利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|等号成立的条件解题

在高中数学教材中有定理||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|,其中||a|-|b||≤|a b|,||a|-|b||≤|a-b|,|a b|≤|a| |b|,|a-b|≤|a| |b|取等号的充要条件分别是ab≤0,ab≥0,ab≥0,ab≤0,在解题过程中利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|等号成立的条件解某些题,将得到解法     

解决《平面向量的数量积》的方法例析

<正>一、知识梳理1.平面向量的数量积。(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0。(2)几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。2.平面向量数量积的运算律。(1)a·b=b·a(交换律)。     

用数量积证等腰三角形(高一)

题△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,若a·b=b·c,求证:△ABC为等腰三角形. 有以下证法: 1.定义解 a,b夹角为π-C;b,C夹角为π-A,所以 a·b=b·c,即|a||b|cos(π-C)=|b||c|cos(π-A), |a|cosC=|c|cosA,从而 |a|/|b=cosA/cosC,     

含绝对值的函数最值问题探究

<正>最近,在高三的一轮复习课堂上接连出现含绝对值的函数最值问题,经过探究,发现很有规律可循.例1(2016年全国高考仿真模拟预测卷四(儒风教育集团命制)第24题):对于任意实数a(a≠0)和b,求|a+b|+|a-2b||a|的最小值.解|a+b|+|a-2b||a|=ba+1+2·ba-1,设ba=x,则|a+b|+|a-2b|     

向量导数巧求最值

恰当地应用好向量和导数,许多最值问题便迎刃而解,并且利用向量和导数来求最值,容易被学生接受.为了便于比较.一、用|a||b|≥a.b求最值例1已知x,y,z∈R ,且x y z=1,求x1 4y z9的最小值.解:令a=(1x,2y,3z),b=(x,y,z),则|a|2=1x 4y 9z,|b|2=1,(a.b)2=(1 2 3)2=36.由|a|2|b|2≥(a.b)2得,1x 4y 9z≥36,当且仅当1x=2y=3z时等号成立,即x=16,y=31,z=21.∴1x 4y 9z的最小值为36.例2已知ai,bi∈R ,且∑ni=1ai=∑ni=1bi=1,求a1a 12b1 a2a 22b2 … ana 2nbn的最小值.解析:令p=(a1a1 b1,aa2 2b2,…,anan bn,q=(a1 b1,a2 b2,…,an bn),则|p|2=a1a 21b1 a…     

用向量内积法证明一类分式不等式

现行高一数学(人教版)第一册(下)第五章平面向量第119页有关向量数量积有如下一个性质(5):设a,b都是非零向量,则有|a·b|≤|a||b|(*),不等式(*)结构对称,蕴含丰富,具有广泛的应用.本文运用(*)式证明一类分式不等式,下举例说明.例1设a,b,c≥0,ab bc ca=31.求证:a2-1bc 1 b2-1ca     

向量的数量积

向量a与b之间的夹角定义为分别等于a和b并且具有公共始点的两个向量之间的夹角(Fig.1).向量a乘以向量b的数量积定义为ab,它等于这两个向量的绝对值与它们夹角的余弦的乘积,即ab=|a||b|cosθ.数量积具有如下可由定义直接推出的性质:(1)ab=ba;(2)a~2=aa=|a|~2;(3)(λa)b=λ(ab);     

利用向量内积计算立体几何中的“距离”和“夹角”

向量内积(数量积)的定义及其坐标运算(a.b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2+z1z2)融向量、几何、代数知识于一体,成为许多数学知识的交汇点,是数形结合、转化的最佳纽带和桥梁,是用向量法计算立体几何中各种距离和夹角的最有力的基本工具,教学一线的教师教学中应给予足够的重视.     

妙用向量投影解题

<正>一般地,根据向量数量积的定义a·b=|a||b|cosθ,为求向量a与b的数量积a·b,往往需明确这两个向量的模及所成的夹角θ.仔细分析有关向量数量积的问题,发现其中有一类向量题,其题设条件不是按三要素|a|、|b|、θ全部给定来设计,而是以向量投影为背景进行设计,即以|a|、|b|cosθ     

平面向量的数量积的常用解题策略

平面向量的数量积是一个重点、难点,学生对平面向量的数量积及其性质的应用,感到困难、或无从下手,甚至回避.本文从以下几个方面讲解它的性质及应用. 两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,把数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积(或内积),即a·b=|a||b|cosθ     

平面向量四种创新型问题

<正>创新意识是理性思维的高层次表现.对创新型问题的考查是对高层次理性思维的考查.在考试中备受命题人的青睐,创新点的设置也常考常新.下面结合具体例子谈谈平面向量创新型问题的一般解法.题型1.信息迁移问题例1若两个向量a与b的夹角为θ,则称向量"a×b"为向量的"外积",其长度为|a×b|=|a||b|sinθ.若已知|a|=1,|b|=5,a·b=-4,则|a×b|=.分析:领会题目中的新信息是解决此类题目的关键,要求|a×b|,依据定义,只需求sinθ.     

向量数量积的两个简单性质及其应用

<正>向量的数量积有两个简单而又有趣的性质,利用它们可以轻松地解决某些问题,下面就此作一些介绍.性质1(数量积不等式)|a·b|≤|a||b|.证明设向量a,b的夹角为θ,则|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|.由于0°≤θ≤180°,故当且仅当θ=0或θ=180时,取"=".当θ=0°时,a·b=|a     

“三角”不等式的应用(高一)

教材中的定理: ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,也称为“三角形不等式”,由此容易得到|a+b|≥||a|-|b||,|a+b|≤|a|+|b|,|a-b|≥||a|-|b||,|a-b|≤|a|+|b|,取等号的充要条件分别是ab≤0,ab≥0,ab≤0,ab≤0. 利用这些规律解题,常会带来很多方便. 1.求值域例1 函数y=x+1/x的值域. 解因为     

平面向量数量积的第二定义及其应用

正1数量积的第二定义及推论1.1平面向量数量积的第二定义:我们知道现行普通高中课程标准实验教科书《数学》(必修4)上,对平面向量数量积(内积)是这样定义的:对于非零向量a,b,θ为向量a,b的夹角,则a·b=|a||b|cosθ,规定零向量与任一向量的数量积等于零.另外我们     

巧用平面向量的数量积,妙解圆锥曲线问题

两个非零向量的数量积的定义式a·b= |a||b|cosθ含有"角"和"长度";而该式又可变形为a·btanθ=|a||b|sinθtanθ,此式与三角形正弦面积有关;数量积还有坐标形式a·b =x1x2 y1y2.因此,通过数量积可沟通长度、角、坐标及三角形面积之间的关系.利用数量积解题,可以避繁就简.以下列举其在圆锥曲线中的应用.     

活用向量工具 巧证不等式

在新教材向量部分的知识中,有一些向量不等式,例如:设 a,b 为两个非零向量,则有三角不等式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a| |b|;数量积不等式:a·b≤|a·b|≤|a|·|b|和 |a|~2≥(a·b)~2/(|b|~2),当且仅当 a 与 b 共线(同向或反向)时,等号成立。我们可以借助这些向量不等式来解决一些具有相似结构特征的代数不等式问题,其中数量积的定义及其坐     

巧用向量法证明不等式

在向量这部分内容的学习过程中,我们接触了不少含不等式结构的式子,如|a b|≥|a|-|b|,|a b|≤|a| |b|;a·b≤|a·b|≤|a|·|b|等.其中数量积的定义及其坐标表示用得最多,如何运用它们解决实际问题呢?请看下面几例.     

向量的数量积解题初探

向量的数量积:设a、b是任意两个非零向量,它们之间正方向的夹角为∠(a,b),(0≤∠(a,b)≤π,则有a·b=|a|· |b|cos∠(a,b).     

数量积问题解题方略

数量积是平面向量的一朵奇葩,运算彤式有a·6=|a| |b| cos α(0≤α≤π)与坐标表示a·6=x1x2 y1y22种.其几何意义是:a·6等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积.     

一道三角题的引申

题目已知sinαcosβ=-1/2,求cosαsinβ的取值范围.引申1已知sinαcosβ=α,cosαsinβ=b,则|a|+|b|≤1,当且仅当sin~2α+sin~2β=1时等号成立.证明|a|+|b| =|sinα||cosβ|+|cosα||sinβ|≤(sin~2α+cos~2β)/2+(cos~2α+sin~2β)/2=1,