反例的思维过程及构造策略

著名科学、哲学家波普(Kal Raimund Popper)曾说,知识成长的逻辑是“在猜想和反驳中成长着的。”对一个错误认识的反驳不仅是可能的,而且有一个十分有效的标准和方法——反例,反例方法是证伪、纠错和发现正确认识的极富说服力的思想方法,是一项积极的创造性思维活动。在数学推理中,构造反例与提出证明具有同等重要的作用,正如美国数学家盖尔鲍姆(B.R.Gelbaum)所说:“冒着过于简单化的风险,我们可以说(撇开定义、陈述及艰苦的工作不谈)数学是由两大类——证明和反例组成,而数学的发现也是朝着     

数学教学要注重培养学生的猜想能力

数学猜想是根据已知数学知识、经验对研究对象作出符合事实的推测性想象的思维过程。数学教学的一个方面是对学生进行思维训练,是一个创造性的思维活动。所以培养学生的猜想能力对数学教学来说十分重要。实践证明：猜想使人们获得许多真理,它推动数学科学的发展。因此在平时的数学教学中,教师应有意识地多让学生大胆猜想、探索,提高学生的猜想能力。     

数学猜想能力培养的点滴体会

数学猜想是指根据已知数学知识、经验对研究对象作出符合事实的推测性想象的思维过程．数学教学的一个方面是对学生进行思维训练,而猜想是一种创造性的思维活动,所以培养学生的猜想能力对数学教学来说十分重要．实践证明：猜想使人们获得了许多真理,它推动着数学科学的发展．因此,在平时的教学中教师应有意识地多让学生大胆猜想、探索,提高学生的猜想能力．     

反例的来源与潜在功能

对于数学学科,证明一个猜想是真实的,必须经严格的推理论证;证明一个猜想为假的,只需找到猜想命题的否定例证(反例)。在数学教学中,出现了这样一种现象,教师为了说明一个命题为假命题,举出一个反列,说明反例虽然满足命题的条件,却无命题的结论,但反例怎样得到的呢?教师很少分析甚至不作分析。学生感到老师确实高明,从肚子里能掏出一个一个非常具有说服力的反例,就象舞台上的魔术师,能从帽子里变出一个又一个白鸽,虽然非常精彩,却是观众学不会的。 与获得证明的方法一样,反例的获得也需要经过一系列深层次的思维活动,其方法包括:观察与实验、归纳、分析与综合、概括与抽象,反例决不是凭空得到的。 本文从定义、特殊化与运动变化等方面来谈获得反例的思维过程,并说明反例是进一步提出问题的一个源泉。 1.从定义入手获得反例 概念是数学学科的细胞,是反映事物本质属性的思维形式。在逻辑学中,定义是明确概念内涵的逻辑方法。在数学问题中,若首先给出一个概念的定义,然后判断一个猜想是否正确,则反例的获得常常需要从定义入手。例如 例1[2002年上海市高考(理工农医)数学     

运用反例是数学教学的常用方法

G·波利亚说:"类比和反例是获得发明的伟大源泉."通过类比使我们获得一系列的猜想,但当猜想实为谬误时,反例是最简捷的一种说明方法.反例和证明同等重要,一个数学真命题往往需要严密的证明,而假命题则靠反例加以鉴别,因此,在数学教学中,反例也有着极为重要的意义.本文谈谈反例在数学教学中发挥的作用.     

高中数学教学如何培养学生的猜想能力

数学教学的实质是进行思维训练的教学,而“猜想”是一种创造性的思维形式.所以培养学生的猜想能力对数学教学来说十分重要.实践证明“猜想”使人们获得了许多真理.它推动着数学科学的发展.培养学生的猜想能力绝不是一朝一夕所能达到的.它需要我们长期坚持不懈,寓“猜想”能力的培养于平时的教学中.本文结合笔者教学实际从猜想能力的重要性、猜想能力的培养途径谈谈在高中数学教学中如何培养学生的猜想能力.     

数学教学中对学生“猜想”能力培养的探索

数学教学的实质是进行思维训练的教学。而“猜想”是一种创造性的思维形式,所以培养学生的猜想能力对数学教学来说十分重要。著名的数学家波利亚曾经说:“要成为一个好的数学家,……你必须首先是一个好的猜想家。”实践证明,“猜想”使人们获得了许多真理,它推动着数学科学的发展。培养学生“猜想”能力绝不是一朝一夕所能办得到的,它需要我们长期坚持不懈,寓     

前沿观点

正小学数学教学忽视"证伪"应予改变浙江省嘉兴市南湖区教育研究培训中心科研信息处主任、中学高级教师费岭峰在《课程·教材·教法》2013年第12期上撰文认为,小学数学教学需通过改变教学理念和教学行为来改变忽视"证伪"的教学现状。科学需要"不断提出假说,证伪,再提出假说,再证伪",小学数学教学同样需要在"证伪"的基础上"去伪",从而形成正确的数学思想与方法。针对现今课堂无"伪"可证、有"伪"不证、证"伪"不实的现象,可从以下三方面尝试改变:(1)改变教师控制课堂的局面,关注学生主动学习的发生,不必担心"伪结论"生成。(2)重视课堂教学"过程目     

浅议初中数学的猜想教学

数学猜想实际是一种数学想象,是人的思维在探索数学规律和本质时的一种策略,是建立在事实和已有经验基础上的一种假定,是一种合理推想。数学新课程标准指出:"能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想,并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。"正因为历史上有诸如歌德巴赫猜想、费儿马猜想的提出,数学科学才发展为今天的现代数学。所以在数学教学中,教师应鼓励学生大胆提出猜想,发表独特见解,创新探索地学习数学。     

初中数学反例的内涵、功用与构造——以“图形与几何”领域为例

反例依托于正例而存在,它既是数学学习的工具、手段,也是培养思维的途径,还是推动数学向前发展的动力.教师需要基于学术研究确定反例的内涵,明确其具有强化概念理解、发展严谨数学思维,检验真假命题、准确掌握数学事实,发现错误问题、有力强调隐含条件,克服思维定式、培养良好思维品质等功用.在具体教学中,教师要根据教学内容合理、灵活地构造并使用反例,引导学生从不同角度、不同思维去审视数学中的概念、定理与命题等,从而更好地感受与理解数学.     

初中数学教学如何培养学生的猜想能力

<正>著名数学家波利亚曾说过:"要成为一个好的数学家,你必须首先是一个好的猜想家."由此可见,科学、合理的猜想在数学学习中的地位举足轻重.数学就是在不断的证明或否定猜想中得以发展的.数学发展史中正是因为有了欧拉猜想、费尔马猜想、哥德巴赫猜想等著名的数学猜想,才使得后来的学者努力探索,有力地推动了数学科学的发展.那么,在初中数学教学中如何培养学生的猜想能力呢?一、营造和谐融洽的课堂氛围,让学生敢于猜想     

从猜想到思维品质的培养

牛顿说过：没有大胆的猜想,就没有伟大的发现．《数学课程标准》指出：学生能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想,并进一步寻求证明的方法或举出反例,发展推理能力,培养创造性思维．可见,教师在数学教学中,有意识地运用心理学、教育学知识,结合教材内容,向学生提供从事数学活动的机会,借助大胆猜想,加强对学生的思维品质的培养是非常必要的．     

数学反例的教学价值

数学中的反例通常是指符合某个命题的条件,但又与该命题结论相矛盾的例子,也即指出某命题不成立的例子. 在数学的发展史中,反例和论证占有同等重要的地位,它促进了数学的发展. 常常有这样的情形,一个重要的猜想,数学家很长时间没能证明它,结果有人举出一个反例否定了这个猜想,使问题得到解决. 因此,在中学数学的教学中,反例有着极为重要的意义,它在认识和探究数学真理,强化数学基础知识的理解和掌握,培养学生思维能力和探究能力等方面有着不可低估的作用.     

“猜想”在初中数学教学中的运用

<正>猜想是一种创造性的思维活动,它既是科学发现的先导,又是实现问题解决的一种重要手段。学生在猜想过程中,新旧知识的碰撞会激发智慧的火花,思维会有很大的跳跃性,提高数感,发展推理能力,锻炼数学思维。纵观数学发展历史,很多著名的数学结论也都是从猜想开始的。所以在数学教学中,我们应该鼓励学生大胆提出猜想,发表独特见解,创新探索地学习数学。一、由直观形象(或演示)进行猜想在数学教学中,通过直观图形让学生大     

运用反例教学培养学生创新思维

在数学教学中,反例和证明同样重要,注重反例教学培养学生思维的缜密性、灵活性及注重反例构建培养学生思维的发散性、深刻性和创新性在数学教学中的重要性已越来越被人们重视和认可。反例构建还是诱发学生创造力的很好载体。在数学教学中,反例和证明同样重要。一个数学真命题往往需要严密的证明,而谬误可靠反例加以否定。高中阶段随着研究性学习的普遍开展,高考试题中开放性试题的比例逐渐增大,反例在高中数学中的重要性日益凸现,因此在中学数学教学中有意识地使用反例,并加强对反例构建方法的指导,对学生创新思维的发展是大有裨益的。     

论反例在高等数学教学中的作用

反例和证明推动了数学学科的发展，在数学教学中具有同等重要的作用，通过反例教学，可加深学生对基本概念的理解和对基础知识的掌握，发现并纠正学习中的错误，培养学生的创新能力和良好的思维品质。在数学教学中，恰当地应用反例进行教学，引导学生从反面去思考问题，将有助于数学教学质量的提高和学生数学素质的培养。     

让学生像数学家一样思考 ——以"有趣的四色猜想"数学拓展课为例

纵观数学史,许多著名的数学结论都是从猜想开始.虽然数学猜想的结论不一定正确,但它作为一种创造性的思维活动,是科学发现的一种重要方法.可以说,数学猜想不仅是推动数学理论发展的强大动力,也是推动科学发展的强大动力之一.猜想作为一种创造性的思维活动,该怎么教呢?如果能引导学生像数学家一样去思考,经历大胆猜想、小心求证的过程,...     

基于数学核心素养的概念教学——以“抛物线及其标准方程”教学为例

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称《标准(2017年版)》)指出"基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质,创设合适的教学情境、提出合适的数学问题,引发学生思考与交流,形成和发展数学学科核心素养."数学是思维的科学,概念是思维的细胞,概念教学是培养学生数学核心素养的重要载体.下面,将北师大版"抛物线及其标准方程"教学设计呈现如下,恳请同行斧正.     

浅谈数学猜想的应用及教学价值

猜想是一种创造性的思维活动,它既是科学发现的先导,也是实现问题解决的一种重要手段。本文就在数学教学中应用猜想教学,对数学猜想在解题中的应用和数学猜想的教学价值做了简单的概述。从而在教学中提高学生对数学的兴趣,达到由应试教育向素质教育的转变。     

例谈数学实验在课堂教学中的优势

数学实验能够使学生顺利进行数学化并实现再创造,数学实验可以借助现代技术和手段设计出"再创造"的教学环境,使学生学习数学的过程似乎置身于一个"数学实验室"中。学生可以观察并尝试错误,可以进行发现并做出猜想;也可以做实验,并进行测量、分类;或是设计算法,通过运算检验;或是提出假说,借助逻辑推理加以证明,或提出反例予以否定,等等。