一道竞赛题的多种解法

题目　如图 1 ,已知四边形ＡＢＣＤ外接圆⊙Ｏ的半径为 2 ,对角线ＡＣ与ＢＤ的交点为Ｅ ,ＡＥ =ＥＣ ,ＡＢ =2ＡＥ ,ＢＤ =2 3.求四边形ＡＢＣＤ的面积 .( 2 0 0 0年全国初三数学竞赛题 )这是一道综合性与技巧性都较强的试题 ,解题的思路开阔 ,方法较多 .图 1图 2　　解法一　如图 2 ,∵　ＡＢ =2ＡＥ ,ＡＥ =ＥＣ ,∴　ＡＢ2 =2ＡＥ2 =ＡＥ·2ＡＥ =ＡＥ·ＡＣ .∴　 ＡＢＡＣ =ＡＥＡＢ.又∠ＢＡＥ =∠ＣＡＢ ,∴　△ＡＢＥ∽△ＡＣＢ .∴　∠ＡＢＥ =∠ＡＣＢ .∵　∠ＡＣＢ =∠ＡＤＢ ,∴　∠ＡＢＥ =∠ＡＤＢ .∴　ＡＢ =ＡＤ .作直径…     

三棱锥中的一个等式

定理　Ｈ为三棱锥Ａ ＢＣＤ底面的重心 ,Ｇ为ＡＨ上的点 ,且 ＡＧＡＨ =ｋ ,△Ｂ′Ｃ′Ｄ′为过Ｇ的任一截面 (如图 ) ,则ＡＢＡＢ′ ＡＣＡＣ′ ＡＤＡＤ′=3ｋ .证明 :如图 ,Ｈ为△ＢＣＤ的重心 ,则ＶＡ ＢＨＣ =ＶＡ ＣＨＤ =ＶＡ ＤＨＢ=13 ＶＡ ＢＣＤ.∵ ＶＡ Ｂ′ＧＣ′ＶＡ ＢＨＣ=ＡＢ′·ＡＣ′·ＡＧＡＢ·ＡＣ·ＡＨ =ＶＡ Ｂ′ＧＣ′13ＶＡ ＢＣＤ,ＡＧＡＨ=ｋ ,∴ ＶＡ Ｂ′ＧＣ′ＶＡ ＢＣＤ=ｋ3·ＡＢ′·ＡＣ′ＡＢ·ＡＣ ,同理可得类似的两个等式 .三式相加 ,有ＡＢ′·ＡＣ′·ＡＤ′ＡＢ·ＡＣ·ＡＤ =ＶＡ Ｂ′Ｃ′Ｄ…     

等角共轭点的一个有趣性质

给定△ＡＢＣ和一点Ｐ ,满足∠ＱＡＣ =∠ＰＡＢ ,∠ＱＢＡ =∠ＰＢＣ ,∠ＱＣＢ =∠ＰＣＡ的点 (如图 )Ｑ叫做Ｐ关于△ＡＢＣ的等角共轭点[1] [2 ] .我们发现了等角共轭点的一条新性质 :定理　设Ｐ、Ｑ是△ＡＢＣ的等角共轭点 ,则ＡＰ·ＡＱＡＢ·ＡＣ ＢＰ·ＢＱＢＣ·ＢＡ ＣＰ·ＣＱＣＡ·ＣＢ=1 .证明 :如图 ,在射线ＡＱ上取点Ｄ ,使∠ＡＣＤ =∠ＡＰＢ ,因∠ＡＰＢ >∠ＡＣＢ ,故Ｄ在△ＡＢＣ外 .又因∠ＰＡＢ =∠ＣＡＤ ,从而△ＡＢＰ∽△ＡＤＣ ,故ＡＢＡＤ=ＡＰＡＣ=ＢＰＣＤ,ＣＤ =ＢＰ·ＡＣＡＰ .①又由∠ＱＡＢ =∠ＰＡＣ ,Ａ…     

对一道全国联赛题的思考

1999年全国初中数学联合竞赛第二试第二题 :ＡＤ是△ＡＢＣ的高 ,以Ｄ为圆心 ,ＡＤ为半径作⊙Ｄ交ＡＢ于Ｅ ,交ＡＣ于Ｆ ,ＡＢ =5,ＡＥ =2 ,ＡＦ =3 .求ＡＣ的长 .本文对该题做如下几方面的思考和探讨 .一、一题多解解法 1.如图 1,过Ｄ分别作ＤＰ⊥ＡＢ ,垂足为Ｐ ,ＤＱ⊥ＡＣ ,垂足为Ｑ ,由垂径定理得ＡＰ =1,ＡＱ= 32 .易得△ＡＤＰ∽△ＡＢＤ ＡＤＡＢ= ＡＰＡＤ ＡＤ =5.同样有△ＡＤＱ∽△ＡＣＤ ＡＤＡＣ =ＡＱＡＤ ＡＣ =103 .解法 2 .如图 1,延长ＡＤ交⊙Ｄ于Ｍ ,连结ＭＥ及ＭＦ ,可得ＡＤ =5 ＡＭ =2 5,易得Ｒｔ△ＡＭＦ∽Ｒｔ…     

几种添加剂对聚丙烯膜预辐射接枝丙烯酸和丙烯酰胺的增强效应

以电子束（ＥＢ）为辐射源,对聚丙烯膜进行预辐射接枝丙烯酸（ＡＡｃ）和丙烯酰胺（ＡＡｍ）,分别研究了甲醇、葡萄糖和硫酸亚铁等具有一定还原性的化合物对接枝反应的影响,同时测定了各种添加剂的含量对接枝率的影响．比较了甲醇、葡萄糖、亚硝酸钠和硫酸亚铁在ＡＡｃ和ＡＡｍ二种不同接技单体体系中的作用．结果表明,上述四种化合物对 ＡＡｃ反应体系都具有阻止均聚并增强接枝反应的功能．而在ＡＡｍ反应体系中,只有硫酸亚铁和甲醇有利于接枝反应．     

关于两个猜想的证明

文 [1 ]提出两个关于正四面体中不变量的猜想 :猜想 1　设Ｐ为正四面体Ａ1Ａ2 Ａ3 Ａ4 内切球上的任意一点 ,ｒ为内切球半径 ,过Ｐ分别作棱Ａ3 Ａ4 、Ａ2 Ａ4 、Ａ2 Ａ3 、Ａ1Ａ4 、Ａ1Ａ3 、Ａ1Ａ2 的垂线 ,其垂足分别为Ｍ1、Ｍ2 、Ｍ3 、Ｍ4 、Ｍ5、Ｍ6,则∑6ｉ=1ＰＭ2 ｉ=2 2ｒ2 。猜想 2　设Ｐ为正四面体Ａ1Ａ2 Ａ3 Ａ4 内切球上的任意一点 ,ｒ为内切球半径 ,过Ｐ分别作面Ａ2 Ａ3 Ａ4 、Ａ1Ａ3 Ａ4 、Ａ1Ａ2 Ａ4 、Ａ1Ａ2 Ａ3 的垂线 ,其垂足分别为Ｎ1、Ｎ2 、Ｎ3 、Ｎ4 ,则∑4ｉ=1ＰＮ2 ｉ=1 63ｒ2 。图 1今给出证明如下 :先用解析法证…     

三角形中线的一个性质--兼擂题(56-2)的解答

陈胜利先生在本刊 2 0 0 2年第 4期有奖解题擂题台 (5 6)中提出问题如下 :问题　如右图所示 ,求证 :Ａ1Ａ4 平分Ａ2 Ａ3的充要条件是ＲＡ1·ＲＡ3+ＲＡ2 ·ＲＡ4 =ＰＡ1·ＰＡ2 +ＰＡ3·ＰＡ4 ①本文给出上述问题的证明。证明　延长Ａ3Ｐ和Ａ2 Ｒ分别交△Ａ1Ａ2 Ａ3的外接圆于Ｐ′、Ｒ′ ,连结Ｐ′Ｒ′、ＰＲ ,则ＲＡ1·ＲＡ3=ＲＡ2 ·ＲＲ′,ＰＡ1·ＰＡ2 =ＰＡ3·ＰＰ′。于是①式 ＲＡ2 ·ＲＲ′ +ＲＡ2 ·ＲＡ4 =ＰＡ3·ＰＰ′ +ＰＡ3·ＰＡ4 ＲＡ2 ·Ｒ′Ａ4 =ＰＡ3·Ｐ′Ａ4 Ｒ′Ａ4 Ｐ′Ａ4=ＰＡ3ＲＡ2②又△Ｐ′Ｒ′Ａ4 ∽△Ａ2 …     

求圆中锐角三角函数值的思路分析

求圆中锐角三角函数值的问题 ,涉及的知识点较多 ,综合性较强 ,解法也较灵活 .每年的中考中都有这种类型的试题 ,用以考查学生综合运用知识的能力 .一、转移线段比例 1　如图 1,Ｐ为⊙Ｏ外一点 ,ＰＡ切⊙Ｏ于点Ａ ,ＰＡ =8,直线ＰＣＢ交⊙Ｏ于Ｃ、Ｂ两点 ,且ＰＣ =4 ,ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ ,连结ＡＢ、ＡＣ ,∠ＡＢＣ =α ,∠ＡＣＢ =β .求ｓｉｎαｓｉｎβ的值 .(2 0 0 1年湖北省沙市中考题 )思路分析　在Ｒｔ△ＡＢＤ和Ｒｔ△ＡＣＤ中 ,ｓｉｎα =ＡＤＡＢ,ｓｉｎ β =ＡＤＡＣ.∴　ｓｉｎαｓｉｎ β=ＡＤＡＢ·ＡＣＡＤ=ＡＣＡＢ.故只需求 Ａ…     

如何求串并联电路正常工作的概率

在中学数学教材概率这一章中 ,涉及到求串并联电路正常工作的概率问题 ,大多数学生在解决问题中显得比较困难 ,为此与大家一起探讨几种解题方法 .　　　　　图 1例 1　如图 1,设每个电子元件能正常工作的概率均为 ｐ ,求电路正常工作的概率 .解法 1　所求概率为Ｐ(Ａ1·Ａ2 ·Ａ3+ Ａ1·Ａ2 ·Ａ3+Ａ1·Ａ2 · Ａ3　 + Ａ1· Ａ2 · Ａ3+ Ａ1· Ａ2 · Ａ3)=Ｐ(Ａ1·Ａ2 ·Ａ3) +Ｐ(Ａ1·Ａ2 ·Ａ3) +Ｐ(Ａ1·Ａ2·Ａ3)　 +Ｐ(Ａ1·Ａ2 ·Ａ3) +Ｐ(Ａ1·Ａ2 ·Ａ3)=Ｐ(Ａ1)Ｐ(Ａ2 )Ｐ(Ａ3) +Ｐ(Ａ1)Ｐ(Ａ2 )Ｐ(Ａ3)　 +Ｐ(Ａ1)Ｐ(Ａ2 )Ｐ(Ａ…     

等腰三角形判定定理的证明

关于等腰三角形判定定理的证明,课本上的证法是应用全等三角形给出证明．但在已知图形中,并没有以ＡＢ、ＡＣ为一对对应边的全等三角形,因此必须添加适当的辅助线（作ＢＡＣ的平分线ＡＤ）,把ＡＢＣ分成两个三角形ＡＤＢ和ＡＤＣ;然后证明这两个三角形全等;最后根据全等三角形的性质证得ＡＢ＝ＡＣ．除此之外,还有如下几种证法：１．作ＢＣ边上的高ＡＨ（如图１）,把ＡＢＣ分成两个直角三角形ＡＨＢ和ＡＨＣ,则ＡＢ、ＡＣ分别是这两个直角三角形的斜边．于是,欲证ＡＢ＝ＡＣ,只须证Ｒｔ△ＡＨＢＲｔＡＨＣ即可,根据已知条件和辅…     

交叉法中比值所属物理量的确定

交叉法作为一种计算技巧 ,主要运用于二元混合体系和相当于二元混合体系的多元混合体系 ,有关它的公式推导如下 :设ａ1 、ａ2 分别表示混合物组分 (Ⅰ、Ⅱ )某物理量的分数 ,Ａ1 、Ａ2 (Ａ1 >Ａ2 )分别表示组分的“特性值” ,Ａ表示Ａ1 、Ａ2的平均值 ,则有Ａ1 ａ1 Ａ2 ａ2 =Ａ　其中ａ1 ａ2 =1∴ａ1 ａ2=Ａ -Ａ2Ａ1 -Ａ使用时 ,把它转化为交叉形式Ａ1 　　　　　Ａ -Ａ2　　　ＡＡ2 　　　　　Ａ1 -Ａ该方法运用的关键在于正确理解ａ1 ∶ａ2为何种物理量之比。一般来说 ,该物理量必须满足 :混合体系的该物理量值 =组分Ⅰ的该物理量值 =组…     

"a2=bc"型几何题的证明方法

几何“ａ2 =ｂｃ”型的命题 ,综合性强 ,证法灵活 ,是训练初中学生思维能力的重要题型 ,也一直是中考的“热点” .本文举例说明此类题型常用的证明方法利用共边相似三角形证明　　　　　图 1例 1　如图 1,已知⊙Ｏ与⊙Ａ相交于Ｂ、Ｃ两点 ,经过点Ａ ,过Ａ作⊙Ｏ的弦ＡＦ交⊙Ａ于Ｅ ,交ＢＣ于Ｄ .求证 :ＡＢ2 =ＡＤ·ＡＦ .证明　连结ＢＦ ,ＡＣ ,∵ＡＢ =ＡＣ ,∴∠ＡＢＣ =∠ＡＦＢ .又∵∠ＢＡＤ =∠ＦＡＢ ,∴△ＡＢＤ∽△ＡＦＢ ,有　　 ＡＢＡＦ =ＡＤＡＢ,故　　ＡＢ2 =ＡＤ·ＡＦ .2　利用等高相似三角形证明　　　　　图 2例 2　　…     

一个简单的立体几何结论及其应用

众所周知 ,在平面几何中 ,如果线段ＡＢ的中点在直线ｌ上 ,那么Ａ、Ｂ两点到直线ｌ的距离相等 .在立体几何中有同样类似的结论 :如果Ａ、Ｂ两点在平面α的异侧 ,且线段ＡＢ的中点在平面α上 ,那么Ａ、Ｂ两点到平面α的距离相等 .证明　如图 1 ,过Ａ、Ｂ两点分别作平面α的垂线ＡＡ1 、ＢＢ1 垂足分别为Ａ1 、Ｂ1 ,则ＡＡ1 ∥ＢＢ1 ,ＡＡ1与ＢＢ1 确定一个平面 β,α∩ β=Ａ1 Ｂ1 ,ＡＢ∩Ａ1 Ｂ1 =Ｏ .易知Ｒｔ ＡＡ1 Ｏ≌Ｒｔ ＢＢ1 Ｏ ,从而ＡＡ1 =ＢＢ1 ,即Ａ、Ｂ两点到平面α的距离相等 .例 1　如图 2 ,四棱锥Ｓ-ＡＢＣＤ中 ,底面ＡＢＣ…     

内角平分线定理的一个推广

对任一个三角形 ,有内角平分线定理 :定理 1　在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ的平分线ＢＤ交ＢＣ于Ｄ ,则ＢＤＤＣ=ＡＢＡＣ。对ＢＣ上的任一点Ｄ (如右图 ) ,因为△ＡＢＤ与△ＡＤＣ同高 ,所以 ＢＤＤＣ=Ｓ△ＡＢＤＳ△ＡＤＣ=12 ＡＢ·ＡＤ·ｓｉｎ∠ＢＡＤ12 ＡＤ·ＡＣｓｉｎ∠ＤＡＣ=ＡＢｓｉｎ∠ＢＡＤＡＣｓｉｎ∠ＤＡＣ。于是 ,有 :定理 2　若Ｄ是△ＡＢＣ的ＢＣ内的一点 ,则ＢＤＤＣ=ＡＢｓｉｎ∠ＢＡＤＡＣｓｉｎ∠ＤＡＣ。显然 ,当∠ＢＡＤ =∠ＤＡＣ时 ,定理 2转化为定理1 ,所以说定理 2是内角平分线定理的推广。事实上 ,当Ｄ为线段ＢＣ的…     

《三角形全等的判定(三)》教学笔录及评析

师 :请同学们说一说 ,到目前为止我们一共掌握了哪几种全等三角形的判定方法 ?　　生 :……　　师 :请大家完成下列练习 :(投影 )　　选择题 :△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′全等的条件是 (　　 )　　 ( 1)ＡＢ =Ａ′Ｂ′ ,∠Ａ =∠Ａ′ ,∠Ｂ =∠Ｃ′　　 ( 2 )∠Ａ =∠Ａ′ ,ＡＣ =Ａ′Ｃ′ ,∠Ｃ =∠Ｃ′　　 ( 3 )∠Ａ =∠Ａ′ ,∠Ｂ =∠Ｂ′ ,∠Ｃ =∠Ｃ′　　 ( 4 )ＡＢ =Ａ′Ｂ′ ,∠Ａ =∠Ａ′ ,ＡＣ =Ａ′Ｃ′　　学生完成练习后举手回答并阐述理由。　　师 :由上述条件 ( 4 ) ,如果缺少条件∠Ａ =∠Ａ′ ,△∠ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ还全…     

矩形折叠与实践能力培养

实施素质教育应以培养学生的创新精神和实践能力为重点,今就矩形的折叠谈谈数学教学如何体现这一观念．一、对折已知矩形纸片ＡＢＣＤ,ＡＢ＞ＡＤ（图１）．１．若沿着ＡＢ对折（图１）,所得矩形ＡＥＦＤ能否与原矩形ＡＢＣＤ相似？若相似,ＡＢ∶ＡＤ的值是多少？简解：可以相似,此时ＡＢＡＤ＝ＡＤＡＥ＝２ＡＤＡＢ,ＡＤ＝２２·ＡＢ,ＡＢ∶ＡＤ＝２．２．若沿ＡＤ对折,所得矩形ＡＢＥＦ与原矩形ＡＢＣＤ能否相似（图２）．简解：不可能．两个矩形的对应边不成比例．二、沿对角线折１．已知矩形纸片ＡＢＣＤ,ＡＢ＝ａ,ＢＣ＝ｂ（…     

矩阵方程的一种简单求法

矩阵方程ＡＸ＝Ｂ（或ＸＡ＝Ｂ）,当Ａ可逆时,一般解法是：（１）求Ａ－１;（２）计算Ａ－１Ｂ（或ＢＡ－１）即为其解。这种方法虽然思路自然,现用教材大多采用这种解法。但运算较繁。其实稍加改进便可得到自然而简捷的方法。当Ａ可逆时,矩阵方程ＡＸ＝Ｂ的解为：Ｘ＝Ａ－１Ｂ。因为Ａ－１（Ａ∶Ｂ）＝（Ｅ∶Ａ－１Ｂ）,又因Ａ－１可逆,所以,Ａ－１＝Ｐ１Ｐ２…Ｐｎ。其中Ｐ１,Ｐ２,…,Ｐｎ为初等矩阵,Ａ－１左乘矩阵（Ａ∶Ｂ）施行行的初等变换将Ａ化成Ｅ的同时,就可以将Ｂ化成Ａ－１Ｂ,即为矩阵方程的解。例如：解矩阵方程…     

谈谈空间塞瓦定理及其逆定理

在平面几何中 ,有著名的塞瓦定理及其逆定理 (见文 [1]中Ｐ .2 4 4～ 2 4 6) .文 [2 ]中定理 6- 16与文 [3]中定理分别给出了塞瓦定理在三维空间的两个推广 .在三维空间中 ,其实我们可以提出更贴近平面情形的空间塞瓦定理及其逆定理 .定理 1(空间塞瓦定理 )　设Ｐ是四面体Ａ1 Ａ2 Ａ3 Ａ4内任一点 ,平面ＡｉＡｊＰ(ｉ ,ｊ =1,2 ,3 ,4 ,ｉ≠ｊ)与棱ＡｉＡｊ的对棱ＡｋＡｓ 相交于点Ｄｋｓ(Ｄｋｓ与Ｄｓｋ表示同一点 ) ,则　 Ａ1 Ｄ1 2Ｄ1 2 Ａ2·Ａ2 Ｄ2 3Ｄ2 3 Ａ3·Ａ3 Ｄ31 Ｄ31 Ａ1=Ａ2 Ｄ2 3Ｄ2 3 Ａ3·Ａ3 Ｄ34Ｄ34Ａ4·Ａ4Ｄ42Ｄ42 Ａ…     

建议补充密码子的定义

现行人教版高中《生物》教材在 1 50页中对密码子这样下定义 :“遗传学上把信使ＲＮＡ上决定一个氨基酸的三个相邻的碱基叫做密码子。”教材又在 1 51页中给出“2 0种氨基酸的密码子表” ,表中列出三个密码子(ＵＡＡ、ＵＡＧ、ＵＧＡ)不决定任一氨基酸 ,而对应“终止”。问题就从这儿出来了 :学生按密码子定义认为密码子作用是决定氨基酸 ,从而误认为ＵＡＡ、ＵＡＧ和ＵＧＡ不是密码子。其实ＵＡＡ、ＵＡＧ和ＵＧＡ虽不对应氨基酸 ,但在蛋白质合成终止时是有作用的。当核糖体在信使ＲＮＡ上读到ＵＡＡ、ＵＡＧ或ＵＧＡ时 ,因没有一种转运Ｒ…     

周界中点三角形的一个命题

命题　设Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ,ＡＢ =ｃ ,ｓ=12 (ａ +ｂ +ｃ) ,△ＡＥＦ、△ＢＤＦ、△ＣＤＥ、△ＡＢＣ的面积分别记为△Ａ、△Ｂ、△ Ｃ、△ ,△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ .则有 ∑(ｓ-ａ)△ Ａ=△22Ｒ.证明 :由三角形周界中点的定义知ｓ=ＡＢ +ＡＥ =ｃ +ＡＥ ,ｓ=ＡＣ +ＡＦ =ｂ +ＡＦ ,则ＡＥ =ｓ-ｃ,ＡＦ =ｓ-ｂ .又∵ｓｉｎＡ =ａ2Ｒ,ｓｉｎＢ =ｂ2Ｒ,ｓｉｎＣ =ｃ2Ｒ,∴△Ａ =12 ＡＥ·ＡＦ·ｓｉｎＡ=12 (ｓ-ｃ) (ｓ-ｂ)· ａ2Ｒ=ａ4Ｒ(ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ) .故 (ｓ-ａ)△Ａ=…