一个三角不等式的应用

我们发现:在△ABC中,sinA·sinB≤sin2A+B/2 证明:sinA·sinB=1/2[cos(A-B)-cos(A+B)]≤1/2[1-cos(A+B)]=sin2A+B/2.     

一个三角不等式及其应用

若0≤a<π/2,则 sina≤a≤tga.(证略).这个不等式把 a 的三角函数与 a 直接联系起来从而有着重要的作用.例1 对任何∈(0,π/2);下式正确的是( )     

一个三角不等式

命题 在任意△ABC中,∠A、∠B、∠C表示其三内角.则 sin~3A sin~3B sin~3C≤(9/8)3~(1/2),等号当且仅当△ABC为正三角形时成立. 证明 由三角形恒等式     

一个三角不等式

在△ABC中,有常见不等式 cosAcosBcosC≤1/8 ①, sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)≤1/8 ②, 本文将指出①②两式左端的大小关系,有     

谈一个三角不等式的应用

本文证明不等式|a sinx b cosx |≤(a~2 b~2)~2/1(a、b不全为零)成立,并分类举例说明它在求值、求函数值域或最值,证明不等式、确定直线与二次曲线的距离、直线与二次曲线交点等五个方面的应用。     

一个新的三角不等式及其应用

本文约定:△ABC的三边长为a、b、c,半周长为p,外接圆半径为R,内切圆半径为r,∑表示循环和,Ⅱ表示循环积.经过探讨,笔者得到:定理在△ABC中,有tan2222A r∑≥?R.为证明此不等式,先看下面的引理:引理R(4R+r)2?(4R?2r)p2≥0.证明由R≥2r及p2≤2R2+10Rr?r2+2(R?2r)R(R?2r)知欲证:R(4R+r)2?(4R?2r)p2≥0,我们只需证明:16R3+8R2r+Rr2≥(4R?2r)[2R2+10Rr?r2+2(R?2r)R(R?2r)]?(R?2r)(8R2?12Rr+r2)≥4(2R?r)(R?2r)R(R?2r)?(R?2r)2(8R2?12Rr+r2)2≥16R(2R?r)2(R?2r)3?(R?2r)2(16R2r2+8Rr3+r4)≥0,上式显然成立,故:R(4R+r)2?(4R?2r…     

一个新的三角不等式

定理　在锐角△ ABC中 ,有tan( A- π4 ) + tan( B- π4 ) + tan( C-π4 )≥ 3( 2 - 3) . ( 1 )为证定理 ,我们需要以下引理 (证明从略 ) .引理　sin( x+ y) ,cos( x±y)均为正数 ,tan x+ tan y≥ 2 tanx+ y2 .定理的证明　不妨设 A≤ B≤ C,则 π3≤C<π2 .于是A- π4 + B- π4 =π2 - C∈ ( 0 ,π6 ],A- π4 - ( B- π4 ) =A- B∈ ( - π2 ,0 ],C- π4 + π1 2 =C- π6 ∈ [π6 ,π3) ,C- π4 - π1 2 =C- π3∈ [0 ,π6 ) ,12 ( π2 - C+ C- π6 ) =π6 ,12 ( π2 - C- C+ π6 ) =π3- C∈ ( - π6 ,0 ].因此 ,由引理可得 tan…     

一个新的三角不等式

19蛇年,徐和郁〔’〕应用余弦降幂公式建立了:当几是奇数时,。‘,5.月+c谓_~,_~一3‘乃十C咙,C泛飞下犷, 乙(l)其中月,刀,e是三角形的三内角.在:=l时,(l)早,一一二。,,_‘刁。二一._._一3,。、见于书L“]的“·‘“:’相似文献   

一个新的三角不等式

文[1]P219列出了如下有趣的三角不等式： 在△ABC中,三内角A、B、C所对三边长依次为a、b、c,半周长与内切圆半径分别为p、r,则有 经过类比探究,笔者最近得到了一个与（1）式非常类似的新的三角不等式：     

一个新的三角不等式

在△ABC中,成立以下不等式: cos A(cos B cos C)≤(2×6~(1/2))/9,(1) sin A(sin B sin C)≤(8×3~(1/2))/9,(2) sin A(cos B cos C)≤(8×3~(1/2))/9.(3)     

一个三角不等式的推广及其应用

<正>~~     

一个三角不等式的推广与应用

1967年,Z.Mitrovic建立了如下不等式: 在△ABC中,对实数λ有cosA λ(cosB COSc)≤1 (λ~2)/2,(1)     

一个新的三角不等式

定理 在△ABC中,3~(1/2)(sin~3A sin~3B sin~3C)≤3 cos~3A cos~3B cos~3C. (1)等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。     

一个新的三角不等式

《中等数学》1998年第3期“数学奥林匹克问题”栏高中第65号题为：在△ABC中,求证：B．C＿sinA＋Zsin子十3sin子＜3．（l）－———一一2——一？”－’原刊1998年第4湖上,江苏张延卫老师给出了该题的构图证法．这里,我们给出类似于（1）式的一个新结果,并且给出其代数证法．定理在△ABC中,有BC＿＿＿COSA＋＋COSW＋3COS子＜3／3．（2）———””——一2’——一3——”—””“”证明”．”A,B,C是凸ABC的内角,B＿＿．”．0＜A十号＜A＋B＜n,2～‘——～,,故（2）式获证．从上述证明过程不难看出,当且仅当ABtr…     

一个三角不等式的延伸及其应用

本文对一个著名的三角不等式加以延伸,给出了Rn空间中任意三非零向量两两间夹角之和等于!的充要条件;然后结合二重曲面积分,获得了一个新的关于!,e的不等式.     

一个三角不等式的证明与应用

定理 对于αi,βi,γi∈（0,π）,其中i=1,2,且α1＋α2＋β1＋β2＋γ1＋γ2=2π则sinαisinβ1sinγ1＋sinα2sin2sinγ2≤2sin（α1＋α2）/2 sin（β1＋β2）/2sin（γ1＋γ2）/2（1）当且仅当α1=α2,β1=β2,γ1=γ2时,（1）式取等号。     

一个三角不等式的加强

[1]中有一个不等式:可作如下加强: 定理对△ABC,记则为此,先证对所有x,y,z∈R~+,成立x~3+y~3+z~3     

一个三角不等式的加强

在很多高中数学竞赛资料上能看到这样的一个不等式：在△ABC中,A、B、C＋是三角形中的三个内角,则有0〈sinA＋sinB＋sinC≤3/2√3,笔者经过探究后可以发现在不同形状的三角形中,这个结论可以进一步加强．     

一个三角不等式的推广

在**BC中,如果、人、B、C为三角形的。(个内角,已有大家熟知的三角不等式: COSA COSB COSC<2-3COs 3;① c。。譬 c。s誊 c。号 。,c。s十>。,c。s5>0· :.c。。鲁 c。s譬、。s譬 c。磊 -。。。丰 AB足足“‘Thry 。___3__。3一个三角不等式的推广@安振平$陕西省永寿县中学!713400 @张巨轮$陕西省永寿县中…     

一个三角不等式的妙用

“在△ABC中,∑sin A≤3√3/2”是一个基本的三角不等式.下面用它证明一个三元不等式问题 题目 正数a、b、c满足∑a=1.证明： ∑1/bc＋a＋1/a≤27/31,其中,“∑”表示轮换对称和.[1] （2008,塞尔维亚数学奥林匹克） 证明 令a=yz,b=zx,c=xy（x、y、z＞0）.