空间几何体体积求法例析

研究立体几何,离不开空间几何体的体积的计算．计算几何体的体积。首先要熟练应用几何体的体积公式;同时也要学会运用等价转化思想,会运用“分割与补形”把组合体求体积问题转化为基本几何体的求体积问题;会变换观察角度,进行等体积转化求体积．下面我们举例说明几何体体积的计算技巧．     

巧割妙补求体积

我们学习了规则几何体的体积公式V柱体=S底h,V锥体=1/3S底h,V球=4/3πR^3,当我们遇到求非规则的几何体的体积问题时,就要把所求问题转化为求规则几何体的体积．这种转化常用到以下两种方法：一是把非规则的几何体分割成若干个规则的几何体,即分割的方法;二是把这个非规则的几何体添补若干个规则的几何体成为一个新的规则几何体,即补形的方法．二者统称为割补法．     

祖(日桓)原理的应用

立体几何中的“公理六”(即祖(日桓)原理),课本中很少涉及它的应用。除了柱、锥体积公式推导外,仅有球的体积公式用祖(日桓)原理推导。因此,到高三时,大多数学生对这一原理仅有模糊的印象,更谈不上掌握及应用了。为了使学生能更好掌握这个原理,我们通过将解析几何中椭圆、双曲线、抛物线绕对称轴旋转后,所得到几何体体积计算来加深对祖(日桓)原理的认识。祖(日桓)原理:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,     

补形分割巧求何种

在立体几何中，求体积时常会遇到一些不规范的几何体，无法直接用公式求解．这时，我们应考虑做些体积变换，转化为熟悉的几何体，使问题获解．     

求体积的七种方法

求体积是立体几何的难点,也是高考考查的重点.因此有必要专题剖析.一、公式法基本几何体(柱、锥、台、球)都有体积公式,求他     

中西未合璧 异曲仍同工

正求复杂几何体的体积问题一直是数学中的一个难点.如果所求几何体是柱、锥、台、球中的一种或与之相关的组合在一起的几何体,我们可利用公式解决.如果公式解决不了时,就需要另辟蹊径,这里从理论上介绍两条途径:中国的祖暅原理、西方的微积分.一、什么是祖暅原理南北朝时代南朝的数学家祖暅求球体积时,使用一个原理:"幂势既同,则积不容异"."幂"是截面积,"势"是立体的高.意思是两个同高的立体,如在等高处的截面积恒相等,则体     

体积问题的求解策略

体积问题是立体几何的基本问题.由于几何体的形状多种多样,所以求体积的方法也是千变万化,但是在这众多的方法中,我们可以摸索出一般的规律和基本的思路.一、套用公式,直接求解例1如图1,在三棱锥P-ABC中,PA=     

创设问题情境，探求球的体积

创设问题情境，探求球的体积北京陈经纶中学丁益祥球的体积公式的探求比较复杂，除了祖原理以外，现成的能够直接利用的工具还没有，这就给讲授这一知识带来一定的困难．为了借助祖原理解决问题，需要我们寻找一个已有现成公式能够求体积的几何体（不妨称其为辅助体）．考...     

从棱台体积公式谈起

本文介绍一个辛卜生(Simpson)公式的较为简明的证明方法〔注1〕,同时略谈一下它在求几何体体积中的用处.一、从棱台的体积公式谈起先把大家熟知的棱台体积公式写成下列形式V=1/6×h×〔s_1 s_2 4s〕其中h为棱台的高,S_1、S_2、S_0分别为棱台的上底和下底面积及中截面面积.如果稍加留意,公式(1)对中学数学里提到各种几何体体积都是适用的.例如对球而言,球的上底     

定积分应用中的一个问题

有些中学生问我:“微积分初步”课本上求旋转体的体积和侧面积时,都是把它们分成n个厚度同为△X的薄片,使得薄片很薄,再用我们熟悉的几何体对这些薄片作近似代替进行计算,然后求和,在△X→0时这和的极限就是旋转体的体积或侧面积。但是,在求体积时利用的几何体是相应的小圆柱,而在求侧面积时却是用相应的小圆台,这是为什么?     

几何体的体积

有关几何体的体积计算和证明问题在国内外数学竞赛中经常出现 ,善于转化 ,能割善补是解决体积问题的重要思想方法 .　　一、基础知识1 .多面体和旋转体的体积公式的推导的基础是祖日恒原理 ,其中也运用了求体积的重要思想方法 :割补法 .2 .同底等高的两个锥体的体积相等 .3.简单几何体的体积公式 :略 .例 1　长为 2、宽为 1的矩形 ,以它的一条对角线所在直线为轴旋转一周 ,求得到的旋转体的体积 .( 1 988年全国联赛题 )导析 :如图 1 ,设△ＡＢＣ、△ＡＤＣ、△ＡＨＣ旋转所成几何体的体积分别为Ｖ1、Ｖ2 、Ｖ3,则所求几何体积的体积Ｖ =Ｖ1 …     

解决体积问题的三种策略

在立体几何的学习中,我们经常会遇到求体积的问题,由于几何体的形状多种多样,所以求体积的方法也是千变万化,但是在这众多的方法中,我们可以摸索出一些一般的规律和基本的思路.本文将通过几个有代表性的例题来     

几何体体积的常用求法

柱、锥，台是立体几何中已经定义的几何体，求其体积时，首先应考虑直接用公式，其关键是找出公式中的参量．例略。     

祖暅原理与一类曲线旋转体体积

祖(日恒)原理:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积相等。祖(日恒)原理是我国古代数学家祖(日恒)在数学上的重要贡献之一.高中数学课本(新教材第九章阅读材料部分)有关柱体、锥体的体积公式V柱体=Sh,     

用祖原理求平面图形面积

为了求“非标准”的平面图形面积,本文借助祖暅原理,把“非标准”的平面图形进行空间平移转化为“非标准”的几何体,然后求出该几何体体积,再由体积公式求出该平面图形面积。通过推广该方法可以用于求由一次函数或二次函数所围成的几何图形的面积。     

球体体积推证中辅助体的探求

立体几何课本,对几何体体积的处理观点统一、自成系统,借助长方体和祖(日桓)原理,推导出柱、锥、台体的体积公式。但其中有一个难点,那就是在这些几何体体积的推证过程中,如何设计辅助几何体,而推证球体体积公式时,构造几何体的思维过程尤难讲清。学生常问,你怎么会想到用圆柱中挖去一个倒放的圆锥的剩余部分为辅助体的?为了使学生能     

试谈立体几何求积中的割补法

求积问题在高中立体几何教学中占有相当的比重。求积公式的推导方法也是多种多样的。教材中推导三棱锥体积公式,采用了“割补法”,即将三棱锥补成一个三棱柱,再把这个三棱柱分割成三个等积三棱锥,从而推导出三棱锥的求积公式的。所谓割补法,就是把所求几何体,经若干次补割,使之成为我们熟知的(即已有现成求积公式的)几何体,通过这两几何体之间的关系,建立起所求几何体的求积公式的方法。这种以动的观点来研究几何,对进一步培养学生的空间想象能力,促进思维的发展,无疑是很有帮助的。八七年高考(理科)     

几何体的表面积与体积

本文是高三数学专题复习中的“柱体、锥体与球的表面积与体积”的例题教学设计,主要是复习柱体、锥体与球的表面积及体积的计算及其简单应用。通过这一内容精选典型例题的教学,使学生掌握解决空间几何体的表面积与体积计算的常用方法,同时使学生掌握用运动、变化的观点分析空间几何体的表面积公式与体积公式中各个量之间的内在关系。在教学过程中注意培养化归与转化的意识,逐步提高空间想象能力。     

《锥体的体积》教学课件设计及点评

一、教材分析　　 (一 )地位和作用“锥体的体积”是研究多面体与旋转体性质的延伸和深化。锥体是生活中常见的几何体 ,体积是空间几何体的数量度的基本量之一 ,因此本节教材处于基础地位。通过锥体的空间位置关系确定体积计算的量 ,运用体积公式计算出锥体体积是学生通过本节课学习要掌握的内容。锥体的体积公式有着广泛的实际运用基础 ,它可用于解决生产、生活中的实际问题 ;在考察学生掌握、应用基础知识方面起到了重要作用。同时本节课也是培养高一学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容。锥体体积公式的整个推导思路 ,特别是三棱锥…     

一道几何题的多种解法

题目:有一个几何体,如右图所示,求出这个几何体的体积是多少立方分米?(单位:分米)分析与解:这是一个不规则的几何体,我们可以通过“割”“补”,把它变成一个已学过的几何体。解法一:把这个几何体沿虚线把它分割成上、下两个部分(如图1),先分别求出它们的体积,再求出它们的体积和。列式为:3×3×3+9×3×3=108(立方分米)。解法二:把这个几何体分割成大小相同的四个部分(如图2),每个小正方体的棱长是3分米,这个几何体的体积就是这四个小正方体的体积之和。列式为:3×3×3×4=108(立方分米)。解法三:把上面的小正方体割下来,把它拼在下面的长方…