1991年四川省初中数学联赛决赛

一、已知a为实数,且关于、的方程x“一ax十a二O有二实根a,民试证:a“+口艺)2(a+夕). 二、解关于实数x,夕,‘的方程(8‘xz一27万2+9梦z)2+(3yz一y之+2之2一8劣)2+9“6x一x 2. 三、如图,在△ABC外作△BPC,△CQA,△ARB,使匕PBC=匕CAQ=45。,匕BCpe二艺QCA=30“,乙ABR二匕BAR=15“.求证:△PQR是等腰直角三角形.即aZ+刀2+Za夕一4a)0今aZ+刀“一Za)0. 所以,a“+口2)Za=2(a+厅). 二、解原方程化为 (szx么一27封2+99之)2+(3夕乞一夕z+222一sx)“十(x一3)2=0.由非负数的性质,有{于一{“2么{“2歹‘一27犷龙”吧二U二\3互‘一夕之十22…     

用椭圆性质求解“希望杯”赛题(高二、高三)

对椭圆牛+共一1(。>。>。),有性质 a曰O“12一3tl(丫4t2+4.12 }x+yl镇丫护+护.这条性质在解竞赛题很有用处. 1.证明 设‘:=acos夕,夕一bs艺n夕(O毛0<2二),则 !x+y}一}acos夕+bsin川 一}丫护+夕五n(夕+叻l镇了护+夕. 2.应用 例!已知a丫1一萨十b丫1一护一1, 求证护十护一1.(第三届92年“希望杯,’). 证明由于即解得0镇‘簇亏 例3已知a,b〔R,且a+b+1=O,求(a一2)2+(b一3)2的最小值 (第十届99年“希望杯”高二) 解设(a一2)“+(b一3)“=t,则(a一2)2.(b一3)2十一下厂一~一1aZ+bZ aZ(1一bZ).bZ(1一aZ)一-了--六不厂-十-一百-一一-下- l一口曰1一…     

Abel变换的应用

·习冈Abel变换为:名。‘b:=。产,+忿~1变换得.一I乙a*(。‘一。:十,)丫、一名b、:二。声 .~至。+习a‘(二:一x:+,)其中。:二名。、‘i~1,2…,”)._a味劣月一(x,一x:,:)=名(a一 口曰万问了正:刀。‘乙‘=。:乙:+。2乙2+…+aob。 ,,1·万曰 一 =a:a,+aZ(aZ一a,)+…+a.(口一a。一:) 二a,(a,一aZ)+口2(aZ一a3)+…+a一:(a,l 一口,)十a。气 .一l =。。a.+刀a‘(a,一a‘十:). 云口1 众所周知.人bel变换在高等数学中有其广泛的应用.其实.它在初等数学中也占有一席之地.请看下列几例. 例一设a:,aZ,…,a。:b:,bZ,…,b。是实数.证明使得对任何满足…     

用整体思想解分式题(初一、初二)

例1计算 aZ一sa+7 .aZ一7a+13 aZ一6a+10 一丁一一下，一下一二十-下--甲二--丫一:叹一一节厂一一下厂一了一言.. e‘一口口十勺口‘一I口十1乙尽‘一O口十己 1 X十一一J， 分析将每个分母看作一个整体，则从每 个分式中可以拆出“1”. 解原式 (aZ一sa+6)十1.(aZ一7a+12)+1 一二=下‘二日‘井一二+二‘飞一几共一一干彩长二二 az一sa+6’az一7a+12 所以 户十护+1 x2 1 一扩十万十上 1、。 一LX侧十—少‘一1 ~32一1一8. 1一s (aZ一6a+8)+2 故原式~ 例4 A、B、C、D、E五人合做一项工程，已 aZ一6a+8 1，1 一1--t--7一一一一又芍:尸一…     

首届全国中学生数学冬令营竞赛试题解答

i.a,,a:,…,an为实数,如果它们中任意两数之和非负,那么对于满足 公1+劣:+…+x。=1的任意非负实数x;,x。,…,:。,有不等式 a:二‘+a:二:+…+a。x,势a,:全+aZ:雪十…十a。对成立. 请证明上述命题及其逆命题. 〔证一〕由题设二‘)o,a‘+a,乒O,(￡,j=i,2,…,n) az:2+a 2 xZ+”’+a”劣, =(a,xl+aZ劣:+…+a,x。)·1 二(a工x,+aZ劣:+…+a。劣。)(劣,+劣:+ …十二。) =a,:卜aZ:参+…+a。:盖共乙(。‘+。,):‘xJ)a,x矛+aZ:参 1,j一l ,簧J非负. 〔证二〕用数学归纳法 (i)n=2时,’.’a,+a:>o,劣1+xZ=1, ·’·。,2,+aZ‘:一(a,:扩+a::量) =a:公:…     

代数与初等函数自测试题(三) 参考答案

,‘、3。\。,。、。_,。\,戈1)一一工一j拼笋U;戈‘少O。个必芬二0;,_、.J一。,,、_.1~n,_、八、气J夕C十4之之尧一0;又4尹己十一一‘,‘,L改.产尹户Uj。二、(i)侧;(2)x;(3)x;(1)(x+5)(x+7)<(x+6)“(2) 1~21十一一万‘夕一 X~X(3)(aZ+材Za+l)·(aZ一杯Za+1)((a孟+a+i)(aZ一a+i);(4)x“+3>3x。四、(‘’·>2;(2,·>音或X<一道(3)一1(了《9;(4)二>互土竺二 2(5)一9<叉<5。 五、一2簇二<2或6相似文献   

三角函数检测题

一、选择题(5分x 22=60分) 1.若8是一个锐角,且sin28=a,slJ sin夕+eos夕二 (A)了a十l~、.a,~、.石耳不万叼土话拜示L切士一~,万一-(B)(C)(D)2.若(了月百一1)a+1丫万干丁一了石砚二石丫1一aZ 8.如果f(x+的二f(x),且f(一x)-f(x),则满足条件的f(x)只能是 (A)sinZx(B)eosx (C)sin:x!(D)卜anxl 9.要得到函数y一sinx一cosx的图象,可以把函数y一sinx+cosx的图象向右平移 ,打。、,二.。、了万~,_eos吸二一一口)eos L.丁十口)=一二一LU<{ 任生b,‘、3汀,。、,。、汀,~、厅L八夕下尸LO夕兀气七)二丁L曰少气一 ‘乙任“<晋,,则sin28~夸鱼。 、,…     

一元二次方程有一根为1的条件

一元二次方程二x2+b二+c一O(a笋0)有一根为1的条件是a+b+c一0.利用这一结论可以简便地求解有关问题.现举数例如下. 例1已知方程尹一(3+、厂丁)x十k十2一。的一个根是1,求另一根和k的值. 解丫1是方程的根,…1一(3十、厂牙)+k+2一0.解得k一丫万.设另一根为。,则。+1一3十、厂了.…。一2+了万. 例2锐角。、夕是三角形的两个内角,且tga、tg月是方程3扩一(3十匀/万~)二十、厂舀一。的两个根,求第三个内角的大小.解丫3一(3+、乓)+、/了一。,…1是方程3x,一(3十丫万)x+、万一。的一个根.~一_~。~、,。.,,、乓.毛史刀毛晃阳力一引比;刀m,贝组m’1--…     

关于一元二次方程公共根的一个定理及其应用

定理:两个二次方程ai二“+bix+ci=0(a,a:笋。,i=1,2)有公共根的充要条件是 (a,。:一aZ。;)2=(a 16:一aZ bl)(b,。:-bZel)(‘)且△i)0(i=1,2). 证明:先证必要性,显然△i〕0.设方程的公共根为x。,则a 1 xoZ+6lxo+el=oaZ xoZ+bZxo+eZ=o (2)x al一(l)xa:得:=一(a 1 eZ一aZ。1), (l) (2)(a 1 bZ一aZ bl)xo…(a lb:一aZ乙1)2 xoZ=(al。:一aZ。1)2(3) (l)xb:一(2)x bl得:(alb:一aZbl)xoZ=bleZ一bZe一, …(a 16:一aZ 61)ZxoZ=(a;占:一aZ占1)(bl。2一bZ。,)(4) 比较(3)、(4)得(a,。:一aZ。;)2=(a;bZ一aZb,)(b,。:一bZel). 再证充分性.①…     

错在哪里

1.江西遂川二中肖是明来稿(邮编:343900)即/APO连AO、 在△DPO一/DPO,DO 题若a渭是方程xZ一Zx+乏盆二o的两个根,且a,a+夕,夕成等比数列,求h的值。 解:’:a渭是方程扩一Zx十kz=0的两个根,△APO中丫AO二DO,┌─────┐│、\ ││ “、O │├─────┤│ J ││ / ││ / ││ / ││/ │└─────┘:.,,达定理得{a+夕二2a,夕=kZ①又‘:口,a+夕渭成等比数列.:.(a+口),=。·夕② 将①代入②得2,=尸解得k二土2 将k=士2代入原方程得 xZ一Zx+4=0,.’乙=(一2)2一4义1丫4=一12<0 :’满足条件的k值不存在。此题无解。 解答错了,…     

三角函数

一、选择题 1.如果一个含有3个元素的集合可表示为弋sins,。。50,1},也可以表示为{sin20,sin口 cos口,o},那么sin20o7口 eosZoo,口的值为(). A.0 B.1 C.一1 D.士1x3十sinx一Za=0,4夕3 sin夕eos少 a=0.则cos(x 2刃的值为 9.在△ABC中,已知sin Aco扩C二~,A 3.一万十“‘n以05“万     

中考训练ABC卷

A卷每题5分满分100分时间40分钟1.若方程m扩+4二十3一。有一个根是1,那么阴一2.一元二次方程(3x十1)’一4一O的根是3.已知一元二次方程护十Zx一1一O,它的根的判别式△~ ,根的情况是4.若。,口是一元二次方程*一3x一5一。的两个实数根,则生十粤 “尸5.方程x(x+1)~2的根是6.一元二次方程a护+bx+c一O有一个根是零的条件是((A)bZ一4ac=0(B)b=0(C)c二0(D)c共07.方程xZ一4x+2的根是( (A)x-一2 8.用换元法解方程于t的方程是(B)x--井一)2J丁—1了(C)x~士2(D)x=了3-2三J一+12=0,设t-王杏I,则关 ,.解方程、任丁不万~一x的结果是 10,关于x的一元…     

1991年沈阳市数学奥林匹克学校高一年级培训班入学试题及解答

一、填空题1.设集合A二{夕ly二2x2一2‘一3},3xJ一14x3+10x2+14x+3二0.设a:,aZ,…,a。,…〔N.称+一一一工一一一一是无穷连分数.例如,口z+ 1“吕十—a‘+.”订丁=1+(训丁一1)=1十二1+ 12+(记丁一1)=1+2+ 1训丁+1 1 1。,i‘个-一一-2+,·,其中a;,a:,a3,一分别是1,2,2,·… 试将侧了也写成无限连分数,并写出ax一口2一aa- 四、边长为a,b,动勺三角形的三个顶点的坐标值都是整数,R是三角形外接圆半径.求证:abc》ZR. 五、在△ABC中,乙C=3乙A,BC=9,AB二16.求AC的长. 六、圆内接四边形ABC刀的内切圆的圆心是O‘求证: 1OD2.1一OBz 一一1一…     

用拆项法求分数项数列前n项和

1.直接拆项求和i一犷 + 劣 了气例1.求和尽。钊:+立一)+ 歹十。。。一卜 1‘留”十丽一解(劣,鱿=l) 夕一1军”(军一1),(公二1,夕戈1)S”==劣(]一劣n)一r 1.,1一工(x今1,夕,1)毛些卫丝斗1一劣 参一1夕”(今一1)(劣戈1,夕戈1.)2.用部分分式拆项求和~盆_。_、_。1”IJz·水利巧”二不可嘴’万l十 1+一丽不万灭而石犷’/..、114解S,=之).,11\十、—一尸二户少 5日+。二十(一生一-一-二一)一4几一34界+1〕 几石万‘ 一般地,若a:,aZ,数列,a,戈0,花=1,2,得: 一生一+卫匕+.” 口x口2口2口3a,,…为等差公差为d,则易 1十一 口”口”+l 件一一, G工…     

30分钟“智力自测”

1.若2,一4,2.~16,则2门斗”=;若642又83=2”,则n~ 2.若〔一aZ,+‘)一M=as,则M= 3.若a一b一3,a+b一5,则(一1)“6·(一Zob3)6十(。b)“的值等于 4.如果2一2{’一,{一4一‘,那么x一 5.。是自然数,且矿一2a,则二一 6.已知10,=3,10夕一4,100,=5,则103,+y一2:= 7.已知(x+2)工”~1,那么整数x- 8.如果x+a与x一b的乘积中,不含x的一次项,那么。、b满足的条件是(). (A)a=O(B)b一0(C)a一b(D)。一O或b=0 9.计算(20%),·3,”00·(0.含‘’。,·5,+,:=计算1 993”。{里-{“刊一、3,86/若整数x,y,z满足}兰{欠只j‘·!铆’·(挣’一2,则了-0,二习二叹1 ,y…     

谈整系数一元二次方程根的性质

定理1设整系数一元二次方程x“十k:x 八二r._,,~,、。:儿1/十尤2二U阴一火恨方为U夕习a=一不、一K广V凸), 乙。,十户=N。=一k,N,一,一k ZN卜:·2.①’:一1<口<0,“=合(一‘!一了△),其中△二k于一礴kz少O,k;,无:为整数.则 1.N。=。”十口”为整数,且有N.=一k IN。一:一k zN。一2.(n>2) 2.①若一1<口(O,则〔a“”于‘〕二a“”十’+吞2’+’.oZu+夕2“为大于。2”的最小整数,其中〔x〕表示不大于x的最大整数. ②若0<口<1,则a”+夕”为大于a’的最小整数. 证明1.因k,,k:为整数且衬一4k2)0,由韦达定理知a十月=一k:,a吞=k。, 用数学归纳…     

椭圆上关于某直线的对称点存在问题——从92年一道高考题谈起

蛇年高考理科试卷28题实际_卜给出了在椭圆上关于某一已知直线对称点的存在性问题.即 命题l椭圆子+子一1(a>b>“)上,若存在与Z轴交于P(工。,0)的直线l对称的两点,那么 aZ”诱aZ十bZkZ’ aZ”‘ aZ十bZkZ+,. x,.丫﹄z!‘l 心(x,,,,)任l,代入l得矿一犷__护一犷—咬了。<几—· a口 aZ”‘aZ+bZkZ十仍= aZ,,认2“2+石2七2+xok, 对此命题我们给出有别于该卷标准答案中两种证法的另一证明.整理得即不。=x。(aZ+乙2无2)”‘二飞石于二落万(l) 证明:设l:;一k(x一x。),月、刀为椭圆上关于l对称的两点,并设直线月B方程为,一牛:+”‘,,, 二,一…     

如何求解有理分函数Y=a_1x~3+b_1x+c_1/a_2x~3+b_2x+c_2的极值

我们知道,求形如梦-a,xZ+乙,x+e,a Zx’+石Zx+cZ(a,,a:不同时为零)且函数定义域为a:工’+西2。‘2年。的实数的函数的极值,是用判别式刁方等实根的充要条件是(朱)2十法,通过求函数的值域,然后求得函数的极值的。例1求函数夕 xZ一x+1一‘xZ十x+1的极值.召1 Cl夕2 cZ欢】·】翻>。· 解:丫又少x任R都有扩+x十1>o,:.函数定义域R.去分母变形为(,一1)护一卜(;+1)x十刀一1二0当夕一1子。即夕铸1时,由x任R得① 刁解之得=(方+1)’一4(夕一z)’》0.告《万(3。当穿=1代入方程①得x二O任R.二函数召的值域为一登(万簇3.故函数的极值为穿。i。=合,…     

一元二次方程

矗基础篇矗课时一一元二次方程及其解法了万.+2,x2一v/范一一2.竺64诊断练习一、填空题1.方程扩一4x=o的根是2.若分式xZ一x一6 x一3的值为。,则x二=0.二0,二0 3.已知2是关于x根,则668a+1=_ 二、选择题的方程音XZ一2。一0的一个四、(x+韧一静从一奋n疑难解析例1解方程(xZ一x一l)(xZ一x一3)十1解:(扩一x)z一4(扩一x)+4(xZ一x一2)2~0,xZ一x一2xl-一1,xZ二2.1.下列方程中是一元二次方程的是( -一_、。1又八)zx十1=U.气”,厂~诬 (C)扩+y=0.(D)(l一x)2~4. 2.关于x的方程(mZ一l)扩+3x一1“o是一元二次方程,则一定有(飞 (A)m笋1.(B)m笋一1. (C…     

杭州市1988年各类高中招生考试卷

一、填空题(每题3分,共30分) 1。计算:J一3卜_。 2.计算:粼万二__。 3·分解因式:扩一1一___. 4.不等式2x一3相似文献