关于一类不等式证明的教学

高中代数(六年制)第二册P 91例8是求证:2~(1/2)+7~(1/2)<3~(1/2)+6~(1/2).课本上的分析是用平方再平方的方法(大概,传统教材和课外参考资料都是这样证明的). 在教学中,我发现有的学生是这样分析的:要证2~(1/2)+7~(1/2)<3~(1/2)+6~(1/2),即证7~(1/2)-6~(1/2)<3~(1/2)-2~(1/2),分子有理化,得(7-6)/(7~(1/2)+6~(1/2))<(3-2)/(3~(1/2)+2~(1/2)),     

一道不等式的推广及证明

高中代数有这样一道不等式:题 求证 2~(1/2) 7~(1/7)<3~(1/3) 6~(1/6).对此不等式我们注意到高中代数有这样一道不等式:题 求证2~(1/2) 7~(1/7)<3~(1/3) 6~(1/6).对此不等式我们注意到2 7=3 6,7-6=3-2.所以,我们拟将不等式推广为:题 对任意正实数m,有:(x-m)~(1/(x-m)) (x n)~(1/(x n))<(x-m 1)~(1/(x-m 1)) (x n-1)~(1/(x n-1))(x>m,n>1-m).证明 构造如图Rt△ABC和     

一道例题的推广与几何证明

高中《代数》(甲种本)第二册P91中例8:求证2~(1/2)+7~(1/2)<3~(1/2)+6~(1/2),用了综合法和分析法两种方法证明。在后面的练习题、习题和复习题中都安排了同类题。这些题可推广为下面的更一般的命题: 若0相似文献   

一道例题的教后感

《代数》(必修)下册第12页有一道例题: 求证:2~(1/2) 7~(1/2)<3~(1/2) 6~(1/2) 与一些“典型”例题相比较,它似乎很普通,难以在教学中加以发挥。然而,只要我们注意引导学生多角度地审视,深层次地思考,就会发现这的确是一道浅显易懂而又韵味十足的好题。下面不妨一起来分析一下这道题的教学思路。     

一道竞赛题的两种解法

第十五届江苏省初中数学竞赛二试初二第14(2)题:已知a(1-b~2)~(1/2)+b(1-a~2)~(1/2)=1,则a~2+b~2=____.这是一道启迪思维、培养创新能力的好题.这里给出两种解法,供参考.     

平方运算在解题中的运用

解某些无理方程与无理不等式、推导圆锥曲线的标准方程,需要对式子两端施行平方运算,这是大家熟知的。在另一些场合下,这一方法,对于化繁为简,也很有意义,以下,聊举数例说明这种情况。例1 若A=(6~(1/2)+2~(1/2))(3~(1/2)-2)((3~(1/2)+2)~(1/2),试求A。解原式较繁,因之,试探其平方是否可以化简,得: A~2=(6~(1/2)+2~(1/2))~2(3~(1/2)-2)~2(3~(1/2)+2) =(8+4(3~(1/2)))(3~(1/2)-2)~2(3~(1/2)+2) =4(3~(1/2)-2)~2(3~(1/2)+2)~2=4 考虑到3~(1/2)<2因而A<0,所以A=-2。例2 求sin15°+cos15°的值。解考虑到:sin~215°+cos~215°=1, 并且2sin15°cos15°=sin30°=1/2 可知:     

一道联赛题的多方位思考(高一、高二、高三)

2005年全国高中联赛第一试第一题: 使关于x的不等式(x-3)~(1/2) (6-x)~(1/2)≥k有解的实数k的最大值是( ) (A)6~(1/2)-3~(1/2)．(B)3~(1/2)．(C)6~(1/2) 3~(1/2)．(D)6~(1/2)．此题不失为一道开拓思维的好题,可以从多个方面进行求解,以下是我们对解决此题的一些思考．     

一道例题的推广与应用

本刊1991年第6期《一道例题的推广与几何证明》一文,对高中《代数》(甲种本)第二册P91例8:求证2~(1/2)+7~(1/2)<3~(1/2)+6~(1/2),给出了推广:若0相似文献   

一道数学趣题的多种解法

《中学数学综合习题选》(周玉政编著,辽宁人民出版社)第341页有一道数学趣题。“证明:2222~(5555)+5555~(2222)能被7整除。”书中给出了一种证法的提示:所给的数有2222~5+5555~2的因子,而2222~5=(317×7+3)~5,5555~2=(793×7+4)~2,3~5+4~2=37×7,所以,2222~(5555)+5555~(2222)能被7整除。     

巧用公式解题数例

巧用公式a~2-b~2=(a+b)(a-b) 例1.计算3·5·17…,…(2~2~(n-1)+1) 解:原式=(2-1)(2+1)(2~2+1)(2~2~2+1)…,…(2~2~(n-1)+1) =(2~2-1)(2~2+1)(2~2~2+1)…,…(2~2~(n-1)+1) …… =(2~2~(n-1)-1)(2~2~(n-1)+1)=2~2~n-1。巧用a~2+b~2+c~2+2ab+2bc+2ac =(a+b+c)~2 例2.计算5+6~(1/2)+10~(1/2)+15~(1/2)/2~(1/2)+3~(1/2)+5~(1/2) 解:由(2~(1/2)+3~(1/2)+5~(1/2))~2 =2+3+5+26~(1/2)+210~(1/2)+215~(1/15) =2(5+6~(1/2)+10~(1/2)+15~(1/2)) 得5+6~(1/2)+10~(1/2)+15~(1/15)=1/2(2~(1/2+3~(1/2)+5~(1/2))~2     

借题发挥 用好课本——一道例题的教后感

初中《代数》(必修)下册第12页有一道例题:例8 求证2~(1/2) 7~(1/7)＜3~(1/3) 6~(1/6)。与一些“典型”例题相比较,它似乎很普通,难以在教学中加以发挥。然而,只要我们注意引导学生多角度地审视、深层次地思考,就会发现这的确是一道浅显易     

此题有玄机(高二、高三)

在复习“三角函数”时,老师讲了一道三角题已知sin3α/sin(π/6-3α)=cos3α/cos(π/6-3α)=2~(1/3)(α≠kπ/4,且k∈Z),求tan2α.老师给出的解答:由已知可得     

奇特的勾股数

美国《数学教师》杂志上曾刊登过这样一道题: 证明:对于任意正整数n,边长是 6·10~(n+z),1125·10~(2n+1)-8,1125·10~(2n+1)+8的三角形是直角三角形,(从而三边长成为勾股数)     

比较二次根式大小的方法

一、运用根式定义法此种方法常用到二次(或偶次)根式的被开方数是非负数这一性质.例1比较2~(1/2)-a与3~(1/2)-3的大小.解由题意得二、平方法利用性质:当a>0,b>0时,若a2>b2,则a>b.例2比较5~(1/2)+13~(1/2)与7~(1/2)+11~(1/2)的大小.解     

二次根式化简的若干技巧

一、因式分解法例 1.化简:(6~(1/2)+3-15~(/12))/(2~(1/2)+3~(1/2)-5~(1/2))=3(1/2) 解:原式=(3~(1/2)(2~(1/2)+3~(1/2)-5~(1/2))/(2~(1/2)+3~(1/2)-5~(1/2))=3~(1/2) 注:本例若利用分母有理化,便会事倍功半,抓住分子有公因子“3~(1/2)”,采取提取公因子之法,问题迎刃而解。请再看一例:     

一道简单的不等式及其应用——兼答有奖解题擂台(122)和一道奥赛题

<正>本文先给出并证明一道简单的不等式,然后举例说明其应用.为此,我们将这个不等式作为定理给出.定理(自创题,2017.08.17)设x_1、x_2、x_3、x_4∈R,则x_1x_2(x_3~2+x_4~2)+x_3x_4(x_1~2+x_2~2)≤1/4(x_1+x_2)~2(x-_3+x_4)~2,当且仅当x_1=x_2或x_3=x_4时,取等号.     

也谈椭圆内接矩形的一个性质

在高二《解析几何》课本总复习题中有这样一道习题:“已知椭圆x~2/(16)+y~2/9=1,求椭圆内接正方形的面积.”(P 192) 对于这一道题,通常解法如下: 设椭圆内接正方形一个顶点坐标为(x_1,y_1),则另外三个顶点坐标为(-x_1,y_1)(-x_1,-y_1),(x_1,-y_1),再由正方形的特征可得|x_1|=|y_1|,代入椭圆方程立得:x_1~2/(16)+x_1~2/9=1,即得:x_1~2=(144)/(25) S正方形=4x_1~2=(576)/(25)     

一道竞赛题的妙解(高一、高二、高三)

题若(1+x+x2)1000的展开式为a0十a(1-x)+a(2-x2)+…+a2000x2000,则a0+a3+a6+a9+…+a1998的值为( ) (A)3333. (B)3666. (C)3999. (D)32001. (2001年高中联赛) 这是一道源于教材而高于教材的好题.认真观察条件以及所求式子的特点,恰当地利用w(w+1/2±     

一道竞赛题的证明与推广

题目:设0相似文献   

一道习题的探索

高中数学第三册第二章不等式有这样一道习题:用逆证法证明: (1) a~(1/2)-(a-1)~(1/2)<(a-2)~(1/2)-(a-3)~(1/2),(a≥3); (2) 1/3~(1/2)+2~(1/2)>5~(1/2)-2。下面我们用顺证法证明命题(1)成立。证证:∵ a≥3, ∴ a~(1/2)、(a-1)~(1/2)、(a-