正弦定理的联想及其它

由正弦定理出发,我们可以得到如下定理:△ABC中,以sinA、SinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。且△ABC∽A′B′C′,△A′B′C′外接圆直径为1。证明:设△ABC外接圆半径为R, sinA+sinB=1/2R (a+b)>1/2R·C=sinC。同理可证 sinA+sinC>sinB,sinB+sinC>sinA。因此以sinA、sinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。由正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC,因此△ABC∽△A′B′C′,则A=A′,B=B′,C=C′。设△A′B′C′外接圆半径为R′,对△A′B′C′施行正弦定理,则sinA/sinA′=2R′=1。由这个定理出发,有下面的二个应用。一、关于三角形中一些恒等式和不等式的互证     

三面角的一组等式及其应用(续)

三、正弦定理在四面体中的类似定理三角形的正弦定理为a/(sinA)=b/sinB=c/(sinC)=2R,又R=(abc)/(4△),(△为三角形面积)于是有a/(sinA)=b/(sinB)=c/(sinC)=((2abc)/(2~2△))~((*))。利用一中等式6,容易发现:四面体各面与所对三面角之间有可以完全与(*)式类比的关系。     

正、余弦定理知识梳理及应用

一、自主梳理 1.正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,其中R是三角形外接圆半径. 2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,cosA=b2+c2-a2/2bc.     

双圆半径的几何性质

本文先给出含双圆半径的几何性质: 定理1:设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,顶点A、B、C到内心的距离分别为a0,b0,c0,则4Rr2=a0b0c0. 证明:因为r=(a0sin)A/2.=(b0sin)B/2=(c0sin)C/2. 所以r3=(a0b0c0sin)A/2(sin)B/2(sin)C/2因为△=1r/2(a+b+c)=Rr(sinA+sinB+sinC)=2R2sinAsinBsinC所以r/2R=sinA·sinB·sinC/sin+sinB+sinC又因为易证sinA+sinB+sinC=     

利用正弦定理的变式解三角形

正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,它是解三角形问题的有力工具之一,利用其变式（1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;（2）sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R,可以将三角形的边角关系互化,进而实现边（或角）的统一,然后利用这种“统一边（或角）”的思想来解三角形,现举例说明。     

正弦定理及其应用

同学们都熟知,在△ABC中,A、B、C为三个内角,a,b,c为三边,R为△ABC的外接圆半径,则有正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 正弦定理它是揭示三角形的边、角及外接圆半径之间数量关系的一个重要定理.灵活运用正弦定理解几何题,往往可以避免因添设辅助线所带来的困难,而且在许多情况下,能使证明思路清晰,解法简捷明快.     

巧用正弦定理的变式妙解题

高考注重对学生素质和能力的考查,正弦定理的变式应用,较好地体现了这一精神,本文作一探讨,供大家参考．变式一:a/b=sinA/sinB,b/c=sinB/sinC,c/a=sinC/sinA．例1 若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m的范围是( )．     

边角关系三大定理的统一证明及等价性

大家知道，关于三角形的边角关系有如下三大定理： 正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC；     

正弦、余弦定理在三角变换中的应用

正弦定理和余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角函数与几何产生联系.为求与三角形有关的量:如面积、外接圆半径、内切圆半径等提供了理论依据,也是判定三角形形状、证明与三角形有关的三角恒等式的重要依据.正弦、余弦定理是沟通三角形中有关边与角之间的关系的重要定理,应用时要注意对一些变式进行灵活地应用.如正弦定理sianA=bsinB=sincC(R为三角形ABC的外接圆半径),有三种变形:(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR;(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.利用这些公…     

虽殊途同归，但各司其职——正弦定理的证明方法及作用

正弦定理是高中阶段一个很重要的定理,证明方法也很多．苏教版教材（必修5）是从直角三角形入手,探究出直角三角形中的边角关系是a/sinA=b/sinB=c/sinC,     

用物理方法证明正弦定理和余弦定理

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC和余弦定理{a2 b2-2ab·cosC=c2 b2 c2-2bc·cosA=a2 a2 c2-2ac·cosB=b2 是三角形边角关系的美妙体现,它们的发现和证明都显示着人类的智慧,是人类文明史上灿烂的一页.     

巧用正弦定理解题

设△ABC的三边为a、b、c,对角分别是A、B、C,则有a/sinA=B/sinB=c/sinC=2R,其中R为△ABC的外接圆半径,这就是正弦定理,运用正弦定理,证平面几何题,常具有思路清楚,过程简单,少作或不作辅助线等优点,下面举例说明,     

正弦定理变形一得

在△ABC中利用正弦定理:(a/sinA)=(b/sinB)=(c/sinC)=2R (acosA) (bcosB)=2R(sinAcosA sinBcosB)=R(sin2A sin2B)=2Rsin(A B)cos(A-B)=2RsinCcos(A-B)=ccos(A-B)≤c (当且仅当A=B时取等号), 同理bcosB ccosC≤a;     

半单位圆

我们称半径等于1/2的圆为半单位圆,它显然有如下性质:(1)设△ABC内接于半单位圆,由正弦定理立得a＝sinA,b=sinB,c=sinC。     

正弦定理的变形及其应用

在△ABC中，正弦定理可以写成：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为外接圆半径），这个关系不仅揭示了三角形的边角关系，而且也表明了圆中的弦和所张圆周角之间的关系，因此利用正弦定理，我们既可以解三角形，又可以将三角形中边的关系及角的关系相互转化来证明几何问题。为了实现快速转化，请大家一定要熟练掌握正弦定理的如下变换形式：     

正弦定理的多角度证明

在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即a/sinA=b/sinB=c/sinC本文试图从多角度探索这一定理的证明方法,供大家参考考。以下均以锐角三角形为例,钝角三角形的情况可仿照证明。     

一个平面几何公式的姊妹公式

文 [1 ]给出了如下平面几何公式 :r =r1+r2 -2r1r2h .其中 ,P为△ABC的BC边上一点 ,h为BC边上的高 ,r ,r1,r2 分别为△ABC、△ABP和△ACP内切圆半径 .我们得到定理　设P为△ABC的边BC上一点 ,h为BC上的高 ,R ,R1,R2 分别为△ABC、△ABP、△ACP的外接圆半径 ,CA =b ,AB =c ,则R =(b +c) (bR1+cR2 )4h(R1+R2 ) . ( )证明 :由正弦定理 ,AP =2R1sinB =2R2 sinC ,设BC =a而sinB =b2R,sinC =c2R,因此R1+R2 =AP2 ( 1sinB+1sinC) =R(b +c)bc ·AP=R(b+c) sinAah ·AP=R(b+c)· AP2Rh=b +c2h (R1sinB +R2 sinC)=b +…     

三角形中与角有关的几个等式

三角形中有很多与角相关的等式,例如正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,余弦定理a²=b²+c²-2bccosA.由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,三角形的三条边可化成三个角的正弦.于是研究三角形三个角的三角函数之间的等式关系就显得非常必要.本文通过探究得到了三角形中与角有关的几个等式.     

关于一个三角不等式的证明

在△ABC中,不等式:sinA/2·sinB/2·sinC/2≤1/8(等号只在正三角形中成立)即三角形三内角之半的正弦积不大于1/8。兹将几种证法罗列如下。为了方便,记y=sinA/2·sinB/2·sinC/2,A、B、C和a、b、c分别表示△ABC的三内角和三边长,sinA/2、sinB/2、sinC/2均为正数。下不一一赘述。     

正弦定理的联想

本文将给出一个类似于正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R的余弦形式。然后举例说明它的应用。 [定理] 设△ABC的外接圆半径为R,垂心为H,则AH=2R|cosA|,BH=2R|cosB|,CH=2R|cosC|。证:设BC=a,AC=b,AB=c,取如图所示的坐标系,则A(0,0)、B(c,0)、C(bcosA,bsinA)。∵ K_(AC)=tgA,而BH⊥AC,故K_(BH)=-ctgA。∴直线BH的方程为y=-ctgA(x-c),于是CH=|yC-yH|=|bsinA bcosA·ctgA-cctgA|