对一道习题解法的再思考

<正>一、问题呈现题目如图1所示,在△ABC中,AB=6,AC=3,∠BAC=120°,∠BAC的平分线交BC于点D,求AD的长.二、解法新探及思考解法1如图1,过点D作DE∥AB交AC于点E,则∠EDA=∠BAD.∵AD平分∠BAC,∠BAC=120°,∴∠EAD=∠BAD=∠EDA=60°,故△ADE是正三角形,DE=EA=AD.由DE∥AB,     

计算弦长方法种种

题目如图1,PA、PB、PC是⊙O的三条弦,PA=a,PB=b,∠APC=30°,∠BPC=60°,求弦PC的长.下面我们以此题为例来分析关于计算弦长的几种方法.解法一:灵活作垂线如图2,连结AB、AC,过点A作AE⊥PC于点E.在Rt△APE中,因为∠APC=30°,PA=a,所以AE=a2,PE=3姨a2.又因为∠ACP=∠PBA,∠AEC=90°,∠APB=∠APC ∠BPC=90°,所以△ACE∽△ABP.P图1COAB图2COPABE所以ECEA=PBPA,所以EC=EA·PBPA=a2·ba=b2,所以PC=PE CE=3姨a b2.解法二:巧用面积法如图3,连结AB、AC、BC,过点A作AE⊥PC于点E,过点B作BF⊥PC于点F.因…     

等腰直角三角形手拉手展风采

<正>例1如图,△AOB和△COD是等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,点D在AB上.(1)求证:△AOC≌△BOD;(2)若AD=3,BD=1.求CD的长.证明:(1)因为△AOB,△COD是等腰直角三角形,且∠AOB=∠COD=90°,所以:OA=OB,OC=OD,因为:∠AOC+∠AOD=∠COD=90°,∠BOD+∠AOD=∠AOB=90°,所以:∠AOC=∠BOD,所以:△AOC≌△BOD(SAS).     

八年级数学单元测试题（课标人教版）

一、填空题(每空2分,共18分)1.两个能够完全重合的图形称为____________,全等图形的__________和大小完全相同.2.如图1,若△OAD≌△OBC,且∠O=65°,∠C=20°则∠OAD=_____________.3.如图2,已知AB=AD,∠1=∠2,要使△ABC≌△ADE,还需添加的条件是(只需填一个)____________.4.如图3,P是∠AOB的平分线上一点,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,则图中相等的线段有__________________.5.在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,∠A=∠B′,AB=A′B′,则下列结论①AC=A′C′,②BC=B′C′,③AC=B′C′,④∠A=∠A′中,正确的是____…     

一例中考题的13种解法及其反思

例1(2011年四川泸州中考)如图*,点P为等边△ABC外接圆周劣弧BC上的一点.(1)求∠BPC的度数;(2)求证:PA=PB+PC;(3)设PA,BC交于点M,若AB=4,PC=2,求CM的长度.解析:这是一例延用许多年的经典问题.其中(1)较为简单,由"圆周角"定理易知:∠APB=∠ACB=60°,∠APC=∠ABC=60°,则∠BPC=∠APB+∠APC=60°+60°=120°.对于(3),解法较少,不做过多探究:由∠ABM=∠CPM,∠AMB=∠CMP,可得△ABM∽△CPM,则AMCM=BMPM=ABPC=42=2,设CM=x,则AM=2x,结合BC=AB=4,可知BM=     

以二次函数为背景的动态几何问题

动态几何问题以其丰富的特性频频亮相于中考试题,尤其是与二次函数的结合,更加增添了动态几何的“个性”魅力,现采撷2009年中考题几例作一简析,供学习参考.1单动点与二次函数例1(2009年深圳)已知:Rt△ABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边AB与x轴重合(其中OA0,n>0),连接DP交BC于点E.当△BDE是等腰三角形时,直接写出此时点E的坐标.②又连结CD、CP(如图3),△CDP是否有最大面积若有,求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标;若没有,请说明理由.图1图2图3图4解(1)设OA的长为x,则OB=5-x,因OC=2,AB=5,∠AOC=∠BOC=90°,∠OAC=∠OCB,故△AOC∽△COB;故CO2=OA.OB,即22=x(5-x),解得:x1=1,x2=4.因OA     

等腰三角形新题型解析

本文就等腰三角形的三类新题型解析如下,供同学们学习时参考.一、从已知图形中数等腰三角形的个数例1如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线,且相交于点F,则图中等腰三角形有()A.6个"B.7个"C.8个"D.9个(天津市中考题)解:因为AB=AC,∠A=36°,所以易求得∠1=∠2=∠3=∠4=36°,∠5=∠6=∠7=∠8=72°,从而图中共有8个等腰三角形,即:△ABC、△FBC、△BCD、△CBE、△DAB、△EAC、△CDF、△BEF.故应选C.二、从已知图形中找构成等腰三角形的点例2在等边△ABC所在的平面内求一点P,使△PAB、△…     

旋转图形解题两例

例1如图1,设O是等边三角形ABC内一点,∠AOB= 115°,∠AOC=125°,则以OA、OB、OC为边所构成的三角形的各内角的度数各是多少?解如图2,把△AOB绕点A逆时针旋转60°得到△ADC,则AD=AO,∠2=∠1.所以∠2+∠3=∠1+∠3 =∠BAC=60°.     

几何综合题

总复习阶段,应有针对性地、适量地研究一些不同类型的几何综合题的解法.几何综合题大多是圆与平行线、三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.近几年来,全国各地中考题中,一题多问、开放性题目是几何综合题常见类型.图1例1如图1,已知正△ABC内接于⊙O,P是劣弧BC上一点,PA交BC于点E.求证:(1)PA=PB+PC;(2)P1B+P1C=P1E.证明:(1)在AP上取一点D,使AD=PC,联结BD.易知△ABD≌△CBP.则BD=PB.又∠3=∠4=60°,所以△PBD是等边三角形.故PD=PB,即PA=PB+PC.(2)证法1:因为∠3=∠5=60°,∠1=∠2,所以,△PAB∽…     

构造正三角形解“汤普森问题”

如图 2 ,在△ ABC中 ,已知 AB =AC,∠ A=∠ 1=2 0°,∠ 2 =3 0°,求∠α =?这就是著名的“汤普森问题”.据说以前一直没有人能用纯几何方法解决它 ,上世纪 5 0年代美国汤普森首先给出了一种纯几何解法 (即以下的解法 1) ,因此后来有人称之为“汤普森问题”.图 1解法 1:如图1,首先把圆周分为 18等分 ,∠ A1 OA2 =3 60°÷ 18=2 0°,A1 A7与 A3 A1 5对称于OA2 ,所以它们的交点 E在 OA2 上 ,又设 A3 A1 5交 OA1于 D.因为∠ A1 OA7=2 0°× 6=12 0°,所以∠ 2 =12 ( 180°-12 0°) =3 0°.而△ A1 5A1 8O和△ OA1 8A3 是等边三角…     

数学奥林匹克问题

初43.k为什么实数时,关于x的方程(6-k)(9-k)x~2-(117-5k)x 54=0的解都是整数。 (陈宽宏 湖南岳阳县熊市中学,414113) 初44.在△ABC的外侧作△BCP,△CAQ和△ABR,使∠PBC=∠QAC=30°,∠PCB=∠QCA     

一道课本习题的变式探究

一、原题再现题目(苏科版《数学》八(下)练习)如图1,在△PAB中,点C、D在边AB上,PC=PD=CD,∠APB=120°,△APC与△PBD相似吗?为什么?略解本题由PC=PD得出∠ACP=∠PDB,利用三角形内角和定理与推论得出∠A+∠B=60°,∠A+∠APC=60°,得出∠B=∠APC,从而判定△APC∽△PBD.点评本题容易得出∠ACP=∠PDB,     

妙用对称图形解题一例

在平面几何中 ,许多题目由于自身的特殊性 ,有着非常独特、巧妙的解法 .如果不注意其特殊性而一味采用常规解法 ,将会绕弯子 ,甚至劳而无功 .下面的一道例题 ,从其特殊性入手考虑 ,利用对称性 ,很容易求得问题的答案 .例　已知等腰△ABC的顶角∠ BAC=80°,点 O为△ABC内一点 ,且∠ OCB=2 0°,∠ OBC=10°.求∠ OAC和∠ OAB的度数 .解　作点 O关于 AC的对称点 O ,连结 OO 、O C、O A、O B.算出∠ O CA=∠ OCA =30°,则知△ COO 为正三角形 ,有 OC=OO .再计算出∠ BOC=∠ BOO =150°,立得　△ BOC≌△BOO ,∴　∠OO …     

试卷评阅后之所思

原题已知AB=AC,CD⊥AB于点D,BE上AC于点E,BE与CD相交于点O,(1)求证:AD=AE.(2)连接OA、BC,试判断直线OA、BC的位置关系并说明理由.提供的标准答案:(1)证明:如图1中,在△ACD与△ABE中,∵.∠ADC=∠A EB=90°,∠A=∠A,AC=AB,∴△ACD≌△ABE.∴AD=AE.(2)互相垂直;证明连接OA、BC,如图2,在Rt△ADO与Rt△AEO中,     

证明线段相等的一些常见方法

<正>证明线段相等,是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题,是学生学习几何的常见入门题,也是学生后继学习的基础.本文以一道题为例,介绍证明线段相等的常见方法.问题如图1,在四边形ABCD中,∠ACB=∠BAD=105°,∠ABC=∠ADC=45°,求证:CD=AB.     

等腰三角形“手拉手”模型的拓展

<正>在初中几何中,模型教学的几何直观性有着很强的指导意义,同时,模型教学也是提升数学学科核心素养的一个重要途径.本文将对传统"手拉手"模型作进一步探究.一、模型及性质模型如图1,两个等腰三角形ABD和BCE,AB=BD,BE=BC且∠ABD=∠CBE=∠α,AE与CD相交于于点F,连接BF.则有:(1)△ABE≌△DBC;(2)∠AFD=∠α;(3) BF平分∠AFC.     

不作辅助线求解更简捷

“梯形”练习题中有这样一个问题:已知等腰梯形ABCD,AD//BC,对角AC⊥BD,AD=3cm,BC=7cm,求梯形的面积S.参考书中通常介绍如下三种作辅助线的方法(如图1).然而不作辅助线,是否也能求解呢?答案是肯定的.解法如下:如图2,因为ABCD是等腰梯形,所以AB=DC,∠ABC=∠DCB,又知BC=BC,所以△ABC≌△DCB(SAS),所以∠1=∠2,AC=BD,而AC⊥BD,所以∠1=∠2=45°,故△BOC等腰直角三角形.同理可知△AOD也为等腰直角三角形.由勾股定理得OA=OD=姨22AD=23姨2cm.OB=OC=姨22BC=7姨22cm.所以AC=OA OC=5姨2cm.于是S梯形ABCD=S△ABC S…     

平行线中的新题型

近年来,围绕平行线这一知识点,出现了许多新题型,归纳起来主要有:一、条件开放型例1如图1,直线l与l1、l2相交,形成∠1,∠2,…,∠8,请填上你认为适合的一个条件:,使得l1∥l2分析:当同位角相等时,有l1∥l2,可有∠1=∠5,∠2=∠6,∠4=∠8,∠3=∠7等4种填法;当内错角相等时,有l1∥l2,可有∠3=∠5,∠4=∠6等2种填法;当同旁内角互补时,也有l1∥l2,可有∠3 ∠6=180°,∠4 ∠5=180°等2种填法。以上均为直接条件,以下为间接条件,可转化为上述三种角的关系中的某一种:∠1=∠7,∠2=∠8,∠2 ∠7=180°,∠1 ∠8=180°,∠1 ∠6=180°,∠2 ∠5=180°,∠3 ∠…     

数学问题与解答

491.在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=70°,M为形内一点,∠MAB=∠MCA=20°,求∠MBA的度数。 解:如图1,在BC的延长线上取一点E,使∠EAC=10°,过B作AC的垂线分别交AE、AM于D、F,连DM、DC、CF,     

从一道圆弧题多种解法看命题灵活性

题目:如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=25°,以C为圆心,CA为半径的圆交AB于D,则的AD的度数是______. 该题为1998年天津市中考第10题,选自《几何》第三册第102页B组第2题. 此题难度不大,但比较灵活,可从不同角度、多种解法来考查有关“弧”的计算问题. 解法1 利用弧所对的圆心角,如图1.