例谈实际问题的解决策略

题目：某市现有自市中心O通往正东方向和北偏西30°方向的两条主要公路,为了解决该市交通拥挤问题,市政府决定修建一条环城公路,分别在正东方向和北偏西30°方向的两条主要公路上选取A,B两点,     

几何型应用题分类解析

一、平面几何型应用题 例１ 如图１，某城市有一条公路从正西方A O 通 过市中心O 后转向东北方O B ．现要修建一条铁路L ，L 在O A 上设一站A ，在O B 上设一站B ，铁路在A B 部分 是笔直的．若要求市中心O 到A B 的距离为１０ 公里， 则把A 、B 分别设在公路上 离中心O 多远处才能使 ｜A B ｜最短，最短矩离是多 少（不要求作近似计算）？ 解析在△A O B 中，设O A ＝a，O B ＝b． ∵O A 为正西方向，O B 为东北方向， ∴∠A O B ＝１３５ °，｜A B ｜ ２ ＝a ２ ＋b ２ ＋２abcos４…     

切割弦定理有妙用

平面几何中有切割弦定理 :如图 ,圆O的切线PA(A为切点 )与割线PBC满足关系PA2 =PB·PC .该定理在不等式求最值、求轨迹方程等方面有许多巧妙应用 ,如均值定理 a b2 ≥ab(a ,b>0 )的证明 :在上图中割线PBC过圆心O时 ,设PB =a,PC=b ,则PO =a b2 ,由切割弦定理PA =ab ,显然PO >PA ,再结合a=b有a b2 ≥ ab .再举几例 :例 1　在平面直角坐标系中 ,在y轴的正半轴 (原点除外 )上给定两点A ,B ,试在x轴的正半轴上求点C ,使∠ACB取得最大值 .　　解析　本题有多种解法 ,利用切割弦定理十分简便 ,如图 1,过点A ,B作一个圆与x轴的正半…     

构造几何图形求证不等式举例

在不等式证明中,我们比较熟悉用代数的方法去寻求其问题证明,如何借助图形证明不等式,大家关注的不多.本文试图从构图入手,给出某些不等式的几何证法.一、构造两点间的距离例1已知a、b、c都是正数,求证:a2+b2+c2+d2≥(a+c)2+(b+d)2简析:联想两点间的的距离公式,待证式子可视为两线段之和不小于第三条线段.证明:设点A的坐标为(a+c,0),点B的坐标为(0,b+d),点C的坐标为(c,b).由|AC|+|BC|≥|AB|,得a2+b2+c2+d2≥(a+c)2+(b+d)2,当且仅当等号在A、B、C三点共线,即ab=dc时成立.二、构造平行线间的距离例2已知a、b、x、y∈R,且a+2b+4=0,x+2y=1…     

椭圆中一个三角形最大面积问题

<正>问题设椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的中心为O,A、B是椭圆上的两点(A、B、O不共线),求△AOB面积的最大值.对于这个问题,笔者经过探讨,得到了如下两个有趣的结论.定理1设椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的中心为O,A、B是椭圆E上的两点(A、B、O不共线),则当且仅当直线AB与椭圆F:x2/a2+y2/b2=1/2相切时,S△AOB取得最大值1/2ab.     

一道解析几何习题的引申

【题】 :过双曲线x2 - y22 =1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点 ,若|AB|=4 ,则这样的直线共有 (　　 ) .A .1条　　　　B .2条C .3条　　D .4条正确答案是C .对该题进一步的探讨分析发现 ,此双曲线的实半轴a =1,虚半轴b =2 ,过焦点与x轴垂直的弦长为2b2a =4 ,|AB|=2b2a =4 >2a =2 .试问 :|AB|无论多长答案是否都是C呢 ?请看 :设双曲线 x2a2 - y2b2 =1(c =a2 b2 )的右焦点为F ,过F作直线l交双曲线于A、B两点 ,|AB|=d ,试根据d的不同取值讨论l的存在性 .预备知识 :(1)两顶点间的距离是双曲线两支上的两点间距离的最小值 ;(2 )过双…     

对椭圆的两个新性质再研究

文[1] 给出有关椭圆的两个性质 ,对于这两个性质本文给以引申和证明 .　　　　　　图 1推论 1　如图1所示 ,椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 　 (a>0 ,b>0 )过切点M的切线l与以椭圆长轴为直径的圆O从左至右依次交于A、B两点 ,则以线段MF1、MF2 为直径的圆与圆O分别内切于A、B两点 (其中F1、F2为双曲线的左右焦点 ) .证明　设M (acosθ ,bsinθ) ,F1(-c,0 ) ,F2 (c,0 ) ,由文 [1]定理 1证明 ,可知A(ab2 cosθ -a2 csin2 θa2 sin2 θ +b2 cos2 θ ,a2 bsinθ +abcsinθcosθa2 sin2 θ +b2 cos2 θ ) ,B(ab2 cosθ+a2 csin2 θa2 sin2 θ+b2…     

2004年“TRULY~信利杯”全国初中数学竞赛

一、选择题(每小题6分,共30分)1.已知实数a≠b ,且满足　　(a 1) 2 =3- 3(a 1) ,3(b 1) =3- (b 1) 2 .则b ba a ab 的值为(　　) .(A) 2 3　　(B) - 2 3　(C) - 2　(D) - 132 .若直角三角形的两条直角边长为a、b ,斜边长为c,斜边上的高为h ,则有(　　) .(A)ab =h2 (B)a2 b2 =2h2(C) 1a2 1b2 =1h2 (D) 1a 1b =1h3.抛物线y =ax2 bx c的顶点为(4 ,- 11) ,且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负.则a、b、c中为正数的(　　) .(A)只有a (B)只有b(C)只有c (D)有a和b图14 .如图1,在△ABC中,DE∥AB∥FG ,且FG到DE、AB的距离之比…     

一道北约试题的推广

题目:△ABC中,如果a+b≥2c,证明C≤60°.(2011年北约自主招生数学试卷第4题) 证明:由余弦定理知cos C=a2+b2-c2/2ab≥a2+b2-(a+b/2)2/2ab=3/4(a2+b2)-ab/2/2ab≥1/2.所以,C≤60°.故得证. 笔者经过研究,发现本题结论可以推广为: 定理1:△ABC中,如果an+cn≥2bn(n∈Z),则B≤60°,其中a,b,c表示△ABC中角A,B,C的对应边.     

五种中项大小关系比较的几何模型

有五种平均数 ,在应用中十分重要 ,它们之间有怎样的大小关系呢 ?我们可以用几何方法加以证明 .在 a>0 ,b >0且 a≠ b时 ,不妨设 a 相似文献   

柯西不等式的应用举例

不等式问题覆盖面广、综合性强 ,是当今各层次数学竞赛 (包括IMO)的热点和难点之一 ,而不等式问题的处理更以“多入口 ,方法巧”见长 .为了寻求规律 ,探索解题途径 ,笔者搜集了部分有关不等式问题试题 ,深入研究 ,发现许多问题都能采用柯西不等式加以简单地解决 .下面举例加以说明 .例 1　设a ,b ,c∈R+ ,求证 :ab+c+ bc+a +ca+b ≥ 32 . ( 1)( 196 3年莫斯科竞赛题 )证明　令A =a(b +c) +b(c +a) +c(a +b) =2 (ab +bc +ca) ,B =ab+c+ bc+a+ ca+b.由柯西不等式 ,有AB≥ (a+b +c) 2 ,根据基本不等式 ,有A ≤ 23(a+b +c) 2 .所以 ,B≥ 32 …     

2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题 (共 5小题 ,每小题 6分 ,满分 3 0分 )1.已知实数a≠b ,且满足 (a+ 1) 2 =3 -3 (a+ 1) ,3 (b + 1) =3 -(b+ 1) 2 .则b ba +a ab 的值为 (　　 )　　 (A) 2 3　 (B) -2 3　 (C) -2　 (D) -132 .若直角三角形的两条直角边长为a、b,斜边长为c ,斜边上的高为h ,则有 (　　 )　　 (A)ab=h2 　　　 (B) 1a + 1b =1h　　 (C) 1a2 + 1b2 =1h2 (D)a2 +b2 =2h23 .一条抛物线 y=ax2 +bx +c的顶点为 (4 ,-11) ,且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负 ,则a、b、c中为正数的 (　　 )　　 (A)只有a　　 (B)只有b　　 (C)只有c (D)只有a和b4.…     

a~2+b~2≥2ab的五个重要推论及应用

如果a,bR,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号).该结论利用作差法极易证明.下面给出其推论及应用.推论1如果a,b是正数,那么a+b2≥ab√(当且仅当a=b时取“=”号).这个定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.其应用极其广泛,常用于求最值、比较大小、求取值范围和证明不等式等.例1若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是A.18B.6C.23√D.234√解3a+3b≥23a·3b√=23a+b√=6(当且仅当a=b=1时取“=”号).即3a+3b的最小值为6.选B.推论2如果a,bR,那么a2+b2≥2｜ab｜(当且仅当｜a｜=｜b｜时取“=”号).证明∵a2+b2=…     

从x~2≥0到平均不等式

1从实数的性质说起由于实数有“大小可比性”,因此才有关于实数的“不等式”.由于实数的平方有“不负性”,因此才有了正数的“平均不等式”.设x∈R,则有x~2≥0,令x=a-b,则有(a-b)2≥0a~2 b~2≥2ab,用a替代a~2,用b替代b~2,则有a b≥2ab,于是得到(a b)/2≥ab(a=b时等号成立).这就是著名的平均不等式:2个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.显然,要证明这个不等式的正确性,可用配方法回到“实数平方的不负性”上.证明因为a2 b-ab=a-22ab b=12(a-b)2≥0a 2b≥ab.图解在平均不等式a2 b≥ab中,视a2 b和ab分别为2条线段长,可以解释它们之间的…     

“勾股定理”自测题

一、选择题 1.已知Rt△ABC中,两直角边及斜边的长分别为a、b、c,则下列结论恒成立的是( ). (A)2abc~2 (C)2ab≤c~2 (D)2ab≥c~2     

第十七届“希望杯”全国数学邀请赛 初二 第2试

一、选择题(每小题4分,共40分)1.下列四组根式中,是同类二次根式的一组是()(A)2.5和20.5(B)3a a和3b b(C)a2b和ab2(D)ab7c3和ac3b2.要使代数式|x-3|-2x2-4x+3有意义,那么实数x的取值范围是()(A)153.以线段a=13,b=13,c=10,d=6为边作梯形,其中a,c为梯形的两底,这样的梯形()(A)能作一个(B)能作两个(C)能作无数个(D)一个也不能作4.In Fig.1,ABCDis a quadrilateral,Eis apoint on the diagonalBD,EF∥AD,EM∥BC,then the value ofEDFA+EBMCis()(A)greater than1(B)equal to1(C)less th…     

初二数学暑假练习(一)

(本练习题适合人教版、苏教版新教材,满分150分,时间120分钟)　　一、选择题:(每小题3分,共36分,每题只有一个正确答案,请把各题的正确答案填在下表相应位置)1.x为何值时,式子13-x x 2有意义(　　)A.x≥-2　　　　B.x≥-2且x≠3C.-2≤x<3　　D.-2≤x≤32.若a=4-1 5,b=5 1,则下列说法正确的是(　　)A.a、b互为相反数　　B.a、b互为倒数C.a、b相等　　　　　D.以上都不对3.下列根式中最简二次根式是(　　)A.4x　B.12x　C.2x　D.x2y4.下列运算中正确的是(　　)A.a2 ab b2=(a b)2B.(a b)2=a bC.ab=a.bD.12a3÷2a2=14a5.已知a b4b与3a b是…     

建立物理模型 解数学难题(高一、高二、高三)

题有A、B、C三个小镇,已知两镇的距离分别为AB=c=6公里,BC=a=4公里,CA=b=8公里,欲在三镇间建立一个公共的交通中心,从中心修三条公路通往三镇,若每公里公路的造价为10万元,则三条公路最少要投资多少?     

2003～2004学年度第一学期初一年级期末试卷

一、认真填一填 (每空 2分 ,共 2 4分 )1 .-5的相反数是 ,-0 .5的倒数是.2 .一件夹克标价为a元 .现按标价的 7折出售 .则实际售价用代数式表示为 :元 .3 .近似数 3 .2 5× 1 0 4 有个有效数字 .4.单项式 5a2 b ,-4ab2 ,3ab2 ,-4a2 b的和是.5.已知 (a -2 ) 2 + ｜ 2b+a｜=0 ,则 3a-2b的值等于 .6 .若x -y=3 ,则 5-x + y=.7.如图 ,A、O、B在同一条直线上 ,如果OA的方向是北偏西 2 4°3 6′,那么OB的方向是东偏南 .8.点A在数轴上距原点 3个长度单位 ,且位于原点右侧 ,若将A向左移动 4个单位长度此时点A所表示的数是 ,若点B所表示的数是A点…     

函数及其图象自我测试题

.x、定 \\确 \法 ︵扭.无 /图人 扩||少门11大 /的 一、选择题:f每小题3分，共30分)在下列 各题的四个备选答案中只有一个是正确的. 1.在平面直角坐标系中，点(涯，0)位于 () (A)第一象限 (C)二轴上 (B)第四象限 (D)y轴上 2.若点M(二，力满足叮=O，则点对只能 位于() (A)原点(B)x轴或y轴上 (C)x轴上(D)了轴上 3.已知y=(。+1):爪，+。一‘是正比例函数， 且图象经过第一、三象限，则m值一定是() (B)ab。b(D)a…