f(x)都是整数,则称f(x)是整值多项式。一个多项式什么时候是整值多项式呢?本文介绍一种简单的判定方法。先介绍一个引理。引理。设f(x)为n次多项式,则f(x)能唯一地表示成下面的形状:     

思考题(九)

题31.已知一个 n 次多项式f(x)=a_0x~n+a_2x~(n-1)+a_2x~(n-2)+…+a_n,其中 a_0,a_1,…,a_n 都是整数,且 a_0≠0.又已知用 x-a、x-b、x-c、x-d(这里a、b、c、d 是各不相等的整数)分别除f(x)的余数都是2,求证对于任何整数 x,f(x)的值不能等于3、5、7、9中的任何一个数。(杨绶)题32.求方程 y~3-y=x~3+3x~2+2x 的全部自然数解。题33.在平面上有五点 A、B、P、Q、R,A、B 为定点,P、Q、R 为动点。其中     

凸函数的Hadamard不等式的一个推广

设 f(x)为闭区间[a,b]上的连续凸函数,则(1)这就是古典的凸函数的 Hadamard 不等式。文[1]把它推广到欧氏空间 R~n 中的单纯形,即设Ω=cov(a_0,a_1,…,a_n)是 R~n 中的单纯形,f(x)为Ω上的实凸函数,则其中 x=λ_0a_0+λ_1a_1十…+λ_na_n,λ_i≥0(i=0,1,…,n),(?)=1,且|Ω|为Ω的测度.本文通过证明下面的一个定理,把 Hadamard 不等式(1)推广到欧氏空间 R~n 中的 n 维凸多面体,作为文[1]的结果(2)式的进一步推广。定理设欧氏空间 R~n 中的 n 维凸多面体Ω的顶点为 a_0,a_1,…,a_m,且 m≥n,f(x)为Ω上的实凸函数,则     

谈数学分析与复分析中的Taylor展式

在数学分析中,把一个函数f(x)在某一点的邻域内展成Taylor级数的方法是:设p(x)=a_0+a_1x+a_2x~2+…+a_nx~n,令p(x)无限代表或近似等于f(x),经过理论分析得出p(x)的系数a_0=f(0),a_1=f'(0),a_2=f"(0)/2!,…,a_n=f~((n))(0)/n!,加上余项就得到了f(x)在x_0=0处的n次Taylor展式。在复分析中,对解析函数f(x)而言,设f(x)在点x="d'的邻域内解析,根据已证明了的结论,通过推导就得到了f(x)在x="d'处的有限泰勒展开式。通过比较可以看出复分析中的泰勒展开比数学分析中的推导完备。     

对多项式因式分解的探索

数是代数武的特殊情形,而代数式则是数的延续、扩张和发展.我认为利用x=10时(x)的值去寻求形如 f(x)=a_nx~n+a_(n-1)x~(n-1)+…+a_1x+a_0的有理整式的因式是完全可能的. 例1.将多项式x~8+x~7+1分解因式. 解设x=10,则 x~8+x~7+1=10~8+10~7+1 =110000001 =3×37×990991. 这三个数均为质数.再用x=10代回,那么,3必然是x-7,37必是3x+7或4x-3.     

试论韦达定理及其应用

1559年,法国数学家韦达提出一个关于一元n次方程根与系数关系的定理:设方程a_0x~n+a_1x~(n-1)+a_2x~(n-2)…+a_(n-1)x+a_n=0的n个根为x_1,x_2,…,x_n,那么x_1+x_2+…+x_n=-(a_1)/(a_0)x_1x_2+x_1x_3+…+x_1x_0+…+x_(n-1)x_n=(a_2)/(a_0)     

用函数思想探求高考试题

运用运动和变化的观点分析和研究具体问题的数量关系,通过函数的形式,把这种关系表示出来并加以研究,从而使问题获得解决,这种思想方法,叫做函数思想法。纵观近几年的高考试题,笔者发现有许多命题与函数思想法有着较为密切的联系。下面举例说明。 例1 已知(1-2x)~7=a_0 a_1x …a_7x~7,那么a_1 a_2 … a_7= (1989年试题) 解:没函数f(x)=(1-2x)~7,则f(x)=a_0 a_1x … a_7x~7,又f(1)=a_0 a_1 a_2 … a_7=-1,f(0)=a_0=1, ∴a_1 a_2 …a_7=f(1)-f(0)=-2. 例2 解不等式.(1985年试题) 解:设函数,则此函数的定     

关于幂级数一个收敛性质的商榷

同济大学数学教研室编《高等数学》(第三版)下册,p284关于幂级数和函数的连续性有如下定理: 定理:幂级数(3)的和函数s(x)在收敛区间(-R,R)内是连续的。如果幂级数(3)在收敛区间的端点x=R(或x=-R)也收敛,则和函数s(x)在x=R处左连续(或在x=-R处右连续)。注:定理中所述幂级数(3)指上文提及的级数: a_0+a_1x+a_2x~2+…+a_nx~n+… (3)     

整系数多项式的哥德巴赫命题

我们熟知整数的哥德巴赫命题是:每一个大于2的偶数都可写成两个质数的和。这个命题的正确性至今尚未得到证明。在《数学爱好者》1980,1期刊载的《容易证明的“1 1”》(以下简称文[1])一文中提出了一个有兴趣的定理: 定理1.每一个整系数n(≥1)次多项式可写为两个n次不可约整系数多项式的和。这个定理的证明依赖于下述整系数多项式不可约的艾森施坦因判定法则定理2.整系数多项式 f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) … a_(n-1)x a_n (1)     

变换x=e~(λt)y在解微分方程中的作用

中山大学数学力学系常微分方程组编的《常微分方程》教材中,在解常系数线性齐次微分方程L[x]=a_1x a_1x′ … a_nx~(n)=0(1)和非齐次方程L[x]=a_0x a_1x′ … a_nx~(n)=f(t)(2)时都要用到这一变换。我们在教学中觉得把常系数线性方程经过变换x=e~(λty)后的结果写了出来并用数学归纳法加以证明较妥。这样在常系数线性齐次方程的特征方程有重根时解的讨论和非齐次方程(2)右端函数为f(t)=e~(λty)(t)(P(t)为m次多项式)的待定系数法的研究中都很方便,而且也更有说服力。即引入下面的定理。