再谈0.9=1的证明是否超出小学数学知识

贵刊1995年12期刊载的一篇“0.9=1的证明未超出小学数学知识”的文章(以下简称“未文”)中,对本人撰写的“对关于0.9=1的证明的意见”一文中,0.9=1不能用小学数学知识证明的意见,持异议,并且给出了用小学数学知识证明0.9×10=9.9、9.9-0.9=9的方法。细一推敲,不难发现,“未文”给出的证明中,亦犯了“预期理由”(引用未经证明的论据)的错误。现剖析如下:     

有疑难 找方程

学习数学就会有疑难,如果你遇到一时不能解决的疑难问题,怎么办?列方程解答可能就是你最好的选择,下面举例说明其方法。一、列方程解计算问题例1.化无限循环小数0.232323……为分数。分析与解答:0.232323……是一个无限循环小数,给解答造成了难度。但是只要我们将无限化成有限,难度就自然化解了。我们不妨设0.232323……=x,那么x=0.23+0.002323……即x=0.23+0.01×x,这样一个无限数化成了一个“有限的形式”。解这个一元一次方程,0.99x=0.23,所以x=2399,即0.232323……=2993。二、列方程解推理问题例2.B是自然数,A是一个数字,如果B444=0·…     

错在哪里?

一、险西绘德城郊二中刘永粤来稿 越.在等比数列{入}中,已知q、”、S:,求a:与a。。(现行高中代数二册第7G页第5(2)题) 解:由等比数列公式可得。》2”。在上述解答中,当求得a。 ,二3么时应加上限制条件“、》2”,所以数列{a:}中除第一项外的其余各项构成以3为公比的等比数列,此等比数列的首项为a:=25,=2al=2,:’a。=2.3”一2(”)2)综上可得原数列的通项公式为口1=红<址~夕2_。S。(1一q)q”一‘1一qn1一q解答错了,错在哪里? 错在解答过程中没有考虑q二1的情况。试看:若g=1,不妨取n“5,S二二10,这时a:=a。二2,而错解得不出此结论。正确的解法…     

谈2012年全国卷(理二)第22题的解答

题目(2012年全国卷(二)第22题):函数f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1是过两点P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.(Ⅰ)证明:2≤xn相似文献   

关于等比数列定义的建议

统编教材中等比数列的定义是: 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一常数,这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示。该定义有一定的局限性。例如数列:1,x,x~2,……x~n,……每一项与它前一项的比都是x,不是常数。此数列究竟是否等比数列?用书中的定义就无法判断。所以建议等比数列的定义改为用数学语言描述:     

应尽量回避此类题目

在教学“分数应用题”这一部分知识时,同年级的数学教师对两道文字题的解法产生了争议。这两道题是这样的:1.一个数的23比59多31,求这个数。有的教师认为此题中的“13”是一个具体的“数”,如果用方程解答时应当这样列式解答:设这个数是x,列方程为23x-95=31,然后解这个方程得出     

谈如何对课本习题的学习

目前,资料满天飞,不少学生以这些资料为蓝本,钻研各种难题,忽视了对课本的学习,以至学习不得法,成绩不能提高.其实课本是知识资源的依据,课本中的例题、习题是务必要掌握的,它是打好双基的基础.通过对课本习题的解答,能使学生掌握基础知识,掌握好解题方法,从而提高解题能力,在考试中取得好成绩.【例1】求证:sin4x cos4x=1-2sin2xcos2x.一、解法分析:分析1:证明恒等式一般是从较繁的一边向简单一边化简,从高次向低次化简,通过配方法再利用“1”的变形,就能证明.证法1:左边=(sin2x cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x=右边.所以原式成立.分析2…     

0．9和1比大小

由于0.9·=0.999…,当问0.9·与1哪个大时?很多同学便会马上回答:“当然0.9·<1,因为1比0.9·大了0.00…01那么一点点.”事实是0.9·=1,你相信吗?证明如下:一、用等式性质说明由于0.9·=0.3·×3,而0.3·=31,所以0.9·=0.3·×3=31×3=1.也就是说0.9·与1一样大.二、用方程思想     

小学生如何运用不定方程解应用题

我们把含有两个以上未知数的方程叫做不定方程,它有二元不定方程、三元不定方程等等。在小学数学中,往往有许多答案不唯一的应用题,用计算方法解答比较繁琐,如果用不定方程来解,就显得容易多了,下面通过例题来说明如何运用不定方程解题。例1:小东去商店买铅笔和圆珠笔,铅笔每支0.3元,圆珠笔每支0.9元,共用去5.1元。小东买了几支铅笔和几支圆珠笔?解:设铅笔买了x支,圆珠笔买了y支,列方程得:0.3x+0.9y=5.1等号两边同乘以10得:3x+9y=51将不定方程变形:3x=51-9y因为x和y都是笔的支数,只能是自然数,并且y最大应是5,最小是1。当y=1时,x=14;当y=2时…     

培养学生应用数学知识解决物理问题的能力

数学方法是研究物理问题的一种基本方法。杰出的物理学家劳厄说 :“数学是物理学家的思想工具。”因此 ,在物理教学中必须注意培养学生应用数学知识解决物理问题的能力。下面谈谈我在教学过程中应用数学知识解决物理问题的一些实例。一、数列知识在物理学中的应用有关数列知识 :等差数列 :ａｎ=ａ1+(ｎ - 1)ｄｓｎ=ｎ(ａ1+ａｎ) / 2等比数列 :ａｎ=ａ1ｑｎ -1Ｓｎ=ａ1[1- (ｑ) ｎ]/ (1- ｑ)无穷递缩等比数列 :ａｎ=ａ1ｑｎ -1;|ｑ|<1;Ｓｎ=ａ1/ (1-ｑ)例 1:有一组电阻 ,阻值依次为 1Ω、3Ω、5Ω……(2ｎ - 1)Ω ,串在一起接入电路 ,电源电…     

《0.9=1对吗?》引出的问题

有时,判断处理一个问题的方法对不对,不一定是很容易的。如证明0.9=1,用下面的证法对吗? 0.9×10=9.999……① -)0.9×1=0.999……②①-②得0.(?)×9=9,所以0.(?)=9/9=1。在这里,0.(?)实质上表示无限个小数的和。由②得出①,必须对这里的无限个数的和运用乘法分配律。这样做是不是允许呢?是不是对任何“无限个数的和”都能运用我们熟悉的运算定律? 下面的例子似乎提示我们:可以作出肯定的回     

逆用等比数列求和公式解题

本文以实例说明,逆用等比数列求和公式及逆用无穷递缩等比数列各项和公式在解题中的几个应用,供读者参考。 1 用于证明不等式 例1 设任意实数x、y满足|x|<1,|y|<1。求证: 1(1-x~2) 1/(1-y~2)≥2/(1-xy)。     

一点异议与一点建议

一对等比数列前n项和的公式另一种证明的异议贵刊1985年第3期《等比数列求和公式的另一种证明》一文中,给出了等比数列前n项和的公式(以下称公式)的又一证法。转述如下: “对于等比数列由它的定义有 a_2/a_1=a_3/a_2=…=a_n/a_(n-1)=q (a_2+a_3+…+a_n)/(a_1+a_2+…+a_(n-1))=q (S_-a_1)/(S_n-a_n)=q (S_n-a_1)/(S_n-a_1q~(n-1))=q 整理得 S=a_1(1-q~n)/(1-q) (q≠1)”     

有关“循环小数化分数”问题的几种解法

当我讲完小数化分数后,一个学生提问:循环小数又如何化分数?现将解答这一问题的几种方法笔述如下: 化循环小数为分数,可运用无穷递缩等比数列的求和公式。设有一无穷递缩等比数列。a_1,a_1q,a_1q~1,a_1q~2,……(公比|q|<1) 各项和用S表示,即:     

巧用求和式中的“0”

<正> 数学竞赛中,常有带省略号“……”的求和问题.这类问题项数多,数据大,计算时需要一定的技巧.本文介绍如何巧用题中的“0”来解答这类试题. 一、活用已知条件中“0”例1 已知x3+x2+x+1=0,那么1+x+x2+x3+…+x1995= .(第八届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)     

数列中的高斯函数

定义1设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.显然,y=[x]的定义域是R,值域是Z.其对应法则不能用解析式表示,如图1所示,其图象呈阶梯状,要掌握高斯函数这一概念要抓住两个关键:(1)对任何x,[x]是整数;(2)[x]≤x<[x]+1;定义2{x}=x-[x]称为的“小数部分”,显然,函数y={x}的定义域为实数集,值域0≤{x}<1,其图象如图2所示.图1y=[x]的图象图2y={x}的图象数列———高考热点之一,高斯函数———竞赛考点之一.于是,近年数列与高斯函数结合的试题在高考、竞赛中频频出现,高斯函数关联着连续和离散两个方面,有其独特的性质和广泛的应用,因而两者结合的试题屡次出现,值得关注.1等差等比相关例1(2009年湖北文科9)设x∈R,记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x],则三个数5+12,52+1,52+1A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列解可分别求得52+1=52-1,5+12=1,则由等比数列性质易得三者构成等比数列.答案:B点评本题主要考查等比的定...     

巧用等比数列求和公式证明不等式

等比数列求和公式为Sn=a1(11--qq n)(q≠1),有时用此公式证明不等式可简化证明过程.将数列知识与不等式知识相融合,既可培养学生思维的灵活性和创造性,又可简化思路、优化解题过程.一、直接公式法例1求证:1+21!+31!+41!+…+n1!<2(n≥2,n缀N).证明1+12!+31!+41!+…+n1!<1+12+212+123+…+21n-1=1×(11--121n)2=2-12n-1<2(n≥2,n缀N).故原不等式成立.小结本题直接运用等比数列求和公式,起到了立竿见影的效果.二、求和公式的逆用例2已知等差数列｛an｝和等比数列｛bn｝中a1=b1=a,a2=b2=b(b>a>0).求证:当n>2且n缀N时,bn>an.证明an=a+(n-1)(b-a)…     

平方差公式的应用<一>

师:今天看一个与平方差有关的问题:证明2003可以写成两个整数x、y的平方差,即有整数x,y,使得x2-y2=2003.(1)生:这可以用分解的方法.由上式得(x+y)(x-y)=2003.所以x+y=2003,x-y=1.x=2003+12=1002,y=2003-12=1001.师:你得到一组使(1)成立的解.还有一组解是x=-1002,y=-1001.不过,这道题只要求找出一组使(1)成立的整数解.所以你的解答是很好的.进一步,可以考虑更一般的问题:设2n+1是奇数,证明2n+1可以写成平方差.生:我还是用分解的方法.师:分解的方法可行.不过,也可以直接猜一下:()2-()2=2n+1中,()里可以填什么?生:可以填n+1与n.因为(n+1)2-n2=n…     

圆锥曲线中的“蝴蝶定理“

在平面几何中,设O是圆中定弦AB的中点,过O作两条任意弦CD和GH,若CH和GD分别交AB于P和Q,则OP=OQ(如图)。这就是著名的“蝴蝶定理”。笔者认为上述结论,可以推广到圆锥曲线中,为此,先证明以下引理:引理:以圆锥曲线的一条对称轴为y轴,轴上的点O为原点建立直角坐标系,若过点O的直线l1:y=k1x交圆锥曲线于两点C(x1,y1)、D(x2,y2),直线l2:y=k2x交圆锥曲线于两点G(x3,y3)、H(x4,y4),则有k1x1x2(x3+x4)=k2x3x4(x1+x2)………………………(!)证明:由圆锥曲线的对称轴为y轴,可设圆锥曲线的一般方程为ax2+cy2+dy+f=05(a≠0)……………(1)将直…     

判定等比数列的方法

掌握判定等比数列的方法 ,目的是深刻理解等比数列的基本概念 ,熟练应用有关知识 ,为解等比数列综合题奠定良好的基础 .具体判定方法如下 :一、定义法 (又叫递推公式法 )如果一个数列 {an}满足an+ 1 an=q(常数 ) ,则这个数列叫做等比数列 .由此定义可判定等比数列 .例 1　已知数列 {an}中a1 =1,Sn + 1 =4an+ 2 (n∈N ) ,bn=an+ 1 -2an,求证 :数列{bn}是等比数列 .证明　∵a1 =1,Sn+ 1 =4an+ 2 ,∴　a2 =S2 -S1 =S2 -a1=(4a1 + 2 ) -a1 =5 .又∵bn =an+ 1 -2an,∴　b1 =a2 -2a1 =5 -2 =3 .∵an+ 1 =Sn+ 1 -Sn=(4an+ 2 ) -(4an- 1 + 2 )=4…