谈“判别式法”等在教学中的几个疵点

“判别式法”、“三角函数值有界法”等是求函数值域常用方法,尽管这类解法教学上日益完善,但决非尽善尽美。本文就有关这方面,谈些粗浅看法。一、“判别式法”求函数值域解法实质是什么有关资料表明,在中学数学教学中存在:“判别式法”仅仅使用一元二次方程根的判别式的偏面认识,有些(如文[1][2][3])甚至基于这一认识,得出“判别式法”并不可靠,仅在一定范围内使用结论,文[1][2]提出的理由是求解过程中,函数式(看作关于x方程)变形不都是同解变形,仅仅用1≥0,可能扩大y的取值范围。诚然,我们可以把“判别式法”运用局限于函数式变形为同解变形的函数范围内,但这无疑是作茧自缚,因为不加约束条件     

用判别式求解形如函数y=(ax~2+bx+c)/(dx~2+ex+f)(d≠0)的值域时不可忽视对定义域的讨论

在求解形如函数y=ax^2＋bx＋c/dx^2＋ex＋f（d≠0）的值域时,可将函数转化为关于x的二次方程,通过判别式法求出函数的值域,但利用判别式法求解这类函数的值域时应注意函数的定义域．     

不可盲目使用差别式法

对于形如y=ax2+bx+c/dx2+ex+f的二次有理分式函数的值域,一般是要用判别式法求解的。但应注意,利用判别式法求上述函数的值域是有先决条件的(你知道先决条件是什么吗?),如忽略了先决条件而盲目使用判别式法,将极易造成解题出错.如下题: 例1 求函数y=x2-rx+3/2x2-x-1的值域.     

不可盲目使用判别式法

对于形如y=(ax^2 bx c)/(dx^2 ex f)的二次有理分式函数的值域，一般是要用判别式法求解的．但应注意，利用判别式法求上述函数的值域是有先决条件的(你知道先决条件是什么吗?)，如忽略了先决条件而盲目使用判别式法，将极易造成解题出错．如下题.     

用“判别式法”求函数的值域

众所周知，求形如y=α1x^2 b1x c1／α2x^2 b2x c2的函数的值域时，通常习惯于使用“判别式法”，但是，在其求解的过程中，往往又会出现使所求的值域扩大或缩小的错误，而且有时还不知如何去检验．本文试图从“判别式法”的理论依据人手，以例题的形式来谈谈到底应该怎样求这类函数的值域问题．     

关于函数最值的几种初等解法

求解函数最值的初等方法是高中数学的重要内容.求解函数最值的初等方法很多,比如配方法、判别式法、不等式法、单调性法、换元法、解几法等,利用这些方法可以简洁明快地解决一些函数的最值问题.     

求二次分式函数值域的解题策略

求实系数二次分式函数y=(a_1x~2 b_1x c_1)/(a_2x~2 b_2x c_2)值域问题是高中数学中的常见问题,本文想将这类问题的常见类型和解法归类整理于下,希得到同行指教.1 一般类型的函数值域问题1.1 判别式法此法是将函数式转化为关于 x 的方程,根据方程有实根的条件,用判别式为非负数来求解.此法不适用于求区间值域.     

突破点差法解双曲线中点弦问题的难点

圆锥曲线的“中点弦”问题，习惯的处理方式是对椭圆和抛物线的问题优先用“点差法”（或说代点相减法），对双曲线问题优先用“判别式法”（先设出直线方程与抛物线方程联立，消去一元后得到二次方程，然后运用根的判别式等知识求解）．但在实际中，许多学生习惯于开始都采用“点差法”，因而在求解某些双曲线问题时，又不得不放弃原来的思路而改用“判别式法”．下面笔者提供2种突破方法，以供参考．     

“判别式法”求函数值域的错解剖析

关于函数值问题,解法较多,其中“判别式法”是最常用的方法之一,然而,由于解题过程中的非等价变换,往往会出现错解.本文就“判别式法”求函数值域时常见错误进行剖析.     

构造距离巧求多元函数最值

<正> 在高中数学习题中,经常遇到求多元函数的最值,其方法可用换元法、判别式法、重要不等式法等.本文用构造距离法求解,供参考.一、构造两点间的距离例1(第二届“希望杯”全国数学邀请赛试题)以实数x、y为自     

求最值的方法与技巧种种(续)

二、判别式法与构造方程的技巧 如果函数y=f(x)可化为a(y)·x~2 b(y)·x c(y)=0 (a(y)≠0)的形式,同时可从△=b~2(y)-4a(y)·a(y)≥0求出y的变化范围。便可考虑用判别式法求此函数的最值。判别式法多用于求分式函数或无理函数的最值。运用此法必须全面慎重,特别是对于给定区间上的函数。当用判别式法求出y的变化范围后,应将端点值代回原函数进行检验,否则易产生“增值”、“误判”等情况。     

应用三角方程的“判别式”求一类函数值域

求型如 y=a_1sinx b_1cosx c_1/a_2sinx b_2cosx c_2的函数值域,常规解法一般有两种,一是把原函数变形为 sin(x (?))=F(y)型,然后利用三角函数的有界性解不等式|F(y)|≤1(通常为无理不等式);二是利用万能公式变形转化为关于 tan(x/2)的二次方程,利用二次方程的判别式求解.这两种解法固然可行,但过程繁琐、冗长.下面介绍一种新的方法——三角方程“判别式”法,首先我们证明一个定理.     

无理函数值域的常见求法

在解题过程中,同学们遇到无理函数的值域问题时,普遍采用的是“判别式法”,但由于无理函数的定义域一般不为R,所以在解题过程中容易扩大自变量的取值范围,使用“判别式法”失效．本文将对常见的无理函数类型及解法作一归纳,使得在求无理函数的值域时避开“判别式法”,尽快求出正确答案．     

待定系数法求一类函数的最小值

形如y=a√x2 bx c-dx(a,c,d＞0,a＞d,b2-4c＜0)的函数的最小值除了可以利用判别式法求得以外,还可以通过待定系数利用平均值不等式求解.     

初中数学函数最值问题求解策略

函数最值问题是热门的中考考点之一.有必要研究一下几种求解函数最值问题的方法,如消元法、配方法、数形结合法和判别式法,希望给后续相关的研究及学生的学习提供一些帮助。     

“不等式恒成立“问题中参数取值范围的确定

“不等式恒成立”问题,覆盖知识点多,把不等式、函数、三角、数列、几何等有机地结合起来,方法也多种多样。纵观近几年的高考题,屡屡都会出现,对于“不等式恒成立”问题中参数取值范围的确定,学生往往思路紊乱,无从下手,得分率偏低。下面结合近几年的高考题及各地中的模拟试题,就其解题方法略作探讨。一、判别式法对于能转化为“二次”的问题,通常可用判别式法,利用“Δ”并结合根的分布的充要条件求解。例1设对所有实数x,不等式x2log24(aa 1) 2xlog2a2 a1 log2(a4 a12)2>0恒成立,求实数a的取值范围。解:令t=log2a2 a1,则原不等式可化为:(3-…     

一道值域题的多种解法

函数的值域,是高中代数部分一个非常重要的内容,求解方法多种多样,常用的有:换元法、逆求法、判别式法、不等式法等,并常常使用数形结合思想,涉及多种知识的综合利用,因此,通过从多角度探寻函数值域的求解途径,有利于提高同学们分析问题,解决问题的能力.     

不等式恒成立问题的求解策略

不等式恒成立问题是国内外数学竞赛题、高考模拟题中频频出现的一类热点问题.学生解答这类问题时,容易与不等式性质中“传递性”的认知习惯相冲突.有时题中所涉及的未知数、参数数目有多个,处理起来颇为棘手.本文列举数例,探讨这类问题的若干求解策略.1 判别式法判别式法是求解不等式恒成立问题的常用方法之一.解题的关键是构建关于未知数的二     

知其然知其所以然——判别式法的理论依据、应用及拓展

<正>用判别式法求形如y=(dx2+ex+f)/(ax2+bx+c)的函数的值域,方便快捷.更重要的是,判别式法是帮助学生体会函数方程思想、化归思想的绝佳素材.但笔者发现很多同学滥用这种方     

判别式法在求函数值域中的应用

求函数 y =f(x)的值域或相关问题 ,若能将其演变为隐函数a(y)x2 b(y)x c(y) =0的形式 ,就可运用判别式法求解 .这种方法 ,往往比其它方法更有效