比例在几何证题中的应用

学习了《相似形》一章后，我们可以借助比例来证明很多类型的几何题．一、证明两线段相等例1如图1，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，AN交CM于E，BM交CN于F．求证：CE＝CF．证明　由已知易得二、证明两角相等例2　已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC求证：∠B＝∠C．证明　　延长BA、CD交于点E（如图2）．三、证明线段不等例3　在△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，DE交AC于点F．求证：AE＜AF．证明　　过B作BG∥EF交AC延长线于G（如图3），则AG＞AC＝AB．四、证明线段和…     

旋转变换在几何证题中的应用

旋转变换即是指将某一图形绕着某一定点旋转一个角度所进行的位置变换.这个定点叫做旋转中心,所旋转的角度叫做旋转角. 对于图形中具有等边特征的几何命题,若能恰当地运用旋转变换迁移元素的位置,常常能以简驭繁,给出灵活巧妙的证明方法.施行旋转变     

利用位似旋转变换证明几何题

位似旋转变换:设O为平面上一定点,k为常数(k>0),θ为有向角,对于任意一点p,射线OP绕O旋转角θ,P映射到P',在OP'射线上存在一点P",有(?)=k(?),把由点P到点P"的变换叫作以O为位似旋转     

辅助线在几何证题中的应用

初中学生对于平面几何的学习,均认为是一门老大难学科。尤其对证题中辅助线的作法更感头疼。为了解决这一难点,平时在教学中要善于总结引导。可以通过一些典型题目,采用多种形式进行论证,从而在作辅助线的方法和思路上给学生以启示。现就自己教学中的具体做法,举一例如下:     

勾股定理在几何证题中的应用

勾股定理是初中几何中的一个极为重要的定理，它在数学解题中有着广泛的应用．本文举例说明勾股定理在几何证题中的应用．例1如图1，在△ABC中，AB=AC，BDAC于D．求证：分析在Rt△BDC和Rt△ADB中，由勾股定理，得于是，要证结论成立，只要证即可．这只要经过适当的恒等变形即得．事实上，故结论可证．证明略．例2如图2，在锐角三角形ABC中，CD是高．求证：分析要证结论成立，只要证：（1）（2）要证．这由勾股定理即得．要证，只要证因为AD＋DB=AB，所以此结论成立．故命题结论可证．证明略．例3如图3，在△ABC中，是BC边的…     

旋转在几何证题中的应用

<正> 逻辑推理能力弱,是青年职工数学学习中的主要特点。不少学员碰到稍有难度的几何证明题,就感到辣手,尤其是碰到需要添辅助线的题目,更是不知从何做起。即使老师帮助他们画上了辅助线,他们也是不以为然,还会问老师,为什么要添这些线,你是     

正弦定理在几何证题中的应用

众所周知，正弦定理在解斜三角形中有着重要的应从除此之外，正弦定理在几何证题中也有着大量的应用.用正弦定及证明几何题一般不需要作辅助线就能得到证明.1证明线段相等要征两线段a=b，有两种可能：（1）若线段a和b在同一三角形内时，由正弦定理可得，当sinA=sinB时，a=b得任.（2）若线段a和b不在同一三角形内时，可根据题设条件，假设某些边、角为已知数，适当选取几个三角形，由正弦定理，用所假设的已知数分别来表示a和人比如，再证人a，只一g（a，卢）即可得证（a，在为假设的已知数）.例1已知凸ABC，AB—AC，D为AB上的一点，延…     

面积比在几何证题中的应用

面积比的类型很多,本文着重谈“有一个角对应相等(或互补)的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比”在几何证题中的广泛应用。这个性质可表示为: 定理:在△ABC与△A_1B_1C_1中,∠B=∠B_1(或互补),则 S_(△ABC)/S(△A_1B_1C_1)=(AB·BC)/(A_1B_1·B_1C_1)。我们用三角形的面积公式S=1/2acsinB容易证明上述定理(略)。不少比例线段的证明,可归结为这个性质的应用。下面举例说明之。 1.证明三角形内角平分线的性质例1 已知△ABC的内角A的平分线交BC于D 求证:     

浅谈辅助线在几何证题中的应用

在几何证题中,当证明过程受阻时,科学合理的添加辅助线能使解题思路顺利畅通,辅助线能巧妙地连接起已知和未知,成为解题的桥梁,从而使几何证题中隐蔽的条件明朗化,为顺利地证明几何题创造条件.本文从四个方面阐述了做辅助线的方法,并举例说明在具体情况下,如何做辅助线.     

面积法在几何证题中的应用

面积法是最古老、最引人入胜的方法之一 ,它具有直观性、通用性和简洁性。其基本方法是 :首先根据几何的量与有关的图形的内在联系 ,用相应的面积公式表示有关的几何量 ,从而把几何量之间的关系转变成为面积之间的代数关系 ,然后经过面积割补原理或代数运算给出命题的证明。例 1　已知 :如图 ,在△ABC中 ,AB =AC ,D是BC上的任意一点 ,DE⊥AB于E ,DF⊥AC于F ,BH⊥AC于H 求证 :DE +DF =BH 分析 :此题用一般的方法去证明 ,第一思维困难 ,第二涉及的知识较多 ,过程复杂 (要作辅助线 ,还要证明全等三角形 )。但是用面积法则比较简单…     

迭乘法在几何证题中的应用

所谓迭乘法,就是通过对题目的分析,借助有关公式和法则推导出若干同类型的等式或不等式后,运用连乘积的运算这一关键步骤,直接得到问题的结论,使问题迎刃而解的解题方法.文献[1]介绍了迭乘法及其在代数三角解题中的应用.近几年,我们在初等数学研究教学中发现,许多几何证题用迭乘法处理效果更佳.这显现出迭乘法不仅在计算题中应用广泛,在逻辑论证题目中也威力不减,因此值得提倡.下面通过若干典型几何问题,说明迭乘法的广泛应用和解题技巧.1　证线段相等例1　已知AB是半圆的直径,C是半圆上一点,CD⊥AB于D.过C,A分别作半圆的切线相交于M,…     

三角形面积公式在几何证题中的应用

三角形的面积公式：△=1/2absinc，把角度、长度和面积三者联系在一起，不少的几何证明题都可以用它来解决，而且推理过程代数化，很少用到辅助线。一、几个基本推论推论1．一个三角形的底边为a，底边上任意一点与顶点连线的长为L，L与a的     

三角形中位线在几何证题中的应用

证明:若圆内接四边形的两条对角线互相垂直,则圆心至一边的距离等于该边对边的一半。这是上海市第七届中学生数学竞赛决赛的第6题。此题属于证明“a=1/2b”类型。证明这类题的一般方法是:证短线段a的2倍与长线段b相等;或证长线段b的一半与短线段a相等。我们先给出本题的证法:     

圆幂定理在几何证题中的应用

下面举例说明圆幂定理在几何证题中的常见应用 .一、证明两条线段相等例 1　如图 1 ,已知ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ分别是△ＡＢＣ三边上的高 ,Ｈ是垂心 ,ＡＤ的延长线交△ＡＢＣ的外接圆于点Ｇ .求证 :ＤＨ =ＤＧ .( 1 997年甘肃省中考题 )分析　由相交弦定理有ＤＧ·ＤＡ =ＢＤ·ＤＣ ,即ＤＧ =ＢＤ·ＤＣＤＡ .从而 ,欲证ＤＨ =ＤＧ ,只须证ＤＨ =ＢＤ·ＤＣＤＡ .为此 ,只须证△ＡＢＤ∽△ＣＨＤ .证明　如图 1 ,由已知有∠ 1 ∠ 3=90°,∠ 2 ∠ 4 =90°.∵　∠ 3=∠ 4 ,∴　∠ 1 =∠ 2 .∵　∠ＡＤＢ =∠ＣＤＨ =90°,∴　△ＡＢＤ∽△ＣＨＤ…     

几何变换策略及其在几何证题中的应用

在平面上,将图形从一处“搬到”另一处的操作称为几何变换,变换的基本形式有平移、对称、旋转,它们的共同特点是变换前后保持距离不变,保持角度不变,保持面积不变,保持点的共线性不变,保持线的共点性不变,总之经过上述三种变换得出与自身全等的图形。     

圆幂定理在几何证题中的应用

圆益定理指的是相交弦定理、切割线定理以及它们的推论．下面举例说明它们在证题中的常见应用．一、证明两条线段相等例1如图1,已知AD、BE、CF分别是凸ABC三边的高,H是垂心,AD的延长线交凸ABC的外接圆于点G．求证：DH＝DG．（1997年,甘肃省）分析由相交弦定理有DG·DA＝BD·＿＿。。＿＿BD·DC＿。、＿＿＿,＿＿＿＿、＿DC．即DC＝y分子上．欲证DH＝DC,只须证——”””——－DA“—”“—““－—一’””””“＿、,BDllL1。＿＿、＿。a＾‘＿＿＾＿＿,＿＿DH＝errs．放考虑证明凸ABD。凸CHD来—““DA“—…     

辅助线在几何证题中的作用

在几何证题中,除了一些最基础的题目以外,绝大多数证题都须添加辅助线才能解决问题,有些题目之所以百思不得其解,通常是不知道应该怎样添加辅助线的缘故,在此,我想谈一些关于添加辅助线的体会.由于辅助线的作用各不相同,决定了作辅助线的指导思想也各相异,一般根据辅助线的作用可分为:“桥梁”作用、“搬家”作用、“创新”作用.一、“桥梁”作用 即创造新的等量关系,使要证的等量与不等量之间,有一个媒介因素.     

配极变换在中学几何证题中的应用

<正> “高等几何”是师专的一门基础课,《高等几何教学大纲》中规定“在本课程的讲授过程中应注意射形几何在初等几何中的应用”。高等几何究竟有什么联系?对初等几何有什么指导作用?本文谈谈高等几何中的“配极变换”在“初等几何”和“解析几何”证题中的应用,以达到用变换的观点来加深“几何学”的本质认识,用变换的方法来开拓解题思路,寻求更广泛的解题途径。     

例谈方程思想在几何证题中的应用

布列方程解证几何题是方程思想、数形结合思想的具体体现.但是,许多同学不善于利用图形中的已知与未知的内在联系建立方程或方     

浅谈辅助线在几何证题中的作用

作者阐述了辅助线在几何证题中的几个作用,并举例说明了在具体条件下,如何作辅助线.