圆切于抛物线顶点的定理及其在物理中的应用

定理1：抛物线x^2=2py的p确定后，圆x^2 (y-p)^2=p^2是只与抛物线有顶点交点，且内切于抛物线的最大圆。     

内切于抛物线顶点的最大圆——兼谈一个逻辑关系

1内切于抛物线顶点的最大圆1.1文[1]的含糊文[1]讨论了例1在抛物线y=ax2(a>0)的上方(y≥ax2),求出一个与抛物线相切于原点的最大圆的方程.虽然结论正确,但有几处含糊其词,令人不够满意.(1)定理的证明中,由圆的方程     

以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆与相应准线的位置关系——由新课标苏教版的一道习题引发的反思

习题经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作一直线与抛物线相交于P1、Q1两点,求证:以线段P1Q1为直径的圆与抛物线的准线相切.证明设P1Q1的中点为M,点P1、Q1、M在抛物线准线上的射影分别为点P2、Q2、N,则P1P2=P1F,Q1Q2=Q1F.因为MN是直角梯形P1Q1Q2P2的中位线,所以MN=1/2(P1P2 Q1Q2)=12(P1F Q1F)=1/2P1Q1,圆心M到准线的距离等于圆的半径,所以此圆与准线相切.结论以抛物线的焦点弦为直径的圆与其准线相切.反思1若以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆与相应的准线相切,那么此圆锥曲线是否是抛物线?判断设圆锥曲线的焦点F,过焦点的弦为PQ,…     

二次曲线内部相切于顶点的最大圆

问题的提出 如图1，在轴截面为抛物线y=x^2的碗内放一个玻璃球，使得玻璃球与碗底部接触，问球的最大半径是多少?此题实际上是求抛物线内部与抛物线相切于顶点的最大圆．它有两个内容值得研究：     

错在哪里

<正>1北京市丰台二中甘志国(邮编:100071)题目动圆C经过点F(1,0),并且与直线x=-1相切,若动圆C与直线y=x+2槡2+1总有公共点,则圆C的面积()A.有最大值8πB.有最小值πC.有最小值2πD.有最小值4π错解先得动圆C的圆心C(x,y)的轨迹是抛物线y2=4x,得直线y=x+2槡2+1与该抛物线相离.因为圆心C在抛物线y2=4x上时,该     

谈圆切于抛物线顶点的两个定理

1问题的提出例题在抛物线y=ax2(a>0)的上方(y≥ax2)求出与抛物线只有顶点交点的最大圆的方程.     

一道竞赛题的解法赏析

<正>本文给出2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛第一道解答题的几种解法及评析,以飨读者。题已知圆x2+y2=1与抛物线y=x2+h有公共点,求实数h的取值范围。解法1因为圆x2+y2=1与抛物线有公共点,     

错在哪里

数学抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,它与圆x2 y2=9相交,公共弦MN的长为2(5~(1/2)),求该抛物线的方程．错解:设抛物线的方程为x2=2py(P∈R),M(x1,y1),N(x2,y2)．     

数学奥林匹克高中训练题(23)

第一试 一、选择题(每小题6分,共36分) 1.1996~3 1除以1996×1997所得的余数是( )。 (A)1(B)1995(C)1996(D)1997 2.若在抛物线y=ax~2(a>0)的上方可作一个半径为r的圆与抛物线相切于原点O,且该圆与抛物线没有别的公共点,则r的最大值是( )。     

圆锥曲线中的相切美

给宝抛物线y2=2Px,P1P2是过抛物线焦点F的任意一条弦,我们可以得到如下有趣的结论．1、以焦点弦P1P2为直径的圆C恰与抛物线的准线l相切·如图1。分析：只要证明圆心C到准线的距离等于国的半径r．证明：作垂足分别为Q1,Q2,Q0根据梯形中位线定理和抛物线的定义得到：2、分别以焦半径FP1,FP2为直径的国C1和圆C2恰与y轴相切。如图2。证明：不妨设只,民的坐标分别为（x1,y1）．(x2,y2)设P1F的中点为C1,圆C1的半径为rl．这就说明回C1与y轴相切。同理可证国CZ与y轴相切·3、以马岛为直径的国必与焦点弦P人相切,且切点为抛物线的焦…     

圆锥曲线的一个几何性质

众所周知,圆有以下几何性质:由圆心向圆的切线引垂线,其垂足在圆周上.与此类似,圆锥曲线亦有如下性质:从椭圆、双曲线侏点向任一切线引垂线,垂足的轨迹为圆;过抛物线焦点向切线引垂线,垂足的轨迹为过抛物线顶点且与轴垂直的直线.为证明此结论,先证明:引理1:椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1上任一点 P(x_0,     

直线方程x0x＋y0y=r^2的几何意义及其推广

我们知道，若P(x0，y0)是圆x^2 y^2=r^2上的点，则x0x y0y=r^2是该圆的切线；若P(x0，y0)是抛物线y^2=2px上的点，则y0y=p(x0 x)是该抛物线的切线．     

一道抛物线试题的解答与推广

<正>1 试题呈现已知抛物线C:y²=4x的焦点为F,直线y=x-2与抛物线C交于A,B两点.(1)求△FAB的面积;(2)过抛物线C上一点P作圆M:(x-3)²+y²=4的两条斜率都存在的切线分别与抛物线C交于异于点P的两点D,E.证明：直线DE与圆M相切.本题是典型的抛物线多动点问题,结合直线与圆的位置关系进行考查,对学生逻辑推理能力和数学运算能力有较高的要求.直线与圆锥曲线综合问题,常规方法是联立直线与曲线方程,     

一道解几题的别解

在一些数学期刊和数学复习资料中，常可见到这样一道解儿题：抛物线与圆x2＋y2－2ax＋a2一1＝0，（1）若两曲线只有三个交点，求a的范围；（2）若两曲线只有两个交点，求a的范围。解法～般是这样的：将y‘一一X代人国的方程得：（1）两曲线有三个交点，由图可得圆过抛物线顶点（0，0）即方程（来）有一零解，有一正根，即a’－l。0且tr－2a＜0，．．．a＝1。～，—。’、一2（2）两曲线有两个交点，即方程林贿一正～负的根或二相等的正根，即：现给出一别解，为此将题H略作改动：已知抛物线广”！”和圆X‘“”‘－2“””“’－l。0，就…     

探讨抛物线的切点弦性质

圆的切点弦问题蕴涵着圆的许多别具一格的几何性质,同样地,抛物线的切点弦问题的性质也很精彩.近几年来,以抛物线的切点弦性质为背景的高考试题频频亮相,以其独特的魅力,尽显风骚.本文对抛物线的切点弦问题的性质做简单的归纳与思考.1 定值问题性质1 过抛物线的准线与对称轴的交点作抛物线的两条切线,则切点弦长等于该抛物线的通径.证明:设抛物线 y~2=2px(p>0),则其准线与对称轴的交点为(-(p/2),0),设切点 A(x_0,y_0),则切线方     

寻找解析几何解题的突破口

一、从圆锥曲线的定义中寻找 例1 已知圆的方程为x^2＋y^2=4,两个定点分别为A（-1,0）,B（1,0）,动抛物线过A、B两点且以圆的切线为准线。求抛物线的焦点的轨迹方程．     

由一道高考题引出的新结论

2011年浙江高考(理)第21题:已知抛物线C1:x2=y,C2:x2+(y-4)2=1的圆心在点M.(Ⅰ)求点M到抛物线C1的准线的距离;(Ⅱ)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A,B两点.若过M,P的直线垂直于AB,求直线l的方程.     

圆锥曲线的一个几何性质的发现和证明

圆的任一个内接直角三角形的斜边都通过定点——此圆的圆心,椭圆、抛物线、双曲线有没有类似的性质呢?这是值得探讨的一个问题。 先看抛物线。通过作图发现抛物线的内接直角三角形的直角顶点固定时.斜边过定点。 1.证明:过抛物线y~2=2px（p>0）上任一点P（x_0,y_0）,作互相垂直的射线PM、PN,分别交抛物线于M、N,则线段MN过定点。     

寻找解析几何解题的突破口

一、从圆锥曲线的定义中寻找例1已知圆的方程为x2+y2=4,两个定点分别为A(-1,0),B(1,0),动抛物线过A、B两点且以圆的切线为准线,求抛物线的焦点的轨迹方程.寻找突破口求轨迹方程的常用方法有直接     

利用“同构式”求解数学问题

<正>在求解有关函数与方程的问题中,经常会碰到一些除变量外完全相同的结构式(以下简称为同构式).如果解题时能利用其同构的特点,寻求与问题的某种内在联系,可以起到化繁为简的作用,收到意想不到的效果.问题1如图1,已知抛物线C:x²=y,圆M:x2=y,圆M:x²+(y-4)2+(y-4)²=1.(1)求圆心M到抛物线C准线的距离;(2)已知P是抛物线C上一点,过点P作