1993年亚太地区数学奥林匹克试题

1.如图,四边形ABCD各边相等,且匕ABC为600.直线l过D点,但与四边形A方CD。~max(1。.、,},}。.}证明:手成,+‘·,…,}‘。)}.不相交(D点除外).1与AB,BC的延长线分别交于E,F.M是CE与AF的交点.证明:CAZ一CM x CE.2.对于实数x(0簇x镇100),求函数f(二)一〔二〕+〔2二二+巨粤〕 O 十〔3x习+g4x〕所取的不同整数值的个数.3.设f(x)~公了十a二x”十…十a。,g(x)一‘。一:工”一’十‘.犷+··一向均是实系数的非零多项式,且对于某实数r有g(二)一(x+:)f(.T).如果a=max({a,},}a二{,…,}a。}) 4.求出使得方程 x,十(2+x)’十(2一x)’一0具有…     

1994年亚太地区数学奥林匹克

注:限4小时完成,不得使用计算器,每题7分一、设f是R→R的函数,且(1)对于任意x,y∈R,f(x) f(y) 1≥f(x y)≥f(x) f(y);(2)对于任意x∈[0,1),有f(0)≥f(x);(3)-f(-1)=f(1)=1。求出所有满足条件的函数。     

1993年德国数学奥林匹克

1993年德国数学奥林匹克的两轮比赛的试题,我们曾经组织国家教委93年数学试验班的同学进行讨论,大家提供了不少好的解法,整理如下。     

1993年圣—彼得堡数学奥林匹克试题及解答选编译

1993年俄罗斯圣——彼得堡(即前列宁格勒)数学奥林匹克共进行四轮(第4轮为决赛),分6、7、8、9、10、11年级进行(对6、7、8年级只进行三轮).这里只选编译了相当于我国高中程度的9、10、11年级的第2、3轮及决赛的部分试题.其中选择了一道涉及微分学的试题,是为了说明俄罗斯中学数学程度与我国有所不同,这些题目的难易程度不同,但都有一定的灵活性和启发性.     

1993年中国数学奥林匹克第八届冬令营试题与解答

第一天 (1993年1月7日8:00-12:30) 一、设n是奇数,试证存在2n个整数 a_1,a_2,…,a_n,b_1,b_2,…,b_n,使得对任意一个整数k,00,在下列条件下, k_1+k_2+…+k_r=k,k_i∈N,1≤r≤k.求a~k_1+a~k_2+…+a_r~k的最大值. 三、设圆k和k_1同心,它们的半径分别为R和R_1,R_1>R.四边形ABCD内接于圆k,四边形A_1B_1C_1D_1内接于圆k_1.点A_1,B_1,C_1,D_1分别在射线CD,DA,AB,BC上.求证     

1991年亚太地区数学竞赛试题解答

1.如图,延长BG交AC于点N,N是AC的中点。因G是重心,故NG:GB=1:2.利用相似三角形易知:CY:YN=2:1。 设Np的延长少线交BC于点M/,则对于P卜;P,(i=2,…,997)有996个中点,而p,(i=2,3,…,996)是p卜;pl ,的中点,故又有了另外995个红点,于是在这种特殊情况下恰有1991个红点./址多升灯夕斤     

1995年中国数学奥林匹克试题解答

一、证明 (i)如果a_1≤b_1,则由递推关系式立知a_i≤b_i,i=2,…,n,结论显然成立。 (ii)如果存在2≤i_0≤n-1,使a_i_0≤b_i_0且a_(i_0 1)≤b_(i_0 1),则当i_0=n-1时,立得结论;而当2≤i_0≤n-2时,由递推关系式亦知,对一切i≥i_0 2,均有a_i≤b_i,从而结论亦成立。     

1991年日本数学奥林匹克试题及解答

1.设以t:(1一t)f自l匕例内夕)△ABC的三边BC,CA,AB的点分别为P,Q,R,以线段Ap,BQ,cR为三边的三角形面积为K,△ABc的面积为L,求尽(用,表示). 为 2.设N为全体正整数的集合,从N到N的映射P,q定义如下: P(1)=2,P(2)=3, P(3)=4,P(4)=1, 当n)S时,P(哟=氏 q(1)=3,q(2)=4, 口(3)=2,q(4)=工, 当n李5时,q(”)=:. (1)试找出一个映射f,使得当恰当地构造由N到N的映射f时,对任意的,任N,有f(f(二))=P(:)+2成立. (2)试证明:不存在从N到N的映射f,对于所有的:任N,f(f((,))=尽(。)+2都成立. 3.设A为拓位的正整数.证明:可以从A中恰当地取出相邻的…     

2002年中国数学奥林匹克试题及解答

一、△ABC的三边长分别为a,b,c,b＜c,AD是角A的内角平分线,点D在边BC上. (1)求在线段AB,AC内分别存在点EF(不是顶点)满足BE=CF和∠BDE=∠CDF的充分必要条件(用角A、B、C表示);     

03年加拿大数学奥林匹克试题及解答

1.Consider a standard twelve-hour Clock whosehour and minute hands move continuously.Let m be aninteger,with 1≤m≤720.At precisely m minutesafter 12:00,the angle made by the hour hand andminute hand is exactly 1°.Determine all possible valuesof m.2.Find the last three digits of the number2003 2002 2001。3.Find all real positive solutions(if any)tOx3 y3 z3=x y z,andx2 y2 z2=xyz.     

1990年西班牙数学奥林匹克试题与解答

到目前为止,西班牙数学奥林匹克已举行了28届。每届有两轮,跨年度进行。这里提供的是1990年下半年举行的第27届第一轮的试题,根据前苏联《量子》的俄文稿译出,部分解答参考了《西班牙数学奥林匹克》(OLIMPIADA MATHEMATICA ESPA(?)OLA)。第一天 1.设a,b,c为直角三角形的边长。证明,若这些数是整数,则其乘积abc能被30整除。证明整数a,b,c为直角三角形的三边长,则有c~2=a~2+b~2(不妨设c为斜边)。(1)若a,b中有偶数,则2|ab,否则2|c,所以2|abc;(2)若a,c中有3的倍数,则3|ac,否则b~2=(c-a)(c+a)能被3整除,因为3是素数,所以3|b,因此有3|abc;(3)若5不整除a,b,c中的     

解答一道数学奥林匹克题

题目 定义正整数数列｛an}为a1=1,a2=2,ak＋2=2ak＋1＋ak（k≥1）.     

2004年中国数学奥林匹克冬令营试题解答

第一天 一、解:(Ⅰ)若EF∥AC,则BE/EA=BF/FC,代入条件式得DH/HA=DG/GC,∴HG∥AC.     

1989年加拿大数学奥林匹克试题及解答

1.整数1,2,…,n的排列满足:每个数或者大干它之前的所有数,或者小于它之前的所有数.试问有多少个这样的排列? 2.△ABC是面积等于1的直角三角形.A′,B′,C′分别是A,B,C关于各自对边的反射点.求△A′B′C′的面积.     

1991年中国数学奥林匹克试题及解答

1991年中国数学奥林匹克(CMO),即第六届全国中学生数学冬令营,于1991年1月11日至15日在武汉市华中师范大学举行。1月12日及13日上午各用4.5小时进行竞赛考试,与此同步还用同一份试题进行了第二届陈省身杯团体赛(部分省、市、自治区各派出3名营员参赛)。下面是这次竞赛的6道试题及解答。(每题满分21分,最高得分为117分) 第一天 (1991年1月12日上午8:00—12:30) 一、平面上有一个凸四边形ABCD, (1)如果平面上存在一点P,使得     

1993年全国初中数学联赛试题解答

今年试题普遍反映较好,难易适中,受到师生的欢迎。根据局部抽样分析,平均分比去年提高16.20分,安徽省前200名最低分数线也比往年高出15分—20分,其中六安市一名选手得了满分(140分),另外有十名安徽各地、市选手获得了132分以上的好成绩。下面提供的试题解答,对一试各题仅给出答案。二试三大题的解答是严镇军、尚强同志所拟,作为对命题组提供的解答的一点补充。今年全国初中联赛承办单位是内蒙古。     

常德市1993年小学数学奥林匹克决赛成绩揭晓

1993年全国小学数学奥林匹克竞赛常德赛区决赛成绩已经揭晓,获得满分奖(120分)的是:陈星(石门县城关二完小);获得一等奖(110分)的有:江帆(桃源县长湖小学),朱峰(桃源师范附小),戴毕晖(澧县洪福小学),卿定勇(汉寿县西湖农场子校),王绪彬(安乡县城南小学),王卫科(石门县城关二小),王杨(石门县城关二小)。     

第19届(1993)全俄数学奥林匹克试题与解答

9年级(最后一轮第一天) 对第二种操作,有 1.设自然数二使2,+1及3n+l都是平方数,间5二+3是否能为质数. 解设Zn+1=几2.3,+1=,:(泛,,〔N),则sn+3=4(加+1)一(3n+1)二4泛.一.盆~(幼+琳)(2汤一邢)是合数,选是由于2泛一,笋1,事实上,若2盛一,=1,即2盛二。+1,从而5,+3=2。+1,于是(,一1).=.一(2爪+1)+2二(3月+1)一(5月十3)十2=一2”<0,这就导致矛盾. 2.设两条单位长的线段AB和C刀相文于点O,且匕月OC二60’.求证:AC+BD》1. .,、。,,l‘二一二少,J’于二万, 证如图l作CBI//月B,且CB,=AB,则四边形ABBIC是平行四边形.从而月C二BB、,由△BB,D,…     

2003年加拿大数学奥林匹克试题及参考解答

1.一个时针与分针连续转动的12小时标准时钟.设m是整数,且1≤m≤720.恰好在12:00后的m分钟,时针与分针的夹角恰好是1°.求所有可能的m的值.