例谈单位向量的应用

我们知道：若｜→e｜=1,则称→e为单位向量．一般地，与非零向量→a共线的单位向量为±→a/｜→a｜.     

灵活应用单位向量解题

在《数学》教材中单位向量是这样定义的:模为1的向量叫做单位向量,它的方向任意。其有着多种出现形式:(1)e=(cosα,sinα),(2)|e|=1,(3)e=±(?)=±a/|a|等,利用这几种形式展开想象,我们会     

Weitzenbock不等式的一个有趣隔离

正1919年,Weitezenbock提出了关于三角形的著名不等式:a2+b2+c2≥槡4 3 S,当且仅当△ABC为等边三角形时,等号成立.关于它的推广与加强被广泛研究,但大多数是增加不等式右边的项数,如著名的Finsler-Hadwiger不等式:a2+b2+c2≥槡4 3S+(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2,当且仅当△ABC为等边三角形时,等号成立.本文从新的角度给出它的一个有趣隔离如下:定理在△ABC中,设a,b,c分别为BC,CA,AB的边长,相应于顶点A,B,C的中线长为m a,m b,m c,内角平分线长为w a,w b,w c,高线长分别为h a,h b,h c,△ABC面积记为S,则     

向量的四个法宝在解题中的应用

向量是近代数学中最有用的代数结构之一.向量理论在数学中有着广泛的应用是进一步学习数学的基础（如为学习三角、复数、解析几何等作准备）.向量既能体现"形"的直观的位置特征,又具有"数"的良好的运算性质,所以它是数形结合和转换的重要桥梁.题目:当函数y=sinx-3^1/2cosx（0≤x<2π）取得最大值时,x=_<sub><sub><sub>.此题主要考查两角差的正弦公式以及正弦函数的有关性质,试题难度较小.现在对此题换个求解方法.设m=(1,-3^1/2),n=（cosx,sinx）,y=sinx-3^1/2cosx=m·n≤|m||n|=2,当m与n同向共线时取等号.此时x=5π/6.此题用向量法求解,可以化繁为简、化难为易,可     

三角形的近切圆及其性质

熊光汉、熊寅两位老师在文[1]中给出了三角形远切圆即外半切圆的概念及若干性质,读后深受启发,类比三角形远切圆,本文给出三角形近切圆的定义,并归结出几个性质,现整理出来,与大家共享.定义与三角形两边或其延长线(至少有一边为其延长线)及内切圆相切的圆,叫做三角形的近     

巧求取值范围一例另解赏析

正在《中学生数学》杂志上《巧求取值范围一例》一文研究了"已知实数x、y满足x2-xy+y2=1,求x2-y2的取值范围"的解法,其解法如下:设x=m+n,y=m-n,则m2+3n2=1,∵m2+3n2≥23~(1/2)|mn|(当且仅当m2=3n2时取等号),     

圆锥曲线中的一类最值问题

<正>本文试图就如何利用数形结合的思想方法来解决一类圆锥曲线的最值问题做一点探讨和归纳.引例如图1,已知F1、F2为直线l的同侧的两定点,试在直线l上找一点M,使|MF1|+|MF2|有最小值.F1P MM0F2l图1%解如图1,过点F1作点F1的关于直线l的对称点P,连结F2P交直线l于点M0,则点M0即为所求(易证之,略).若将上述问题中的直线改为二次曲线,     

椭圆中与角有关的离心率求法

正圆锥曲线的离心率是描述圆锥曲线形状的重要参数,也是当前高考考查的一个热点。特别是与角有关的离心率问题,题目灵活多变,技巧性强,所以在学习过程中我们要善于总结,掌握求解此类问题的技巧和方法。     

两道高考题的解法思考

2014辽宁高考理科数学第(12)题和(16)题分别是选择题和填空题的最后一道题,自然有一定的难度。本文给出的解法供各位新高三学生参考,希望能有所帮助。第(12)题:已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:1 f(0)=f(1)=0;2对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有︱f(x)-f(y)︱<1/2x-y;若对所有x,y∈[0,1],︱f(x)-f(y)︱相似文献   

向量定比分点公式的伸缩形式

向量形式的定比分点公式,是大家非常熟悉的.如图1,已知→AP=λ→PB,则→OP=（→OA＋λ→OB）/（1＋λ）.使用时要注意公式的特点：P、A、B三点共线,→OP、→OA、→OB三向量共起点,且→前的系数等于→OA、→OB前系数之和,所以更多时候是使用（1＋λ）→OP=→OA＋λ→OB这个式子,省去分式之繁.     

外森比克不等式的再探究

<正>本文从外森比克不等式出发,联系到贵刊已有结论,获得了一个较强的结论,并提出了一些待证明的不等式问题.1已有成果我们知道,著名的外森比克不等式(Weitzenbck’s inequality,1919)是有关三角形边长和面积的一个不等式:问题1在△ABC中,a、b、c为其三边长,△为其面积,则有     

一题多解的妙处探讨

正在历届高考中,一题多解是一个热点问题,在数学研究中有着很重要的价值以及很重要的应用,涉及到基本知识点和函数的性质、图像,渗透着函数与方程、数形结合等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,培养学生灵活多变的思维方式和创造性,更能开发学生在高考中临场发挥的判断能力以及独立解决问题的能力。下面,我们就以2013年全国新课标全国1卷16题为例来进行探讨。     

圆锥曲线定值、定点问题的拓展与应用

圆、椭圆、双曲线作为有对称中心的圆锥曲线,不但它们的图形优美,而且有很多优美的性质、结论。灵活运用这些性质、结论解题,往往会达到事半功倍的效果。一、类比拓展常见结论:已知AB是圆O的直径,点P是圆O上异于A,B的两点,k₁,k₂是直线PA,PB的斜率,则     

也谈椭圆的一个性质

正~~     

小条件 大作用

正对于习题"求y=x+9/x(x≥5)的最小值",学生第一反映通常是用基本不等式,殊不知因为括弧内的条件,等号取不到,所以基本不等式的方法不可行,需要转换方法,证明该函数在[5,+∞)上单调递增,得出当x=5时函数取得最小值.这个题看似简单,但是题目的关键是括弧中的条件,这就让我们想到很多题目由于疏忽条件,导致题目出错,有时甚至方法选择不当,所以需要我们重视条件,抓住小条件,往往能够解决大问题.下面通过例子说明该问     

“向量”搭桥 规避技巧——利用向量的方法构造柯西不等式

正柯西不等式有代数形式、向量形式还有三角形式,体现了数形结合的思想.尤其是向量形式既从数的角度又从形的角度刻画这一个经典不等式的本质之美,本文将对柯西不等式的应用类型进行归纳.类型1已知     

活用向量话解题

<正>向量是数学中一个很重要的、基本的概念,向量引入中学数学,丰富和发展了中学数学知识体系,拓宽了研究和解决数学问题的思维通道,由于向量是一个既有大小又有方向的量,因而既具有形的特征又具备数的特性,因而成为数形结合的载体,沟通代数、几何与三角函数的桥梁,给中学数学带来了无限生机与活力,赋予传统的内容和问题新的内     

几道数学趣题的向量解法

正向量作为工具性知识已列入中学数学教材之中,其应用价值已被广大师生认可.用向量知识解题,方法新颖、运算简捷,是启迪学生思维的有效途径之一.笔者现用向量法证明几道数学趣题,供参考.例1证明椭圆的最大弦长等于椭圆的长轴长.证明:设F1,F2是椭圆的焦点,O为椭圆     

解题小品——与角平分线有关的性质及其应用

我们将有关角平分线的如下一个性质称为“对称比定理”： 若I、1分别为△ABC的内心、∠A内的旁心,角平分线AI交BC于点D、交△ABC的外接圆于点A1,则