2010年江苏高考第13题再研究

文[1]对2010年江苏高考第13题进行了探究,给出并证明了如下的结论:在平面直角坐标系xOy中,点A(-c/2,0),B(c/2,0),若△ABC的另一个顶点C在圆x2+y2=mc2上运动,则b/a+a/b/cosC和tanC/tanA+tanC/tanB分别等于定值2(4m+1)/4m-1和4/4m-1.     

江苏卷第13题

题目 在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别是为a，b，c，且b/a＋a/b=6cos C,则tanC/tanA＋tanC/tanB=____.     

一类三角形不等式问题的探讨

2013年OlympicRevenge 第3题为: 已知a,b,c,d是满足ab+ ac+ad+ bc+ bd+ cd =6的正数,求证:1/a2+1+1/b2+1+1/c2+1+1/d2+1≥2.(1) 文[1]退化思考得到 命题4 已知a,b,c是满足ab+bc+ca =3的正数,求证:1/a2+1+1/b2+1+1/c2+1≥3/2.(2) 在(2)式中令a=√tanA/2,b=√3tanB/2,c=√3tanC/2,则命题4可变为:     

三角形面积公式的一种新的证明

本文利用一个三角恒等式证明三角形的面积公式b,c为△ABC的三边长,p=1/2(a+b+c)是半周长,S是面积. 证明:如图1,⊙I是△ABC的内切圆,半径为r.在Rt△IFA中.tan A/2=IF/FA=r/(p-a)同理tanC/2=r/(p-b), tanC/2=r/(p-c). 证明中要用到三角恒等式tanA/2·tanB/2     

三角代换,巧证代数不等式

正姜坤崇老师文[1]中结合具体实例指出,用代换x=bαcα,y=cαaα.z=aαbα可以有效地证明一类条件为x+y+z=1的代数不等式.笔者读后深受启发,反思后发现该代换其实与三角代换x=tanB/2tan C/2,y=tanC/2 tan A/2,z=     

2005年最具影响力的数学试题分类解读

一、三角函数1.(全国高考题)△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列,且cosB=3/4. (Ⅰ)求cosA+cotC的值; (Ⅱ)设(?)·(?)=3/2,求a+c的值. 解析(Ⅰ)由cosB=3/4得sinB=(1-(3/4)2)~(1/2)=7~(1/2)/4 由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC. 于是cosA+cotC=1/tanA+1/tanC =cosA/sinA+cosC/sinC=(sinCcosA+cosCsinA)/sinAsinC     

Crux Mathematicorum 4380问题的加强

加拿大数学杂志Crux Mathematicorum 2018年第8期4380问题引起笔者关注,本文拟给出该问题的一个加强.4380问题设a,b,c为ΔABC三边,r,R分别为内切圆半径、外接圆半径,求证a^2tanA/2+b^2tanB/2+c^2tanC/2≤3√3R^3(R-r)/2r^2.(1)4380问题的解答详见2019年第6期.     

两个猜想不等式链的初等证明

文[1]证明了两个优美的无理不等式链: ①若a＞ 0,b＞0,则 √a/2a+b+√b/2b+a≤√a/2b+a+√b/2a+b≤2/√3; ②若a＞0,b＞0,则√a/3a+b+√b/3b+a≤1≤√a/3b+a+√b/3a+b.     

《一组猜想不等式的证明》引发的思考

在文[1]中,陆爱梅老师提出一组四个猜想不等式: 猜想1 已知a,b,c是满足abc=1的正数,证明:a2/a3+2+b2/b3+2+c2/c3+2≤1/3(a+b+c); 猜想2 已知a,b,c是满足a+b+c=1的正数,证明:a2/b+c2+b2/c+a2+c2/a+b2＞3/4; 猜想3 已知a,b,c是满足a+b+c=3的非负实数,证明:a+b/a+1+b+c/b+1+c+a/c+1≥3; 猜想4 已知a,b,c是两两不同的实数,证明:(a-b/a-c)2+(b-c/b-a)2+(c-a/c-b)2≥a2+c2/a2+b2+b2+a2/b2+c2+c2+b2/c2+a2.     

一道加拿大《Curx》问题4624的探究

1问题呈现设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2.2问题的证明与推广证明:由已知条件结合均值不等式可得√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b=√ab/3+a+√bc/3+b+√ca/3+c≤√ab/4⁴√ a+√bc/4⁴√ b+√ca/4⁴√c=⁸√a³b⁴/2+⁸√b³c⁴/2+⁸√c³a⁴/2≤1+3a+4b/16+1+3b+4c/16+1+3c+4a/16=3+7 (a+b+c)/16=3+7×3/16=3/2,当且仅当a=b=c=1时取等号,则√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2.     

一道竞赛题的别证与加强

1989年四川省高中数学联合竞赛第二试题1为: 已知a、b、c、d是任意正数,求证: (a/b+c)+(b/c+d)+(c/d+a)+(d/a+b)≥2。本文首先给出此竞赛题的一种简便证法,然后再将竞赛题进一步加强。证根据柯西不等式有 [a(b+c)+b(c+d)+c(d+a)+d(a+b)] ((a/b+c)+(b/c+d)+(c/d+a)+(d/a+b))≥(a+b+c+d)~2。     

平均值不等式之间“间距”大小的探究

在中学数学教学研究的期刊上常出现下述平均值不等式: 设以a,b∈(0,+∞),则a2+b2/a+b≥√a2+b2/2≥a+b/2≥√ab≥2ab/a+b. 本文将给出这五个平均值不等式之间的“问距”大小关系. 命题 设a,b∈(0,+∞),记△1=a2+b2/2-√a2+b2/2,△2=√a2+b2/2-a+b/2,△3=a+b/2-√ab,△4=√ab-2ab/a+b,则△3≥△1≥△2≥△4.等号当且仅当a=b时成立.     

有心圆锥曲线不等式的建立及作用

定理1设x2/a2+y2/b2=1,则a2+b2≥(x+y)2,当且仅当x/a2=y/b2时上式取等号. 证明a2+b2=(a2+b2)(x2/a2+y2/b2)=x2+y2+b2x2/a2+a2y2/b2≥x2+y2+2xy(x+y)2.     

一个有理不等式猜想的证明

文[1]给出了如下不等式:设a,b,c,d＞0且a+b+c+d=1,则a/1+a+b/1+b+c/1+c+d/1+d＜1/1+abcd (1) 文[2]给出了不等式(1)的一个类比 定理 设a,b,c,d＞0且a+b+c+d=1,则a2/1+a2+b2/1+b2+c2/1+c2+d2/1+d2＜1/1+a2b2c2d2(2) 并提出如下.     

基本不等式a~2+b~2≥2ab的变形与应用

基本不等式a2+b2≥2ab在不等式的证明中起重要作用,但有些不等式直接用它去证明比较困难,而应用该不等式的变形去证明却比较方便. 变形1a2+b2≥2ab a2+b2≥1/2(a+b)2. 例 1 已知 a,b,c∈R+,且a+b+c=5,a2+b2+c2=9,试证明:1≤a、b、c≤7/3. 证明:由已知 a+b=5-c,a2+b2≥9-c2,∵a2+b2≥1/2(a+b)2,∴9-c2≥1/2(5-c)2,∴3c2-10c+7≤0,∴1≤c≤7/3,同理1≤a≤7/3,1≤b≤7/3. 例2 设a,b∈R+,且a+b=1,求证:(a+1/2)2+(b+1/b)2≥25/2.     

对一对姊妹无理不等式的探究

本文通过构建函数将文[1]中无理不等式"α,b0,n≥2,n∈N,λ≥2n-1,则a/a+λb n+b/b+λa n≥21+λn"与文[2]中无理不等式猜想"a,b0,n≥2,n∈N,0λ≤n,则a/a+λb n+b/b+λa n≤21+λn"这对姊妹不等式进行整体探究,得到如下结论:设a,b0,n≥2,n∈N,α是关于t的方程λt n-1-n-1i=0Σt2i=0的正根,那么当0λ≤n,则1a/a+λb n+b/b+λa n≤21+λn;当nλ2n-1,则1a/a+λb n+b b+λa n≤f(αn+1);当λ≥2n-1,则21+λn/≤a a+λb n+b/b+λa n≤f(αn+1).     

Klamkin不等式逆向的一个改进

设a,b,c是△ABC的三边边长,则有如下 Klamkin不等式:a/b+b/c+c/a≥1/3(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) (1)文[1]给出了Klamkin不等式的如下逆向形     

教你用等比性质(初一、初二、初三)

等比性质,就是如果a/b=c/d…=m/n,这里 b+d+…+n≠0,那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+m)=a/b这个性质很有用,请看: 1.求值例1已知a/b=c/d=e/f=5/7,求(a-c+3e)/(b-d+3f)的值. 解因为a/b=c/d=e/f=5/7所以 a/b=(-c)/(-d)=(3e)/(3f)     

(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,((a+b)/2+2/(a+b))~2中谁最大?

1982年全国中学生数学竞赛试题中有一道选择题是要判断“当a≠b,a>0,b>0时(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2及((a+b)/2+2/(a+b))~2中哪个最大?”,答案是这三个数中没有最大的,由此产生下列问题:设a≠b,a>0,b>0,A=(a+1/a)(b+1/b),B=(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,C=((a+b)/2+2/(a+b))~2试比较A、B、C的大小?     

聚焦整式加减中的整体意识

意识一:“代”整体 即把题设条件式作为一个整体,直接代入所要求解的代数式进行求解. 例1 若a+b=3,则 (a+b)2-5/a+b+a+b-2的值为——, 思路点拨:由于所要求解的是关于a+b的代数式的值,于是把a+b作为一个整体,直接代人求解即可,详见如下: 解:(a+b)2-5/a+b+a+b-2=(a+b)2-5/(a+b)+(a+b)-2由a+b=3得原式=32-5/3+3-2=25/3.