数系对数学命题和谐性的影响

先看一道思考题:已知二+三 刁,+三 少名 一一一一 y忿 ++l一xl一y=z+送, 工之 X +1一z且x、y、z两两不等,求证: x,,.名.=1。 证由已知条件得①②③X一y=y一Z=才—X二二二y一忿 义夕Z—.艺 夕名X一y 忿龙①x②x⑧得:(x一y)(y一z)(z一x)=①② 厂y一z)(z一x)(x一7) 扩y.zl 丫x、扒z两两不等. .’.(x一y)(y一z)(z一x)护0, x勺、,=1.证毕. 另一方面,若将题设中三式相加有: 1二1二1二2.,x ,丁州卜y十月了个z十二丁宁X=x十二二二十夕宁二二 X一yZ之)一yZ+之+之, Z之一二.砂+少+砂一卿一x之一yz_八枯理得二-‘一已‘一二‘二一一-二‘‘-‘二‘…     

运用构造法求最值

一、构造一元二次方程法例1 已知x为实数,求函数y=3x2+x+2/x2+2x+1的最小值. 解:将原函数解析式变为关于x的二次方程: (y一3)x2+(2y-1)x+(y-2)=0. 因为x是实数,所以△≥0. 即(2y-1)2-4(y-3)(y-2)≥0. 解得y≥23/16.     

巧用字母妙解题

.化简求值所以a十1 27a 1 > 27a l 272a l例1化简解比压在 万原式-丫丁豆十了冗百 护而十护丽一x酒一y石一:，则x y即272000 1_27200， 1云丽砚丙户乏而不丙·x Zy xyZ xz yz _工 y一(x y)(xy z) 1 xy z l杯 拓一杯一杯.例2已知(x 刃，(y z)，(z十x)一4:6:8，求x:y:z的值.解设x y一4t，y z~6t，z 二一8t，以上三式相加，得x y z一gt. 3.分解因式例5分解因式: x‘十2006x2十2005x 2006.解设2006=a，则2005一a一1，原式一了 二“ (a一1)x a ~(x‘一x) a(x“ x l)一(xZ x 1)(x“一x a) =(xZ十x l)(xZ一x 2006). 4.解方程(组)例6解方程:所以即…     

巧妙的解(初二)

1.巧用平方比大小 例1已知a一丫1003州农丽,方一丫1001+丫更再,。一2丫i玩万,试确定它们的大小关系. 解设二一1000,则 a一了x+3十丫二一3, b一丫二+1+丫二一1,。一2丫蕊;.所以了一(二+3)+(二一3)+ 2丫(二+3)(二一3), 厅一(刃+l)+(j一1)+ 2丫(二+l)(二一l), eZ一4了,即a:=2二+2丫二2一9, 厅一2二+2丫二“一1,。2一2二+2了(刃,显然厂一9<了一1<了.所以矿<厅<。2,因为u>O,b>0,。>O,所以ao,y>。,且满足二一3护石; 、二+抓石十Zy二、,、一10v一O,求二一一共兰全一的值. 二一2了习+y 解由已知得 (丫妥+2石)(丫妥…     

一道竞赛题的巧思妙解

题目已知二+Zy一z一8①,2二一y+z一18②,则8二+y+z一.(2001年重庆市初二初赛题) 许多同学将①又2+②X3,得到sx+y十z一8 xZ十18 x3一70.这种解法虽属自然,毕竟有拼凑之嫌.这里介绍几种典型的解法,供参考.解法1视二为常数,解y、z的方程组Zy一z一8一j,一y十z一18一Zx,得y一26一3x,z一44一SJ,代入得8,+y+z~8二+26一3二+44一5二一70.解法2把两方程左边都加上(8二十y+z)一(8二+y+z),适当合并后整理得3(3二十y)一(8x十y十z)一8①一2(3二+y)+(8二+y+z)一18②整体消元:募①XZ+②x3,得8二+y+z一70. 这种解法很注重从整体的观点看问题. 解法3设8x+y…     

一个不等式选考试题的解法切入

<正>1 题目呈现设x,y,z∈R,且x+y+z=1.求(x-1)~2+(y+1)~2+(z+1)~2的最小值.(2019年全国卷Ⅲ选考题)2 解法展现2.1 切入点1 运用均值不等式解法1 [(x-1)+(y+1)+(z+1)]~2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)~2+2(x-1)(y+1)+2(y+1)(z+1)+2(z+1)(x-1)≤3[(x-1)~2+(y+1)~2+(z+1)~2].     

1992年四川省初中数学联赛

初赛一、选择题1.若ial~一a,则]2a一丫石万}等于 ). (A)a(B)一a (C)3a(D)一3a2.在△ABC中,AC,AB3.已知4x一3y一6二一O,x十Zy一7一0(x,y,二尹0).则2了,+3少尝+6二,尸+5犷+722的值等于一1,2,匕A的内、外角平分线分别为AE和AF,则面积S△通犷,S△,刀:S△,,r等于(). (A)3:2:4 (C)3盆l:4 3.(7+4丫厄) 4.如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,且Ac一5,BD一5粤.则 j,广\、。BC三、设关于x的方(B)3:2:6(D)2:l:4专一(7一4了~百.)合的值为程(,+号)2一5一粤一6有两根相等试求a的值.(A)14了丁(C)了不(B)2/-丁灯D)4丫万 4.若方程(1992二)’一1…     

一道瑞士数学奥林匹克不等式的证明与推广

题目 已知x、y、z＞0,xyz=1.求证:(x+y-1)2/z+(y+z-1)2/x+(z+x-1)2/y≥x+y+z. 在文[1]中,作者给出的证法虽好,但不利于推广.本文中笔者给出此不等式的四种证法及推广.     

中考数学“因式分解”、“分式”考点分析

☆考点l因式分解 例l(1997年扬州市中考题)分解因式护一4二一;尸y一x少~ 答:x(二+2)(二一2);xy(x十y)(x一y). 例2(1998年河北省中考题)分解因式丫一l的结果是()‘ (A)(xZ一1)(之2+1)(B)(x+1)“(工一1)2 (C)(x一1)(了+1)(xZ+l)(D)(x一1)(J+1)3 答:C. 评注(1)重点考查提取公因式法、平方差法.(2)注意了+1不能再分解成整式乘积的形式. 例3(1998年吉林省中考题)分解因式矿一矿一2。一 答:。(。+1)(a一2). 评注(1)本题考查提取会因式、十字相乘法.(2)注意“2一a一2一(a+1)(“一2),各个因式中的符号不能弄错. 例4(2000年南通市中考题)分解因式…     

2019年全国高考卷Ⅲ第23题的推广及应用

2019年高考全国卷Ⅲ第23题(1):设x,y,z∈R,且x+y+z=1,求(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2的最小值.若以不等式方式呈现就是:设x,y,z∈R,且x+y+z=1,求证:(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2≥4/3.     

例谈判别式的应用

大家都知道,判别式主要应用于判断一元二次方程根的情况,这类问题比较简单,下面介绍判别式其他方面的一些应用·一、求条件最值问题例1已知实数x,y满足x2-12y=0,求x-3y的最值·分析:运用设“k”法消去y,即可整理成x的一元二次方程·解:设x-3y=k,则y=x3-k,代入x2-12y=0,化简得x2-4x+4k=0,所以Δ=(-4)2-4×1×4k≥0,所以k≤1,所以x-3y有最大值为1,无最小值·例2已知实数x,y满足条件x2+xy+y2=1,求x2+y2的最值·解:设x2+y2=k,则x2+ky2=1,代入x2+xy+y2=1=x2+ky2,化简得(1-1k)x2+xy+(1-1k)y2=0·整理为yx的一元二次方程为(1-1k)(xy)2+(xy)+(1-1k)=…     

一道2010年瑞士数学奥林匹克不等式的证明

一道2010年瑞士数学奥林匹克试题如下:已知x、y、z>0,xyz=1,求证:(x+y-1)2/z+(y+z-1)2/x+(z+x-1)2/y≥x+y+z.证因为x、y、z>0,     

两道名题的简证

W二Ianous猜想 已知x,y,:任R 证明落干军、军耳军 宜上三兰)。(《数理天 ~八z x’J y’y 二一一、’~~~地》1997年第2期) 证明:不妨设x)y)z,则x y)二 x)y十z 因为扩一扩一扩一少 少一尹 ‘匕.、.扩一扩_尹一少.少一扩、尹一少, 所以二一-二二‘~二‘---三匕 匕一一一一二乏乏二----已‘牛 川~y zy z’y z一z十x夕2一22x十y祷少一护.扩一少.xZ一矛\。口义—,~—门一—二华U。 z个xx十yy一z(当且仅当x~y一z时等式成立)2·关于三角形内角平分线的猜想 在△ABc中,求证:会 会 分>告 会 告·(《中学数学,‘996年第9期, 证明:如图,在△A召C中,…     

利用根与系数的关系解竞赛题

在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,设x1,x2是它的两个根,则它的根与系数满足:x1+x2=-ba,x1·x2=ca.这两个表达式看起来简单,巧妙地利用它们,可以解答不少的数学竞赛题.一、求值例1设2x2-2x+k=0,2y2-2y+k=0,且x-y=2,那么k=.(2000年河南省初三数学竞赛题)解:由题意知x,y是方程2t2-2t+k=0的根.由根与系数的关系和已知得x+y=1,xy=k2,x-y=2 ∴k=-32.例2若关于x的方程(x+a)(x+b)=M的两根是α、β,则关于x的方程(x+α)(x+β)=-M的两根的平方和为.(2002年河南省初三数学竞赛试题)解:方程(x+a)(x+b)=M可化为x2+(a+b)x+ab-M=0.由根与系数的关…     

多项式x~3 y~3 z~3-3xyz的分解及其应用

多项式护 y“十z“一3xyz分解方法如下: x“ y3=(x Jr)3一3xy(x y) (x y)3 23=(x y z)〔(x y)2一(x y)z 22〕 故有x3 y3 23一3xyz=(x y)3一3xy(x y) 23一3xyz =(x y z)〔(x y)2一(x y)z 22〕一3xy(x y z) =(x y z)(xZ yZ 22一xy一yz一xz) 即:x3七y3 23一3xyz=(x 了 z)(xZ yZ 22一xy一yz一xz) 如在复数范围内还可继续分解为: x3 y3 23一3xyz=(x y z)(x 。y 。22)(x 。Zy 。z) .。是1的三次虚根(1)式是个很重要的公式,应用广泛,现仅举几例说明之。 1.因式分解 公式(1)中如果x y z=0,则(1)式变为 x3 y3 23二3xyz(3)式说明:任意三数之和如为0…     

圆中与三角形的心有关的轨迹问题

与三角形的心有关的轨迹问题,同学操作起来往往“不领会”,本文试谈这个问题.一、重心问题例1已知△ABC中,B(-3,-1),C(2,1),顶点A在圆(x+2)2+(y-4)2=4上运动,求△ABC的重心G二的轨迹方程.分析利用重心坐标公式,表示出点A的坐标.解设△ABC的重心坐标G(x,y),A(x1,y1),则x=x1-33+2,y=y1-31+1"$$$$#$$$$%.即x1=3x+1,y1=3y&.又A(x1,y1)满足(x1+2)2+(y1-4)2=4,所以(3x+3)2+(3y-4)2=4,整理得(x+1)2+(y-43)2=49,即为所求的轨迹方程.评注求轨迹时应注意分析与动点相关联的点,如相关联点轨迹方程已知,可考虑“代入法”.二、垂心问题例2如图,已…     

数学奥林匹克问题

本期问题 初15.已知x,y,z非负,求证: (x~2 xy zx-yz)(y z)~2 (y~2 yz十xy-zx)(x z)~2 (x~2 zx yz-xy)(x y)~2 ≤(x y z)(x y)(y z)(z x)。 (王梦阳 吉林大学数学系91级) 初16.已知AA′,BB′,CC′是锐角△ABC的三条高。过A作直线l_1⊥B′C′,过B作直线l_2⊥C′A′,过C作直线l_3⊥A′B′。试证明:l_1,l_2,l_3相交于一点。     

根式化简技巧种种

二次根式化简的技巧性很强,本文举例介绍,供参考. 例1计算(3侧护万十丫丽)(甲俪一4、万~). 解原式一(3丫万+4勺尹万)(3训万一4了万) =(3训万)“一(4、万)2=一30. 注本题先将各根式化为最简根式,使数量关系明朗化,便于用平方差公式计算. 例2计算。产万+、万一了万)(丫/万一扮厂百一一、厅). 解原式~[(、乓一护百)+护百工(、厂牙一、万)一 了万~」 一(厂百~一、厅)2一(侧万)2 一5一4、万. 注本题把各括号内三个数分成两数和乘以两数差的形式. 例3计算(了x+y+丫x一y),+(丫x+y一、乍二石),.书 解原式一2(丫/x+y)z+2(了x一y)2~4x. 注本题可以直接…     

一九八一年第一期数学问题

1。设a、丢、c为三角形的兰边,且有关系当x=一1时,(一1)2+2(一1),in(一夕)+1二0,a+白+e 2,52=2口b:;n,一,,,二2·:·音二‘刃为整数,r碑仁试证:(1)sc,b>‘。 (四川重庆教育工艺技校张明提) 2.在直角△ABC中,乙A是直角,AB二7cm,AC=24cm,两等圆P、口互相外经验证, 方程的解是:二二土1,,二2。·+号二。(”为整数)切,并且分别与△ABC两边相切(如刀图),求两2.已知(1+、inZa)(z+。i二“日)(l+。inZ丫)=8,in aoin日。iny,求a- 解日、Y。令二=。ina,夕=。in日,z=。in丫,原方程化为(1+xZ)(z+y艺)(z+:2)二8对z。等圆的半径。 (…     

有奖解题擂台(63)

题 1　 (邵剑波提供 )　证明或否定设a >b >c>0 ,x21a2 +y21b2 +z21c2 =1 ,x22a2 +y22b2 +z22c2 =1 ,且 (x -x1+x22 ) 2 +( y -y1+y22 ) 2 +(z -z1+z22 ) 2 =14[(x1-x2 ) 2 +( y1-y2 ) 2 +(z1-z2 ) 2 ],则x2 +y2 +z2 ≤a2 +b2 +c2 。题 2　 (吴善和提供 )　证明或否定 :　若a、b、c分别是△ABC的三边长 ,实数m≥ 1 ,a′ =(bm+cm) 1m,b′ =(cm+am) 1m,c′=(am+bm) 1m,则以a′,b′ ,c′为三边可构成△A′B′C′ ,且△ABC与△A′B′C′的内切圆半径r与r′之间成立不等式r′≥ 2 1m·r。(注　每小题第一位解答正确者将获得奖金 5 0元 )有奖…