初中数学里的加法定理

国内现行初中数学教材未介绍加法定理sin(α+β)＝SinaCOSβ+sinβCOSα而在用正弦定理解三角形或有关三角函数的化简证明时,不可避免地经常出现sin(α+β)的形式,因此,在初中阶段适当介绍加法定理很有必要.实际上,在初中阶段,对于0°＜α,β<180°,     

正弦和余弦的加法定理的口诀记忆法

繁多的三角函数公式中最基本的是正弦和余弦的加法定理:sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβcos(α±β)=cosα·cosβ±sinα·sinβ为了便于记忆,上述公式可以概括成下面的口诀:“正弦交叉不变号,余弦变号不交叉”.     

关于平面向量与三角函数内容的衔接——以新教材平面向量内容编排的几点建议

平面向量是重要的数学内容 ,也是重要的数学工具 .高级中学数学教材 (试验修订本 ·必修 )将正弦定理、余弦定理编排在平面向量之后 ,利用向量的内积证明这两个定理 ,体现了平面向量的工具作用但是 ,教材在处理平面向量与三角函数内容的关系方面 ,显得有些脱节 .1　关于三角函数定义部分的“说明”教材在定义三角函数时 ,作了如下说明 :根据相似三角形的知识 ,对于确定的角α ,这本个比值 (如果存在的话 )都不会随点Ｐ在α的终边上的位置的改变而改变 ,对这个说明 ,当角α终边在第一象限 ,学生易于理解 ;而终边在其它象限 ,仅用相似三角形 ,…     

巧证正弦加法定理

上海工科中专《数学》第一版、第二版,对正弦加法定理的证明都是利用单位圆,作两个角α、β,再利用两点距离公式导出余弦加法定理,再得出正弦加法定理.《数学》1994年最新第三版也是利用单位圆,并利用初等方法作辅助线得出正弦加法定理,这两种方法都较复杂,证     

用正弦圆证明加法定理

在三角函数的学习中,加法定理占居主导地位,其中正、余弦的和角公式是最基本的,诱导公式、倍角公式、半角公式、和差化积、积化和差均可由它演绎而来.文[1]提出”建立以和角公式为纲的三角新体系”,并提出一些精简传统教材的建议,这是颇有见地的.关于加法定理的证明,一般教材都     

数学教学如何调动学生的主观能动性

在数学教学中，如何培养学生对所学内容的兴趣，如何提高学生学习的主动性、积极性？我认为应最大限度地调动学生学习的主观能动性。下面就以三角函数“加法定理及其推论”这一章的“正弦与余弦的加法定理”为例，谈谈在教学中如何调动学生学习的主观能动性。在这一章中的两角和与差的正弦及余弦公式、倍角与半角公式、积化和差与和差化积公式，都是三角里进行变换的重要公式，学生应会推导并牢固记忆、熟练应用。而这些公式的推导基础是“加法定理”。所以，讲授好“两角差的余弦”是本章的关键。备课时教师应考虑三点：第一，cos（α－β…     

两个三角函数求和公式的简化证明

本文对《几个三角公式及其应用》(“数学通讯”,5,1981)一文的定理1,2作出一个简化证明。原文定理1 设等差数列α_1,α_2,…,α_n的公差为d,则 sum from k=1 to n sinα_k=sin(α_1+n-1/2d)sinn/2d/sind/2 原文定理2 设等差数列α_1,α_2,…,α_n的公差为d,则 sum from k=1 to n cosα_k=cos(α_1+n-1/2-d)sinn/2d/sind/2。证明考虑公式 f(π/2±α)·sinβ=1/2[f(α+β)-f(α-β)]。(1)其中f代表正弦或余弦。若f代表正弦,则左边第一个因式中的α前面取负号,反之取正号。此(1)式是三角函数积化为和公式中某两个公式的综合表     

再给Rolle定理一个新证明

数学通报1981年第一期介绍了发表在《美国数学月刊》上的Rolle定理的两个新证明。正如编译者指出,Rolle定理的证明在许多数学分析教程中大多千篇一律,多年不变(几乎都要用最大(小)值定理)。《美国数学月刊》上的第一个证明是构造性的,第二个证明应用了两个现成的命题: (a)如果f(x)在闭区间[c,d]上连续,且f(c)=f(d),那么存在α,β∈[c,d]满足β-α=c-d/2,及f(α)=f(β); (b)如f(x)在某内点x可微,那么对于任意两个序列α_n,β_n满足α_n≤x≤β_n,     

巧用公式联系 增强实用效果

数学公式的记忆和应用,是学习和应用数学知识的一个重要环节。如何采用科学方法,达到理想的效果,是一个重要问题。本文谈一下三角公式中的和差化积与积化和差公式的应用方法。 在三角函数的加法定理及其推论中,有一组基本公式,即 sin(α β)=sinαcosβ cosαsinβ (1) sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ (2) cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβ (3) cos(α-β)=cosαcosβ sinαsinβ (4)在这四个公式的基础上,便能推出一组二倍     

关于和为180°的三个角的三角函数恒等式

(一) “和为180°的三个角的三角函数恒等式”在教学中的地位。高中数学统编教材第一册第三章“两角和与差的三角函数”的第四节“三角函数的积化和差与和差化积”中,安排了第158页的例6,并配备了162页习题八的第四题(包括四个小题),及第167页复习题三第19题(1)和第168页29题(3)等练习题,这些例题及练习题都是反映了和为180°的三个角三角函数间的恒等关系,因此均可称之谓“关于和为180°的三个角的三角函数恒等式。”这类恒等式在教材中这个地方出现的作用在于教学生也通过对它们的学习,了解和熟悉本节内容“三角函数的积化和差与和差化积”的应用,并且同时也相应地复习以往所学的诱导公式,加法定理,倍角、半角公式,降幂公式等基础知识,熟悉和掌握三     

介绍加法定理的一种简单推导方法

加法定理(角的和差的三角函数公式)在三角分析中占有重要地位,它是三角学的一个基本公式。为了深刻地了解加法定理和由它导出的三角公式,必须对定理的一般性(即对任意角成立)有足够的认识。在常见的加法定理的证明方法中,其一般性证明或者推导太长,或者要借助对高中学生来说暂时尚未学过的知识。本文介绍一种简单的方法,它仅仅用到平面上两点P(x_1,y_1)、Q(x_2,y_2)间的距离 d=((x_2-x_1)~2+(y_2-y_1)~2)~(1/2)这一基本公式。     

正余弦定理及应用

新编教材严格按照《新大纲》进行精简、更新。高中“三角函数” ,“两角和与差的三角函数” ,“反三角函数和简单三角方程”合并为“三角函数”一章 ,课时压缩为 36节。减少了许多公式的记忆 ,繁琐的变形 ,偏难的怪题。而“平面向量”一章中保留了正弦定理 ,余弦定理和解斜三角形应用举例。原有一些常规题如求ｓｉｎ2 1 0° ｃｏｓ2 4 0° ｓｉｎ1 0°ｃｏｓ4 0°的值 ,求证ｓｉｎ2 β ｓｉｎ2 (α β) -2ｃｏｓαｓｉｎβｓｉｎ(α β) =ｓｉｎ2 α就较难解决。现根据新教材内容 ,运用正弦定理 ,余弦定理以及诱导公式 ,可以得到正余弦…     

利用三角变换,确定角的大小

在三角中,求角的大小,通常是通过求这个角的一个三角函数值来解决.根据三角函数的周期性,一个三角函数值对应无数个角,因此用三角函数值确定角的大小的核心问题是确定角存在的范围.例1:已知α∈(0,π),β∈(0,π),cosα=4/5,tgβ=-7,求α+β.分析因为已知条件中有taβ的值,所以用 tg(α+β)确定α+β的大小比较简单.     

两角差的余弦公式的几种证明方法

三角函数是重要的初等函数,在高中数学中占有重要地位.三角函数公式是研究三角函数的前提,而两角差的余弦公式是推导所有三角函数和与差公式的基础.在文献[1]中利用群的表示和复数理论证明了两角差的余弦公式,本文又给出了这个公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的3种证明方法.     

关于两角和差的三角函数教学中的一个问题

三角学中的加法定理是指sin(α±β),cos(α±β)与sinα,sinβ,cosα,cosβ的关系,其中α、β是任意角,这四个基本公式,只需推导出其中的一个,就可以利用诱导公式和变量代换得出另外三个。究竟先推导哪一个公式为好呢?从50年代至今,已经使用了三种不同的编排,这种在教材上一变而再变的编排,说明在推导公式的过程中,有不尽如人意之处。     

“20以内的进位加法和退位减法”的另一种口算方法

“减补进一”和“退一加补”,本来是“三算”结合教材中用来计算20以内进位加法和退位减法的两条规律。实验证明,这两条规律也可用于通用教材中的口算。在通用教材中,20以内的进位加法是采用“凑十法”计算,退位减法是采用“看减想加”的逆运算关系求差。楚雄市北城小学在86年招     

浅谈平面向量的应用

向量知识已经进入中学数学教材 ,由于向量融数、形于一体 ,因而成为中学数学知识的一个交汇点 .向量作为一种工具 ,为解决中学数学问题提供了新的思路 ,进一步拓宽了思维渠道 .下面举例说明平面向量在中学数学中的应用 .一、在三角函数中的应用在传统的三角教材中推导两角差的余弦公式时 ,过程比较复杂 ,而利用向量的数量积证明就简明得多 .例 1　证明公式ｃｏｓ(α-β) =ｃｏｓαｃｏｓβ+ｓｉｎαｓｉｎβ .分析　观察等式右边的结构 ,可以联想到平面向量的数量积 ,这就启发我们构造两个单位向量 ,它们的夹角为α-β,这样ｃｏｓ(α-β)就…     

“sin~2α cos~2α=1”在解题中的转化功能

高中数学新教材,对三角函数的教学要求与传统教材比较有很大的变化,删除了能用基本公式推出的多个公式,但对应用基本公式解决问题的能力提高了要求.本文从几个方面例谈公式“sin2a cos2α=1”的转化功能,以期引起重视.1 利用该公式构造转化构造转化即利用“sin2α cos2α=1”中量与量之间的关系构造出新函数,进行解题.例1 锐角α,β满足(sin4α)/(cos2β) (cos4α)/(sin2β)=1.求证:α β=π/2.证明由已知可设(sin2α)/(cosβ)=(cosθ),(cos2α)/(sinβ)=sinθ     

“问题性教学理论”下的说课一例——直角三角形的性质（二）说课课案

教材浙义教初中数学第三册ξ9.17直角三角形的性质(二) 课案本节课题是针对我校初二学生进行设计的,主要理论依据是“问题性教学理论”,下面分五个方面谈谈自己的的一些想法.1 教材的地位和作用 本节课主要研究的是直角三角形的一个性质定理(30°角所对的直角边等于斜边的一半)及其逆定理的证明和定理的一些简单的应用,其作用和地位主要体现在以下两个方面: (1)它的应用广泛,是后续学习的必备基础知识。例如锐角三角函数就是以此为基础的,并且是解决有关几何论证及计算问题的重要依据,具有广     

关于平面向量与三角函数内容的衔接--对新教材平面向量内容编排的几点建议

平面向量是重要的数学内容,也是重要的数学工具.高级中学数学教材(试验修订本@必修)将正弦定理、余弦定理编排在平面向量之后,利用向量的内积证明这两个定理,体现了平面向量的工具作用.但是,教材在处理平面向量与三角函数内容的关系方面,显得有些脱节.