插值法发展简史

先介绍几个名词术语:在计算数学中,常常出现这样的问题:由实验或测量得到了某一函数Y=f(X)在一系列点X_0,X_1,…,X_n处的值y_0,y_1:…,y_n,需要构造一个简单函数(?)(X)作为函数y=f(x)≈(?)(x)使     

函数的值域的求法归纳

在初等数学范围内,求函数的值域,不像求定义域那样,有一定可依据的法则和程序,要根据问题的不同特点,特别是观察函数解析式的运算和结构特征,综合而灵活地运用多种多样的方法来求。有如下的一些基本方法:(1)直接法一些函数可根据它们的定义域及对应法则求得值域。例1:求函数y=|x|-1的值域,x∈{-2,-1,0,1,2}解:y∈{1,0,-1}(2)配方法二次函数或转化为形如F(x)=a[f2(x) bf(x) c]类的函数的值域问题,均可用配方法。例2:求函数y=x2 4x 3的值域解:配方得:y=(x 2)2-1∴所求函数值域为y∈[一1, ∞](3)分离常数法根据某些函数解析式的运算和结构特征…     

例谈命题失误的反思与启迪

命题失误有多方面的表现,比如试题本身的条件是矛盾的,解法错误,答案错误等等.本文从两个例子谈谈对他人命题失误的反思,供参考。例1.[德阳市高2004级“二诊”文科数学试题〗函数f(x)对一切x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时,有f(x)>1,则当x<0时,f(x)的范围为()(选择支略)。命题者解:在f(x+y)=f(x)+f(y)中令x=y=0可得f(0)=0在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y=-x可得f(x)+f(-x)=0,故f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称,而x>0时,有f(x)>1,所以x<0时,f(x)<-1反思:实际上,在函数方程的知识中可以证明对一切x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)(柯西方程…     

关于函数概念教学初探

函数概念是初中数学的重点,而函数思想是建立在函数概念之上的。初中学生初次接触这个概念,往往难以透彻理解。这里谈谈怎样学好这个概念。 一、结合实例正确理解常量、变量的意义及其相对性 对于函数概念。初中代数中的定义是:设在一个变化过程中,有两个变量x、y,如果对于x的每个值,y都有唯一值和它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。常量和变量是对“某一过程”而言的,是相对的,并不是绝对     

关于无穷级数与无穷积分收敛的必要条件

数项级数与广义积分!∫+∞f x 之间可以互相转化函数项级数!∑∞un x x∈I 与含参变量广义积分!∫+∞f x,y dx y∈I 之间也可以互相转化 鉴于此 本文探讨了无穷级数与无穷积分收敛的必要条件的不同之处     

利用函数讨论方程

在近几年的数学高考试题中,时常出现对含参变数的方程的解进行讨论的问题。许多学生由于分析问题、解决问题的能力不强,对这类问题往往讨论得不完全甚至不知如何着手。本文利用“方程f(x)=g(x)的解是函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点的横坐标”这一结论来讨论这类问题。 例1、讨论关于X的方程x+m=(9-x~2)~(1/2)的实数解的个数。 解:方程x+m=(9-x~2)~(1/2)的实数解的个数,     

初等数学中恒成立问题的解法例说

高中数学中的恒成立问题,涉及到函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、分类讨论、函数与方程等重要数学思想,有利于考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.因此也成为历年高考的一个热点.恒成立问题大致可分为以下两类:函数类及变量分离类.一、函数类1、一次函数　给定一次函数y=f(x)=ax b(a≠0)若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于f(m)>0,f(n)>0.若在[m,n]内恒有f(x)<0,则有f(m)>f(n)>例1、对于满足|m|≤2的所有实数m,不等式2x-1>x2-1)恒成立,求x的取…     

f1(x,y)+λf2(x,y)=O方程应用中几种错误的剖析

我们都知道,若有曲线C1:f1(x,y)=0,C2:f2(x,y)=0,则方程f1(x,y)+λf2(x,y)=0表示通过C1,C2两条曲线交点的曲线系.人们常用这个曲线系方程来解答有关两曲线交点的问题.但在使用这个关系式时,稍有不慎,往往会犯以下几方面的错误. 　　……     

方程f(x+y)=f(x)·f(y)解函数特性

本文从一道高考题出发,运用了数学分析理论,较为深刻地揭示了方程f(x+y)=f(x)@f(y)解函数特性,导出了函数f(x)的重要解析特征.     

试论线性变换和矩阵的基本代数系统

一、线性变换和矩阵的基本代数系统(一)映射和代数运算映射定义 设两个集合A,B.规定一个法则f,对于集合A的每一个元素X都有集合B的唯一确定的元素y和x对应.法则f叫做集合A到B的一个映射.f:x→yy叫做在映射f之下x的象.x叫做在映射f之下y的原象.     

三角函数的最值问题探究

三角函数的最值问题是函数最值问题中的一个重要组成部分,也是中学数学的重要内容之一,在工农业生产和人们的日常生活中有着广泛的应用。三角函数最值问题是三角函数基础知识的综合应用,它往往与二次函数、三角函数的图象及性质、函数的单调性等知识结合形成一类数学综合问题,在近几年的高考题中经常出现。加强对学生三角函数最值问题的训练,对于培养学生的综合分析能力,培养学生的数学解题技巧和认知能力都有重要的意义,常见的有以下几种类型:一、求函数y=a sin x b(a≠0)的最值由-1xin x1得:ymax=|a| b,ymin=-|a| b二、求函数y=a sin x b …     

浅谈平面曲线的参数方程的几个特性

平面曲线的参数方程在平面解析几何中有专门讨论.这部分内容在求轨迹方程中作用较大.从教学实践中我体会到,要加深对它的理解,应掌握它的几个主要特性.一、函数性求轨迹方程一般是求形如F(x,y)=0(1)的不定方程,这方程表明了曲线上各点的坐标之间的制约关系.从函数的关系上看,纵坐标y与横坐标x之间的制约关系是以隐函数的形式出现的.但有时不易求出F(x,y)=θ,也就是说不易发现x和y间的直接关系.或x,y之间不可能用直接关系式表示出来.如能选取辅助变量即参数,可以促使问题得到解决.若选取一个参数时,从函数的观点看,就是把x与y的对应关系.选用一个中间变量t,反映为x与t及y与t的对应关系,则求得形如:     

解析几何中最值问题的求解技巧

解析几何沟通了数学内数与形,代数与几何等最基本对象之间的联系。几何的概念得以用代数方式表示,几何的目标得以用代数方法达到。掌握数形转化,灵活使用数形转化技巧解决代数或几何问题,有意识地学习各种数形转化的技巧、数形转化的能力。解析几何中的最值问题与函数一章中的最值涉及的变量个数不同,解析几何中求最值常涉及两个变量x、y,而函数一章中求函数的最值常涉及一个变量x。因此,求最值时,若用“反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法”等都不能求解时,就采用解析几何中特有的参数法、直线的斜率法、线性规划…     

二重积分变量替换的一个证法

二重积分的变量替换,一般常用几何方法推演,此法缺点较多,今介绍另一证法。 定理 设i)函数f(x,y)在有界闻域D上连续,ii)变换x=x(u,v),y=y(u,v)将uv平面上有界闭域D’一对一地变为D,     

对三次函数的基本性质的探求

三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0,x∈R)的导函数是二次函数,这就促成了它成为新旧教材有机结合的重要载体。因此,了解和掌握三次函数的基本性质就显得很有必要,本文对此作一些探讨。1、定义域、值域f(x)是处处连续且可导函数,定义域x∈R,值域y∈R。2、奇偶性f(x)不是偶函数;f(x)是奇函数的充要条件是b=d=0(即偶次项系数全为零)。3、单调性、极值对三次函数求导,f′(x)=3ax2+2bx+c.根据其判别式可得出:(1)当Δ=4(b2-3ac)≤0时,f(x)是R上的单调函数,不存在极值。且当a>0时单调递增;当a<0时单调递减。(2)当Δ=4(b2-3ac)>0时,f(x)不是R上的单…     

初中学生运算能力的培养

九年义务教育全日制初级中学《数学教学大纲》指出:“运算能力是:不仅会根据法则、公式等正确地进行运算,而且理解运算的算理,能根据题目条件寻求合理、简捷的运算途径”.现在的初中学生在运算上普遍存在的问题是:错用公式,违背运算法则,导致运算结果不对,所学知识不能灵活运用,方法死板,这些都影响着运算能力的提高.培养学生的运算能力方法多样且涉及的知识面广,因此在这里仅粗浅地谈一下自己几年来在这一方面的作法,敬请批评赐教.一抓好概念教学.正确理解数学概念是掌握数学知识的前提,同时也是进行数学运算的必备基础.平方根、算术平方根、绝对值、最简二次根式、根的判别式等等数学概念对计算起着直接的指导作用.例如:学生的算术平方根和绝对值的概念没有掌握好,经常出现”2~(1/(3-π)~2)=3-π”这样的错误.二注意运算的合理性.运算的合理性不但是使运算的结果正确的保证,而且是提高运算能力的关键,分析学生运算结果的错误原因,不是由于运算不合理所造成,便是由于不细心所致.为了培养学生的合理性运算,在教学中我要求学生做到以下几方面;1.对于学过的基本概念、运算定律及定理公式等在理解的基础上记准记牢.对于某个概念或公式模糊不清,一定要先看书再做题,只有准确的运用概念、公式、定理等.才     

反例在《高等代数》课教学中的作用

反例即是与正命题相矛盾的特列.如在《高代》教学中恰当运用反例,能使学生从模糊思维中豁然开朗,达到事半功倍之效.本文通过实例阐明反例在《高代》课教学中的作用.1.反倒是深化根念教学强有力的工具概念教学中,正面例子固然重要,若恰当利用反例强化概念,能使学生抓住概念的本质属性,克服片面认识,起到正面例子难以起到的作用.例如:教材中首先涉及到的映射的概念,不少同学片面认为“集合A中元素与集合B中元素的对应法则就是A到B的映射.”为帮助学生纠正这种错误,笔者提出问题:A={x|x∈R且X≥0},B=R,对于每一x∈A,f(x)=±2~(1/2),问f是否是A到B的映射?有些学生认为f是A到B的映射,再提问:当x>0时,f(x)等于什么?通过讨论,学生发现A中每一元素与B中元素是有对应关系,但当x>0时,f(x)不是由x唯一确定的,不符合映射定义,那f不是A到B的映射.通过上例的分析使学生体会到映射概念的本质属性是“对A中每一元素x,有B中唯一确定的元素y与之对应”.再如:向量组线性无关的概念,有些同学错误地认为“如果有完全都是零的数使向量组的线性组合为零,那此向量组线性无关”,为纠正错误,一简单例子就能说明问题.如.a_1=(2,0,-9),a_2=(0,8,3),a_3=(-4,0,18),有K_1=K_2=K_3=0使K_1a_1+K_2a_2+K_3a_3=0,但它们确定线性相关的.     

一类Cauchy型函数方程的解的讨论

用多种方法求出cauchy型函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)的连续解,并给出R上的不连续解.     

基本初等函数的积分定义法

一、自然对数函数引理1:若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分上限函数(x)=f(t)dt在[a,b]上可导,且φ’(x)=f(x)。 由于自然对数函数 ln’x =1/x 所以     

一种辅助函数的构造方法

构造辅助函数是解决微分中值问题的一个重要方法,本文介绍一类形如f′(x) g(x)f(x)问题的构造辅助函数的方法,该方法简便实用。