数学问题与解答 2008年第10期问题解答

746．如图1，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内一点，点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，M是边BC的中点，N是AP与BC的交点，若PD^2=PE·PF，求证：∠BPM=∠CPN．     

巧用矩形的对角线相等解题

<正>矩形的对角线相等是矩形的性质之一,巧妙地利用这个性质,可以使某些问题得到简单而快捷的解决.一、求最值例1如图1,在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P为边BC上一个动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,连结EF,求线段EF长度的最小值.BPC F E A图1%分析与解连结AP.∵PE⊥AB,PF⊥AC,     

一题多变 触类旁通

题目已知:如图1,AM是△ABC中BC边上的中线,P是AM上任意一点,过点P作DE∥BC,交AB、AC分别于D、E. 求证:PD=PE. 证明:∵DE∥BC, ∴(PD)/(BM)=(AP)/(AM),(PE)/(MC)=(AP)/(AM),∴ (PD)/(BM)=(PE)/(MC), ∵BM=MC,∴PD=PE. 变式一已知:如图2,AM是△ABC中BC边上的中线,P是AM上     

以点带面 巧思转化——一道数学中考压轴题的分析与思考

<正>一、试题呈现（2022年徐州市数学中考第28题）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=12，点P在边AB上，D,E分别为BC,PC的中点，连结DE．过点E作BC的垂线，与BC,AC分别交于点F,G两点．连结DG，交PC于点H.     

从一道几何证明题谈面积法

如图1，已知在AABC中，AB=AC，P是BC上任一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于只求证：CF=PD＋PE．     

构造全等三角形证线段不等式

几何学习中,经常会遇到线段不等式的证明问题．解答它们,有时可考虑应用构造全等三角形的方法,借助它们的对应边相等作桥梁,把要证的线段不等式中的线段转化到同一个三角形中．这样为运用三角形的三边关系定理提供I有利的条件．例1如图1,ohABc中,＊B＞＊c,Al）为角平分线,P为AI）上任意一点．求证：PB－PC＜AB＊c．证明在AB上截取AE二AC,连结PE,得BE＝AB－AC．AE＝AC,／l＝／2,AP＝AP,凸APE＿凸APC．PE＝PC．PB－PE＜BE,PB－PC＜AB－AC．例2如图2,ohABC中,AI）是BC边上的中线．求证：AB＋AC＞…     

数学问题与解答

601.Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D、E是AB上的点,过C、D、E的圆交AC于P,交BC于Q,求证:AP+BQ=PQ成立的充分必要条件是∠DCE=45°.     

数学奥林匹克问题

本期问题 初29.P在△ABC的边AC或其延长线上,且AP/(AC)=k,D,E在BC上,且BD=DE=EC,AE,AD分别交BP于E,G。     

再究赛题

题目如图1所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E．连结AC与DE交于点P．问EP与PD是否相等？证明你的结论．     

思路决定出路——对一道中考题解法的反思

<正>一、原题重现如图1,已知直线l_1∥l_2,线段AB在直线l_1上,BC垂直于l_1交l_2于点C,且AB=BC,P是线段BC上异于两端点的一点,过点P的直线分别交l_2、l_1于点D、E(点A、E位于点B的两侧),满足BP=BE,连结AP、CE.(1)求证:△ABP≌△CBE.(2)连结AD、BD,BD与AP相交于点F.     

三角形内一点到三边距离的一个关系式

题目如图1,BM、CN是△ABC的角平分线,点P在AABC内,由P向BC、AC、AB作垂线,D、E、F分别为垂足．则点P在线段MN上的充分必要条件是PD=PE＋肌     

关注基本图形 彰显数学素养

<正>一试题呈现（南京中考第24题）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D,E在BC上，BD=CE．过A,D,E三点作☉O，连结AO并延长，交BC于点F.(1)求证AF⊥BC;(2)若AB=10,BC=12,BD=2，求☉O的半径长．     

旧题新证

2008年全国联赛山西赛区预赛题第14题： 如图1,以△ABC的一边BC为直径作圆,分别交AB、AC所在直线于点E、F,过点E、F分别作圆的切线交于一点P,直线AP与BF交于一点D．证明：D、C、E三点共线．     

平面几何解题策略

例1如图1,已知AB是⊙0的直径,BC是⊙0的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE上AB于点E,连结AC,与DE交于点P．问EP与PD是否相等？证明你的结论．     

有关三角形面积的一个不等式

众所周知,若P为△ABC的重心,连结AP、BP、CP并延长分别交对边BC、CA、AB于D、E、F,则 S_(△DEF)=1/4S_(△ABC)。如果P为△ABC内的任意一点,那么S_(△DEF)和1/4S(△ABC)又有何大小关系呢?本文将回答这一问题。定理:若P为△ABC内的任意一点,分别连结AP、BP、CP并延长交对边BC、CA、AB于D、E、F,则     

一道中考试题的解法探讨

题目(湖州卷)如图,已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,P是AD边上的任意一点(不含端点A、D),连结PC,过点P作PE⊥PC交AB于E.     

等腰三角形的一个性质及应用

等腰三角形底边上任意一点到两腰距离的和等于腰上的高.已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,P是BC上任一点,PE⊥AB,PD⊥AC,CF⊥AB,E、D、F分别为垂足. 求证:CF=PE+PD.     

利用几何画板寻找解题思路一例

<正>几何画板的强大作图功能是我们学习数学的好帮手,能帮助我们寻找解题的思路,有利于我们对数学本质的理解.下面举一例来说明.题目如图1,在⊙O的内接ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过点C作AB的垂线)l交⊙O于另一点D,垂足为E.设P是AC上异于A,C的一个动点,射线AP交l于点F,连结     

第42届IMO第五题的推广

第 42届IMO第五题是 :在△ABC中 ,AP平分∠BAC ,交BC于P ,BQ平分∠ABC ,交CA于Q .已知∠BAC =60° ,且AB +BP =AQ +QB .问△ABC各角的度数的可能值是多少 ?先求解 ,再给出更一般的结论 .图 1解 :如图 1,在AB的延长线上取点D ,使得BD =BP ;在AQ的延长线上取点E ,使得QE =QB .连结PD、PE ,则AD =AB +BP =AQ +QB =AE ,且　△ADP∽△AEP .故∠AEP =∠ADP =12 ∠ABC =∠QBC ,即　∠QEP =∠QBP .下面的证明中要用到如下的引理 .引理　等腰△ABC中 ,AB =AC ,平面内一点P满足∠ABP =∠ACP ,则点P在BC的…     

一个等腰三角形命题中渗透的面积法

在学习等腰三角形时,我们曾经遇到过这样一个几何命题:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.如图1,已知在△ABC中,AB=AC,P是BC上任一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F.求证:CF=PD+PE.对于该题,一般学生会想到截长法与补短法.