关于椭圆外切矩形的研究

本文在引入与椭圆相关的准圆概念后,对椭圆的矩形进行了系统研究,找出了一般椭圆的外接矩形与椭圆及相应的准圆的关系．并得出椭圆具有唯一外接正方形的结论．     

椭圆、双曲线外切矩形的一个性质

文[1]介绍了椭圆与双曲线准圆的概念及其准圆与准线的一种关联．笔者在研究椭圆与双曲线外切矩形时,得到了一个和准圆相关的性质,阐述如下。     

圆与椭圆几何性质的类比探究

在椭圆方程b^2x^2＋a^2y^2=a^2b^2中,当a=b时,椭圆就变成了圆x^2＋y^2=b^2．因此,可以把圆看作是椭圆的一种特殊情形．椭圆的某些几何性质,利用“一般性寓于特殊性之中”,可以类比圆的几何性质而得到．事实上,圆的某些重要的性质推广到椭圆中仍然有类似的结论,这充分说明了椭圆与圆之间具有密切的内在联系．     

椭圆中的伸缩变换

椭圆与圆可以通过伸缩变换而互相转换,探讨了利用椭圆与圆之间的伸缩变换关系,解决与椭圆有关的几何问题具有很大的简便性。     

椭圆的“虚渐近线”

众所周知,椭圆有两条轴：长轴、短轴;双曲线原来仅有一条轴：实轴．但为研究方便,或追求双曲线与椭圆之间的“和谐”,双曲线又给出了虚轴的概念,从而导出双曲线“渐近线”的概念．椭圆没有渐近线．笔者突发奇想：为什么不可以定义椭圆的“虚渐近线”呢？     

巧用圆的知识 妙解椭圆问题

圆是中学数学中最基本、最重要的概念之一,也是近几年各类考试中的热点内容之一．解题时,若能充分利用题设条件,利用圆的定义,圆的方程,圆的圆心、直径（或半径）,圆与曲线的位置关系等性质,常能收到事半功倍的作用,达到化繁为简,化难为易之目的．下面举例说明圆的知识在解椭圆问题中的运用,供大家参考．     

用坐标伸缩变换解决椭圆问题

在高中数学新课标选修4-4中,介绍了平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．若在坐标伸缩变换下,椭圆就可以变为圆,二者有很多相似的性质,从而可将椭圆的有些问题用圆的知识来处理,比如研究直线和椭圆、椭圆和椭圆的位置关系、与椭圆有关的问题时,用坐标伸缩变换转化为相应的直线和圆、圆和圆的位置关系、与圆有关的问题来处理．这样做不仅可以方便理解,还可以避免较为繁琐的计算过程．下面分类举例予以说明．     

用变换思想处理一类椭圆问题

新教材明确指出:将圆按照某一方向均匀压缩(拉长)可以得到椭圆.圆是椭圆的一个极端图形,而圆的性质已为我们大家所熟知,如何充分利用圆的性质来解决椭圆的问题呢?椭圆与圆之间的转化,可以通过新教材中     

用圆求椭圆，更简单

圆是椭圆的特例,椭圆是圆的推广和变形．在解决某些椭圆问题时,若能利用题设条件,构造圆,经由圆的性质,可以简化解题过程,达到事半功倍之效．     

椭圆化圆事半功倍

众所周知，椭圆和圆的关系可谓千丝万缕，圆可以看成是椭圆的特例，椭圆也可以看成圆的变形和推广；圆显得老实本份，它涉及的问题往往容易解决；而椭圆则显得比较调皮甚至捣蛋，它涉及的问题相对不太容易解决．我们若能把有关椭圆的问题转化为有关圆的问题解决，则往往能收到事半功倍的效果，下面举例说明之．     

椭圆的准圆及其性质

最近,笔者发现椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1与圆x^2＋y^2=a^2＋b^2之间的一些有趣性质,现将研究结果写在下面,供参考．     

椭圆的“柔情”圆永远能懂简

椭圆是圆锥曲线中一个极其关键的知识点,椭圆图像和方程形式简洁、对称,探究椭圆不仅对掌握其他的圆锥曲线有极大帮助,而且还能认识到椭圆与圆的渊源关系．从图像来看,椭圆可以看作“压扁了的圆”,而圆可以看作椭圆的“特”例,因而椭圆与圆有着无穷的联系．椭圆的各种“表现”,圆一直掌握在“心”里;     

椭圆内一个圆的性质

众所周知,椭圆有四个顶点,顺次连结这四个点所成四边形是菱形,此菱形的内切圆在椭圆内部.但这个圆与椭圆之间具有的性质却鲜为人知,本文试图解决这一有趣的问题.     

椭圆定点弦结论的几何本质

依托椭圆与圆之间的特殊关系,运用几何法和坐标变换证明若椭圆的弦所在直线过定点,则椭圆上存在一点,使得这个点与弦的两个端点的连线的斜率之积为定值,从而揭示椭圆定点弦结论的几何本质。     

椭圆与其大辅助圆的四个共同性质

<正>以椭圆的中心为圆心,分别以椭圆的长轴和短轴的长为直径的圆叫做椭圆的大辅助圆和小辅助圆.显然,椭圆与其大、小辅助圆是不可分割的统一体,因而它们之间必然存在某些共同性质.笔者经过探究初步发现椭圆与其大辅助圆的四个共同性质.     

探讨椭圆离心率的取值范围

椭圆的离心率是椭圆的一个重要几何性质,它是反映椭圆形状即圆扁程度的几何量．我们可以通过椭圆的一些条件来确定椭圆的离心率的取值范围．     

椭圆与圆的伸缩变换

在立体几何中,我们学了射影后,知道椭圆的射影可能是圆,当椭圆的射影是圆时,我们把圆与椭圆进行比较,不难得出以下结论: (1) 设圆与椭圆所在平面所构成二面角的平面角为θ,设圆面积为S_1,椭圆面积为S_2,则S_1=     

用坐标伸缩变换解决椭圆问题简

在高中数学新课标选修4—4中,介绍了平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．在坐标伸缩变换下,椭圆就可以变为圆,二者有很多相似的性质,从而可将椭圆的有些问题用圆的知识来处理,比如研究直线和椭圆、椭圆和椭圆的位置关系、与椭圆有关的问题时,用坐标伸缩变换转化为相应的直线和圆、圆和圆的位置关系、与圆有关的问题来处理．这样做不仅可以方便理解,还可以避免较为繁琐的计算过程．下面分类举例予以说明．     

伸缩变换在椭圆中的应用

在图形变化中有一种伸缩变换，它不但会改变有关点的坐标、曲线的方程，而且还会使一些几何特征量有所改变．但伸缩变换也有它自身的特点，若能抓住不变量和变换规律，能使一些问题的难度降低．本文着重探讨利用椭圆和圆之间的伸缩变换关系解决与椭圆有关的问题．     

用圆解椭圆问题

新教材明确指出 :将圆按照某个方向均匀压缩 (拉长 )可以得到椭圆因此椭圆与圆之间 ,可以通过伸缩变换转化 .三角函数图象变换中的周期变换和振幅变换实际上就是图象沿x轴和y轴方向上的伸缩变换 .由于我们对圆的性质相对于椭圆来说要熟悉得多 ,因此解决椭圆问题时 ,有时可化为圆来解决 ,只要利用伸缩变换即可 .例 1　求椭圆 x2a2 +y2b2 =1的斜率为k的一组平行弦中点的轨迹方程 .解　作变换 x′ =bax ,y′=y ,则椭圆化成圆x′2 +y′2 =b2 ,平行弦方程y=kx +m化成y′=abkx′ +m .易得在圆内平行弦中点的轨迹是垂直于弦且过圆心的直线y′=-bakx…