划分整数集合的相关问题

设集A_1,A_2,…,A_n是集A的非空子集,且满足: (1)A_1∩A_j=(?),(i≠j,i,j=1,2,…,n) (2)A=A_1∪A_2∪…∪A_n。则称(A_1,A_2,…,A_n)为A的一个划分。整数集合的划分在近年数学竞赛中时常出现,其题型通常有两类:一是根据子集应具备的某种特性,讨论划分的存在性;二是根据给定的划分,讨论划分后子集有关特性. 一、求解集合划分问题的基本思路划分一个集合,就是构造这十集合的子集.而这种构造过程经常要综合运用多种数学思想和方法例1 求两个最小的正整数n,使集{1,2,…,3n-1,3n}可以分为n个互不相交的三元组{x,y,z},其中x+y=3z (1990年国家集训队训练题) 解:设所求三元数组为(x_i,y_i,z_i),(i=1,2,…,     

第61届IMO预选题(一)

代数部分1.(1)设n为正整数,N-2n.求最小的实数an,使得对于所有的实数x,均有 N√x2N+1/2≤an(x-1)2+x; (2)对于每个正整数N,求最小的实数bN,使得对于所有的实数x,均有 N√x2N+1/2≤bN(x-1)2+x. 2.设α是所有关于x、y、z的三元整系数多项式构成的集合,β是α的子集,且...     

解子集竞赛题的常用方法

与子集有关的竞赛题,构思巧妙,涉及的知识面广,难度较大,本文以实例说明解某些子集竞赛题的几种常用方法,供读者参考。1 排列组合法 涉及子集的计数问题可以用排列组合方法解答。     

集合｛1,2,3,…,n｝的顺序子集族个数探究

本文定义了一个集合的m-顺序子集族,经过证明得到m-顺序子集族数为f(m)=ni=m∑Cm-1i-1Cni(n≥m≥2).     

第31届(2002)美国数学奥林匹克

师 :2 0 0 2年的美国竞赛题 ,难度与ＩＭＯ相当 .涉及的知识范围 ,如极限、多项式性质等 ,比我国的ＣＭＯ稍广 .但几乎没有平面几何 ,这是他们的弱点 .下面是第 1道试题 ,你做做看 .1.设Ｓ是 2 0 0 2元集 ,Ｎ为整数 ,满足 0≤Ｎ≤2 2 0 0 2 .证明 :可将Ｓ的所有子集染上黑色或白色 ,使得下列条件成立 :(ａ)任两个白色子集的并集是白的 ;(ｂ)任两个黑色子集的并集是黑的 ;(ｃ)恰好存在Ｎ个白色的子集 .生 :我从简单的情况做起 ,设Ｓ ={ 1,2 ,… ,2 0 0 2 } .在Ｎ =1时 ,可将空集 或任一个一元子集 ,例如 { 1} ,染黑 (其余子集染白 ) .这时 (…     

集合X={1,2,…n}的几种特殊子集个数浅探

设集合X={1，2，…n}，本给出了下列定义：集合X中距离大于m的子集，距离小于m的子集，距离等于m的子集，中把求集合X的这些特殊的子集的个数转化为求相应方程的整数解的个数，并且讨论了这些特殊子集个数之间存在的联系，其中对方程整数解个数的求解主要借助于Ⅱ型分配中的普母函数。     

一道集合竞赛题的随想

1问题的引入 题目 记号｜X｜表示集合X所含元素的个数．设｜X｜=n（n∈N＋）,X的全部子集为{A1,A2,…,Am}（m=2^n）．已知如下的子集交集的元素个数之和.     

一道集合子集问题解法的修正

文[1]模拟试题八第一试填空题第5题为: 设n≥3,b_n是集合{1,2,…,n}的具有下面性质的子集的个数,这些子集中任意两个元素差的绝对值大于1,则b_(10)的值为     

构造子集解一类组合计数题

根据元素性质,分类构造子集,解答组合中的某些计数问题,显得思路清晰,运算简便。 1 奇偶分类构造子集 例1 从1,2,…,10这十个数中取出若干个数,其和为奇数的取法有多少种? 解 设全集I={1,2,…,10},子集A={1,3,5,7,9},若从A中取奇数个奇数,且从A中取若干个(可以不取)偶数,则其和必是奇数。     

有限I_-稠密子集与I_-链

文献[1]证明了半群S含有极小I-稠密子集的充要条件是S满足弱I-极小条件 在此基础上进一步证明了半群S含有有限I-稠密子集的充要条件是S满足I-链条件,并由此还得到一个半群是Artin半群的充要条件