问题1．4参考答案

【问题1.4】试证明:如果a,b是正整数,那么数列a,2a,3a,…,ba中能被b整除的项的个数等于a和b的最大公约数.证明:设d是数a和b的最大公约数,则有a=dm,b=dn,其中m,n是两个互质的数(否则d不是a,b的最大公约数).这时,a,2a,3a,…,ba中所有的数用b去除,商可写为:mn,2nm,3nm,…,(dnn)m.因为m,n互质,所以,当这些商为整数时,只有其分子中m的系数:1,2,3,…,dn能被n除尽.(由dn=b知)这样的系数的个数等于d.问题1.4参考答案     

例谈调和平均数的简单应用

<正>设a1,a2,…,an是n个正数,则称n/(1/a1+1/a2+...+1/an)为这n个数的调和平均数.与算术平均数与几何平均数相比较,同学们对调和平均数的相关问题见到的可能要少一些.本文将通过几个具体问题,谈一谈调和平均数的简单应用.     

问题1．9参考答案

问题设n是满足下列条件的最小正整数,它们是75的倍数且恰好有75个正数因数(包括1和本身),求7n5.解由已知条件知n=75k=3×52k,欲使n尽可能小,可设n=2a×3b×5c(c≥2,b≥1),且有(a+1)(b+1)(c+1)=75,所以a+1,b+1,c+1都是奇数,因此a,b,c都是偶数,所以c=2.由(a+1)(b+1)(c+1)=75,得(a+1)(b+1)=25.①a+1=5,b+1=5:a=4,b=4.故n=24×34×52;②a+1=1,b+1=25:a=0,b=24.故n=20×324×52.由①、②知最小的正整数n是24×34×52.故7n5=432.问题1.9参考答案…     

关于方程α2(k+2,s(n))=α2(k+1,s(n))+α2(k,s(n))的正整数解

对任意正整数a,设S(a)为a的Smarandache函数,对任意正整数r和b,设a(r,b)是b的前r位数字所组成的数。2001年,Bercze提出了一个问题:如何确定方程a2(k 2,s(n))=a2(k 1,s(n)) a2(k,s(n))n,k∈N的所有解。更进一步,Bercze又提出另一个问题:设β(r,b)是b的后r位数字所组成的数,如何确定2β(k 2,s(n))=β2(k 1,s(n)) β2(k,s(n))的所有正整数解(n,k)。运用丢番图方程的相关知识,完整地解决了Bercze所提出的两个问题,即证明了方程(1)没有正整数解(n,k),同时确定了方程(2)的所有正整数解(n,k)。     

珠联璧合

1.问题:数列{a_n}中,已知a1=0a2=1,a_(n+1)=n(a_n+a_(n-1),求通项a_n 2.问题背景:n个元素m1,m2,…,m_n重新排列不排在原来位置的排列种数记为a_n,求a_n.1 2 3 4 5… n十1个元素重新排列不排在原来位置的排法为a_(n+1). a1不在1号位,则a1有n种排法. a2排在1号位,其它n-1个元素不排在原来位置的排法有a_(n-1)种. a2不排在1号位,则除a2的其它n个元素不排在原来位置的排法有a_n种. 所以a_(n+1)=n(a_n+a_(n-1),显然a1=0,a2=1.     

科学记数法·近似数(初一)

科学记数法与近似数是初中数学的重要内容,此类问题贴近生产、生活实际,有利于培养数学的应用意识和用数学知识解决实际问题的能力.1.把一个数写成a×10n的形式(1≤n<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法.记数方法:①确定a,a是只有一位整数数位的数;②确定n,当原数不小于1时,n等于原数的整数位数减1;当原数小于1时,n是负整数,它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前的零的个数(含整数位上的零).     

运用数形结合应注意等价性

<正>数形结合方法沟通了"数"与"形"之间的联系,"数"因"形"而直观,"形"因"数"而深刻.数形结合已成为解题的重要方法,但在运用数形结合方法时,有时容易犯经验主义错误,以偏概全.一、错误迁移例1通项公式为an=an2+n的数列{an},若满足a1an+1对n≥8恒成立,求实数a的取值范围.解当n≥8时,an>an+1恒成立,即a11<-,只要1a<--.2n+1(2n+1)=min17     

能分拆成连续整数和的整数的特性

先从一个实例谈起:一个大剧院共30排,第一排有29个座位,从第二排起,每排比前一排多1个座位,那么该剧院内共有多少个座位?这个问题,就是化归为30个连续整数29,30,…,58的和1 305.现在把问题倒过来考虑,已知一个整数(比如1 305)能分拆成若干个连续整数的和,共有几种不同拆法?为此,先介绍三个性质.性质1 2n-1个连续整数的和必是2n-1的倍数,并且这个倍数正是它们的平均数,也是其中最小的数与最大的数的平均数,也是这2n-1个数从小到大排列中的第n个数(n∈N*).证明设2n-1个连续整数是a 1,a 2,…,a n,a n 1,…,a 2n-1.(1)于是它们的和是(a 1) (a 2…     

例谈周期数列

若数列an 满足递推方程an L =an(n =1,2 ,3…… )L为某一自然数 ,则称数列an 是以L为周期的周期数列 .下面我们看几个周期数列的例子 .例 1　已知an =sin( n4 π) (n∈N )求a1 a2 … a2 0 0 4的值 .简析　因为sin( n4 π)为周期函数 ,所以an 为周期数列最小正周期为 8,且a1 a2 … a8=0 ,所以a1 a2 … a2 0 0 4=a2 0 0 1 a2 0 0 2 a2 0 0 3 a2 0 0 4=a1 a2 a3 a4=1 2 .例 2　记f(n)为自然数n的个位数字 ,an =f(n2 ) -f(n) .求 :a1 a2 a3 …… a1 997.简析　易知f(n 10 ) =f(n) ,f[(n 10 ) 2 ] =f(n2 ) ,所以an 1 0 =…     

初探同码数列

若a表示1到9的九个数码,a_n表示第n位数的数码,那末数N=10~(n-1)a_n+10~(n-2)a_(n-1)+…+10a_2+a_1,记作N=a_na_(n-1)…a_2a_1.由相同的数码组成的数,叫做相同数码数,记作N=aa…aa。由相同数码数组成的数列,叫做相同数码数列,简称同码数列,设10~n-1=U_n,10~(2n)-1=V_n,本文将采用这两个数学符号,以使问题表达形式简洁。一、重9数列     

探索反比例函数图象上到原点的距离为定值的点的个数

问题1已知函数y=2x.(1)在已知函数的图象上,是否存在点P,使点P到原点的距离为5,若有,这样的点有几个,并求出点P坐标.(2)在已知函数的图象上,是否存在点P,使点P到原点的距离为3,若有,这样的点有几个,并求出点P坐标.解:(1)设点P坐标为(m,n),根据勾股定理有m2+n2=5.假设P在双曲线y=2x上,所以m=2n,所以m2+n2=5n=2m①②②代入①得m2+4m2=5.令m2=a,则a+4a=5,所以a2-5a+4=0,所以(a-4)(a-1)=0,所以a1=4,a2=1,所以m2=4,m2=1,所以m1,2=±2,m3,4=±1.当m=2时,n=1;当m=-2时,n=-1;当m=1时,n=2;当m=-1时,n=-2.所以符合条件P的点有(2,1),(-2,-1),(1,2),…     

一道竞赛题的启示

下面一个问题及其解答出现在一九二八年EOTVOS数学竞赛上。设a是任何一个正实数,n为任意正整数。证明下列数a,2a,3a,…,(n-1)a中,有一个数离某一个整数至多1/n。证明:设n是给定的正整数,并在数轴上标出a的倍数:a,2a,3a,…,(n-1)a。图1 又假定在同一数轴或者另一数轴上,把每两个相邻正整数之间的区间分成n等分。 (见图1)。     

谈实数与代数式的复习

(一)复习要点 1.实数的概念 (1)__和__统称有理数. (2)无限__小数叫做无理数. (3)有理数和无理数统称__. (4)规定了__、__和__的直线叫做数轴__数与数轴上的点一一对应. (5)只有符号不同的两个实数,叫做__.零的相反数是__;实数a与b互为相反数 a+b=__ (6)1除以一个不为零的数的商叫做这个     

构造素数阶幻立方

在构造素数阶幻立方前约定:1.除特别指明外,n≥7,且为素数.2.将1-n各数按序顺时针万向排在n等分的圆周上(其中1与n首尾相连),称为n数圆排列.3.从n数圆排列中,按顺时针方向,择其与首数1间隔差距为d、2d、……(n-1)d的数,依次重新排列,称为n个数的等间隔排列.显然d∈N,且2≤d≤(n-1)/2.4.一个n阶正方体是由边长相同的n~3个小正方体构成;同一平面上的n~2个小正方体     

平均值法在解题中的应用

<正> a1+a2+…+an/n称为n个数a1,a2,…,an的算术平均值.对于某些数学问题,若能巧妙借助其平均值法来解,可以收到化难为易、化繁为简的效果.试看以下四例:     

无限个大于零小于1的数的乘积等于零吗

<正>无限个大于零小于1的数的乘积等于零吗?关于这个问题,我与很多同行老师进行了探讨,归纳为两种观点.一种观点是:"无限个大于零小于1的数的乘积一定不等于零,原因很简单,因为如果积等于零,则至少有一个因数等于零."另一种观点是:"无限个大于零小于1的数的乘积一定等于零,原因也很简单,因为一个数乘一个大于零小于1的数的积会变小,因此无限个大于零小于1的数的乘积会越乘越     

剩余问题的一种解法

问题已知一数N除以a余c，除以b余d，这个数是几？ 设N除以a、b的商分别为m、k，则 N=ma＋c=kb＋d． 不妨设a〉b，则k≥m，故可设k=m＋n（n≥0）．于是N-c=ma=（m＋n）b＋（d-c）。     

一道2001年春季高考题的歧义

在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,…,a_n,使这n十2个数成等比数列:又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,…,b_n,使这n+2个数成等差数列.记A_n=a1a2a3…a_n,B_n=b1+b2+b3+…+b_n. (I)求数列{A_n}和{B_n}的通项; (Ⅱ)当n≥7时,比较A_n与B_n的大小,并证明你的结论. 这是2001年春季高考题20题,其中第一问中求{B_n}的通项,这是一个较容易解决的问题: 因为1,b1,b2,b3,…,b_n,2成等差数列, 所以b1+b_n=1+2=3, 所以B_n=b1+b_n/2·n=3/2n.     

第35届IMO中国国家队选拔赛试题

第一天 (1994—03—25) 1.求所有的由四个自然数a,b,c,d组成的数组,使数组中任意三个数的乘积除以剩下的一个数的余数都是1。 (中国科技大学李尚志 供题) 2.在n×n方格纸的每一方格中填入一个数,使得每一行和每一列都成等差数列,这样填好数的方格纸称为一个等差密码表,如     

对一类涂色问题的解法探讨

在解有关排列、组合等有关问题时,常遇到如下问题:图1如图1,一个区域被分成n个小区域,这n个小区域只有一个公共点,若每个小区域用m种不同颜色中的任一种涂染,且相邻小区域均不同色,共有多少种不同的涂法?要求涂法的种数,一般采用分类讨论的办法,但如何分类又是一个难点.为此,我们探讨一种避免分类讨论的思路.首先作出一个区域分成3,4,…,n个小区域的图形,各小区域均只有一个公共点,如图2所示.图2为叙述方便,设分成3个小区域时涂法有a3种,分成4个小区域时涂法有a4种,……,分成n个小区域时涂法有an种.当分成3个小区域时,容易求得:a3=m(m-1)(m-…