哥西不等式的推广及应用

设 a_i和 b_(i=1,2,…,n)都是实数,则(a_1~2 a_2~2 … a_n~2)(b_1~2 b_2~2 … b_n~2)≥(a_1b_1 a_2b_2 … a_nb_n)~2 (1)当且仅当 a_i=kb_i(i=1,2,…,n)时等号成立,这就是通常所说的哥西不等式.由该不等式很容易得到一个推广.实际上,在不等式(1)中,令 a_i=x_i/(y_i~(1/2)),b_i=y_i~(1/2)(i     

Cauchy不等式及其应用

设a_k,b_k(k=1,2,…,n)是任意实数,那么,不等式(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2≤(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2)(1)或|a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n|≤(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)~(1/2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2)~(1/2)(1’)是成立的,等号当且仅当a_k=cb_k(c为常数)时,即a_k与b_k成比例时成立.不等式(1)或(1’)就是著名的柯西(Cauchy)公式或柯西不等式.这个不等式的证明是这样的:     

一个不等式的推广和应用

本文推广一个简单且有用的不等式,从而可使某些不等式的证明变得十分简便.l 一个简单不等式设x_1、x_2∈R,则4x_1x_2≤(x_1 x_2)~2≤2(x_1~2 x_2~2),当且仅当x_1=x_2时,等号成立.显然,只要利用基本不等式x_2~2 x_2~2≥2x_1x_2,本题即可得证.     

一个不等式的应用

定理(ax-by)~2≥(a~2-b~2)(x~2-y~2)(*),当且仅当ay=bx时等号成立。 证明 略,事实上此不等式堪与柯西不等式(ax by)~2≤(a~2 b~2)(x~2 y~2)相媲美,灵活运用不等式(*),可收奇效。 例1 已知m,n(m>n)是正常数,x,y是正变数,且m/x-n/y=1,求x-y的最大值。     

证明一类分式不等式的一个行之有效的方法

应用柯西不等式,容易得到如下不等式:设 a_i∈R,b_i∈R~ (i=1,2,3,…,n),则有a_1~2/b_1 a_2~2/b~2 … a_n~2/b_n≥(a_1 a_2 … a_n)~2/b_1 b_2 … b_n(当且仅当 b_i=ka_i(k 为常数,i=1,2,…,n)时取“=”号).事实上,由柯西不等式得:(a_1~2/b_1 a_2~2/b~2 … a_n~2/b_n)(b_1 b_2 … b_n)=     

一个不等式在解几中的应用

高中《代数》(下册)第15页习题十五第6题为:“已知 ad≠bc,求证(ac bd)~2<(a~2 b~2)(C~2 d~2)”(柯西不等式)一般地,易证下列不等式成立:(a~2一b~2)(x~2-y~2)≤(ax十by)~2≤(a~2 b~2)(x~2 y~2)(其中a,b,x,y∈R)当且仅当bx=-ay时,左边取等号;当且仅当bx=ay时,右边取等号.本文拟介绍该不等式在解几中的一些应用,供参考.设直线l‘:Ax By=0,椭圆(X~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1及椭圆上一点P_0(x_0,y_0).则(Ax_0 By_0)~2=     

一道简单的不等式及其应用——兼答有奖解题擂台(122)和一道奥赛题

<正>本文先给出并证明一道简单的不等式,然后举例说明其应用.为此,我们将这个不等式作为定理给出.定理(自创题,2017.08.17)设x_1、x_2、x_3、x_4∈R,则x_1x_2(x_3~2+x_4~2)+x_3x_4(x_1~2+x_2~2)≤1/4(x_1+x_2)~2(x-_3+x_4)~2,当且仅当x_1=x_2或x_3=x_4时,取等号.     

柯西不等式在证明中的应用

<正>柯西不等式是高中数学教材4-5《不等式选讲》的内容,虽然高考对柯西不等式的考查要求不高,但是它在不等式的证明、求最值中应用广泛。下面就来谈谈柯西不等式在不等式证明中的应用。1.柯西不等式:设a_1,a_2,…,a_n与b_1,b_2,…,b_n是两组实数,则有:(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2≤(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2)。当向量(a_1,a_2,…,a_n)与(b_1,b_2,…,b_n)共线时,等号成立。2.柯西不等式的变形:设a_i∈R,b_i∈R+(i=1,2,3,…,n),则     

课本中两道不等式的研讨

高中代数课本下册第16页习题第18题中第(1)题为:“求证:(x~2 2)/(x~2 1)~(1/2)≥2”。此题证明方法较多,但常见的证明是运用基本不等式“a 1/a≥2,其中a>0,此式当且仅当a=1/a,亦即a=1时取等号”来证明,把不等式左边写成:(x~2 2)/(x~2 1)~(1/2)=(x~2 1)~(1/2) 1/(x~2 1)~(1/2)≥2,当(x~2 1)~(1/2)=1/(x~2 1)~(1/2)时,即x=0时等式成立,此处用     

不等式a~3+b~3+c~3≥3abc的推广及应用

本文从一个基本初等不等式a~3+b~3+c~3≥3abc(a、b、c∈R~+)出发,利用凸函数的定义及性质,对它进行推广,得到了此不等式更广泛的形式:p_1a_1∑(pi)+p_2a_2∑pi+……+p_na_n∑pi≥(∑pi)(a_1)~(p_1)(a_2)~(P_2)…(a_n)~(p_n),当且仅当a_1=a_2=……=a_n时,等号成立。从本文给出的两个例子可以看出,此推广形式对一些不等式的证明十分方便。     

关于欧氏空间Cauchy不等式的应用

众所周知在一个欧氏空间里,对于任意的向量ξ,η有不等式; (ξ,η)≤(ξ,ξ)(η,η)这里〈ζ,η〉叫做向量的内积,式中等号当且仅当向量ζ与η线性相关时成立.这是欧氏空间的Cauchy不等式.据此在欧氏空间R~n中可以证明关于数论中的Cauchy不等式: (a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2≤(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…b_n~2)……(1)式中等号当且仅当a_1/b+a_2/b=…=a_n/b时成立.本文将研究不等式[1]的若干应用,     

活用向量工具 巧证不等式

在新教材向量部分的知识中,有一些向量不等式,例如:设 a,b 为两个非零向量,则有三角不等式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a| |b|;数量积不等式:a·b≤|a·b|≤|a|·|b|和 |a|~2≥(a·b)~2/(|b|~2),当且仅当 a 与 b 共线(同向或反向)时,等号成立。我们可以借助这些向量不等式来解决一些具有相似结构特征的代数不等式问题,其中数量积的定义及其坐     

一类无理不等式的三角解法

三角代换在代数中有广泛应用,本文举例说明它在解一类无理不等式中的应用。 [例1] 解不等式(2x+5)/~(1/2)>x+1(85高考题) 解:由2x+5≥0得x≥-5/2,当-5/2≤x≤0时,设x=-5/2sin~2θ,θ∈(0,π/2),不等式化为5cos~2θ-2(5~(1/2)cosθ-3<0。此不等式对θ∈[0,π/2]恒成立,∴-5/2≤x≤0是不等式的解。当x>0时,设x=5/2tg~2θ,θ∈(0,π/2),则不等式化为5sec~2θ-2(5~(1/2))secθ-3<0,解得1相似文献   

平均值不等式的若干几何证法

大家知道,均值不等式(a b)/2≥/(ab)~(1/2)(a、b∈R~ )是中学数学中的一个重要不等式。在不等式的证明和求解有关最值等问题时有着极为广泛的应用。故加强这一不等式的教学,探寻其多种证题途径与方法,则显得很有必要。下面我们着重用几何方法来证明这个不等式,从而能显示出这个不等式的几何意义。 命题 如果a、b∈R~ ,那么(a b)/2≥(ab)~(1/2)(当且仅当a=b时取“=”号) 证法1 如图1所示,AD是直角三角形的斜边BC上的高,E为DC的中点。     

一个不等式的推广

若a、b均为实数,且a~2+b~2=1,则有不等式-1/2≤ab≤1/2 (1) 成立。这是众所周知的。现对不等式(1)推广如下: 若a_1,a_2,…,a_n均为实数,且a_1~2+a_2~2+…+a_n~2=1,则当n≥2时有不等式成立。     

与一个猜想问题有关的定理

杨之先生在《初等数学研究的问题与课题》(湖南教育出版社,1995,5)一书中提出了一个与芬斯勒一哈德威格(F-H)不等式有关的问题(第296页): 当k取某个大于1的值时,是否存在某类三角形,使a~2 b~2 c~2≥43~(1/2)△ KQ_2仍成立?A取任何正值都有相应的三角形使不等式成立吗?(其中△为三角形面积,Q_2=(a-b)~2 (b-c)~2 (c-a)~2)     

利用配方法证明无理不等式

本文利用配方给法给出贵刊“集锦栏”中几个无理不等式的简捷证法。 例1 设 x≥0, 求证:(2 x)/(1 x)(1 (1 x)~2)~(1/2)≥2(2~(1/2))。(94.7.P.33) 证 当且仅当x=0时等号     

一个简单不等式的妙用

众所周知(m-n)~2≥0,即m~2+n~2≥2mn.变形得(m+n)~2≥4mn或mn≤1/4(m+n)~2;当且仅当m=n时取等号。上述不等式虽然很简单,但在求解某些物理问题时相当有用。     

用均值不等式求函数最值的常见错误分析

在中学代数中,均值不等式指的是算术——几何平均值不等式:若a_i＞0(i=1,2,…,n),则(a_1 a_2 … a_n)/n≥(a_1a_2…a_n,)~(n/(a_1a_2…a_n,))当且仅当a_1=a_2=…=a_n时,上式取等号(中学只讲二元、三元均值不等式)。     

一类最小值的简便求法

我们知道,当λ~2>1时不等式(1-sin(?)x)(λ~2-sin~kx)≥0(k∈N)恒成立,因此,只要λsin~kw>0便有