直线斜率在解题中的应用

直线斜率公式tga=k=y_2-y_1/x_2-x_1.(x_1≠x_2)是解析几何的基础公式之一.直线的斜率在判断两条直线的位置关系以及求直线的倾斜角、夹角等方面,有广泛的应用.然而,在涉及直线与曲线的位置关系这类问题时,若能灵活地应用直线的斜率,就会化繁为简,化难为易.1.应用直线斜率求最大值、最小值曲线上某一点的最大值或最小值,如果采用的切线的斜率来解,往往会出现“柳暗花明又一村”的境况.例1如图1,在平面直角坐标系中,在Y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、B在X轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值.解法:分别设A、B、C三点坐标为A(0.a),B(0,b).C(x,0),∠ACB=θ,这里a>b>o,X>0,θ∈(0,π/2).∴tgθ=K_BC-K_AC/1+K_BC·K_AC=a-b/x+ab/x≤a-b/2/2~(1/ab)∴当x=ab/x时,x=(ab)~(1/ab)时tgθ最大.此时,C点坐标为((ab~(1/ab),0)θ_Max=arctg/a-b/2~(1/ab).2.应用直线斜率求轨迹方程求点的轨迹问题是初等解析几何的重要内容之一.求线段中点的轨迹方程是常见的一类.这类问题解法很多,但灵活地使用线段所在直线的斜率求解,往往会收到事半功倍的效果.例2 如图2抛物线y~2=2PX的准线交抛物线的对称轴于A点,过A引直线交抛物线于B、C两点,求BC中点的轨迹方程.为了说明应用直线斜率求轨迹方程的灵活     

平面点联与平面多边形的面积

设A_1(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)、C(x_3,y_3)是直角坐标平面上不在同一直线上的三个点,如果由A到B,由B到C,再由C到A的方向是逆时针方向,即所谓的正方向,见图1,则此三角形的面积:     

抛物线外切三角形的外接圆

任意一条抛物线Г必交于无穷远直线(?)_∞上一点P_∞,Г的外切三角形分两种情形:(一)三个切点P_1,P_2,P_3都是有限点,过此三点的切线组成△ABC(如图1),也可以看作抛物线Г旁切于△ABC(如图2),实质是相同的.     

用矢量方程图解法作机构的速度分析

机构运动分析的方法很多,主要有图解法和解析法.其中图解法形象直观,对于平面机构来说,一般也较简单,而矢量方程图解法是工程中常用的机构运动分析的图解法之一,它不仅可以用于速度分析,也可用于加速度分析.例如:如图(1)所示为一作平面运动的构件,已知A点的速度(?)=5m/s和方向及B点速度的方向,利用矢量方程图解法求B点速度的大小及C点速度的大小和方向.(取μ_1=5mm/mm,μ_v=0.2m/s/mm)解:根据理论力学可知,此构件上任一点B的运动可以认为是由其随同该构件上另一任意点A的平动(即牵连运动)与绕A点的转动(即相对运动)所合成,因此式中(?)的大小和方向均已知,(?)的方向已知、大小未知,(?)即B点对A点的相对速度,其大小     

一个例题的引伸

我们都知道:两条异面直线间距离是两条异面直线所夹公垂线段的长.而两条异面直线的公垂线是与两异面直线都垂直且都相交的直线.在具体的题目中,要作出两条异面直线的公垂线是不易的.从而直接按定义去求两异面直线的距离也就不易.把立体几何课本上的一个例题加以引伸,就可以把上述较难的问题加以转化,从而得到解决这类问题的一个方法.例:已知两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA’的长度为d,在a 、b上分别取点E、F,如图1设A’E=m, AF=n,求EF.(《立本几何》全一册(必修)42页例2).解:略此题解毕,利用原题图形学生很容易看出以下事实.(1)α是过两条异面直线a、b中一条b而与另一条a平行的平面.(2)AA’⊥α EG⊥α,EG可看成是直线a与平面α的距离.(3)AA’是两异面直线a、b的公垂线段,且EG=AA’由以上事实就可以得到:若求两异面直线间距离可转化成过两条异面直线中的一条有一个平面与另一条直线平行.这条直线和这个平面间的距离就是两异面直线间距离.进而再转化成点到平面的距离.下面就几个例题来说明如何应用.例1:如图2:圆柱的底半顶为2,高为4.线段AB=2(2~(1/6).它的两端分别在上下底面圆周上.求AB与圆柱上下底面圆心连线OO’间的距离.解:设过A点的母线交下底面圆周为C 则AC∥OO’∴OO’∥平面     

一类轴对称的求法“点睛”

“轴对称问题”是高中数学对称问题中的一个重要方面,它在函数和解析几何中都有广泛的应用。图形的基本元素是点,所以图形的对称性往往都转换为点关于直线的对称性来研究,因而点与直线成轴对称便成了轴对称中的重中之重了。研究对称性问题,解析法是一种重要手段,但在坐标平面内,求一已知点关于一直线的对称点的过程一般比较繁琐,就这类问题,有没有特殊规律可循呢?一、通法浏览已知点M(x0,y0),求点M关于直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的对称点M′的坐标。解:设点M′(x′,y′),由M与M′关于l对称得,线段MM′被l垂直平分。(1)当A≠0且B≠…     

平面解析几何中求轨迹方程错解举例

由已知曲线求其方程是平面解析几何的一个重要内容,但往往由于问题分析不够透彻而出现错误.现就容易出现的错误试举几例.例1:求与圆x~2+y~2-6x=0外切且与y轴也相切的圆的圆心的轨迹方程.解:设动圆的圆心坐标为P(x,y)因它与y轴相切,设动圆圆心到y轴的距离为d,则|MP|=d+3即(?)两边平方整理得 (1)但若G是以(-1,0)为圆心,半径为1的圆,它满足已知条件,但不是方程(1)的解.可见,如果认为方程(1)是所求轨迹方程是不正确的.错就错在用坐标x表示距离,动圆的位置不仅可以在y轴右方,而且还可以在y轴左方.正确的解法是:     

法向量教学的补充与完善

高中立体几何教学中,法向量的引入,虽然帮助了师生找到解决综合推理复杂的部分几何问题的代数途径,但是没有相应的量化解决过程,若要探寻其过程和方法,需要在建立空间直角坐标系的前提下,补充相关求直线和平面所成角;求点到平面的距离;求体积;求二面角大小等内容,使得法向量及其应用形成一个较为完整的知识结构是至关重要的。     

三斜求积公式的四种证法

初中代数第四册中的第十五章是解三角形,本章末的复习参考题最后一题为: 17.根据三角形面积公式 S_△=s(s-a)(s-b)(s-c)*1/2(其中s=1/2(a+b+c),a、b、c是三角形三边的长),计算下列各题中三角形面积S_△: (1) a=20,b=13,c=21; (2) a=17,b=21,c=10。 在相应的教学参考书里,编者用余弦定理给出了这个面积公式的详细推导过程,并介绍此公式称为海伦公式。 我们知道,在50年代的教材里,此公式又称为海伦——秦九韶公式。现在的教材不要求学生     

一道课本例题的伴随结论及应用

一、例题的伴随结论及推论高中《立体几何》（必修本）Ｐ１０２有这样一道例题：“已知三棱锥的侧棱垂直于底面,侧面与底面所成的角为,求证：三棱锥由该例可引出结论：的一边平面内,其在平面内的射影为,平面与平面所形成的角为,则事实上,在内过作于,连（如图一）,根据三垂线定理可得：在中,对该结论稍加研究,不难得出如下推论：推论１：的顶点在平面内,它在平面内的射影为,若平面与平面所成的角为,则证明：当的一边与平面不平行时：过点作垂足为,延长交平面。于、连结,过作,垂足为’［如图］,则为平面内的射影,由上述例题…     

利用操作教材 培养探究能力——三角形面积的计算教学片断与反思

三角形面积的计算是九年义务教育六年制小学数学第九册第三单元的教学内容。本人在执教三角形面积的计算时,利用操作教材,培养学生的探究能力。以下是三角形面积的计算教学的一个片断:师:刚才我们复习了平行四边形面积计算的推导过程,就是把没有学过面积计算的图形通过割补的办法,使它转变成我们已经学过的面积计算的图形,推导出它的面积计算方法。今天我们就一起来研究三角形面积该怎样计算(板书:三角形面积的计算),下面请同学们利用操作教材(学具),动手操作,认真思考,探究三角形面积的计算方法,可以独立思考,也可以小组合作讨论。学生经过…     

分分合合创新路──1999年高考数学(理)(21)(Ⅲ)题的另外四种解法

题目：如（图一）,已知正四棱柱ABCD-A-1B-1C-1D_1,点Ｅ在棱Ｄ_1Ｄ上,截面EAC∥D_1B,且面EAC与底面ＡＢＣＤ所成的角为45°,AB=ａ。（Ｉ）求截面EAC的面积;（Ⅱ）求异面直线A_1Ｂ_1与ＡＣ之间的距离(Ⅲ)求三棱锥Ｂ_1一EAC的体积解：（Ｉ）（过程略）,得EO=ａ,Ｓ_(△EAC)=(2～1/2)/2ａ～2,见（图二）（Ⅱ）（过程略）得Ｄ_1Ｄ=2～1/2ａ,即Ａ_1Ｂ_1与ＡＣ的距离为2～1/2ａ,（Ⅲ）高考参考答案中给出了两种解法,本文从图形合并与分解的角度,给出另外四种解法。解法１：分析、先合后分,在（图一）中,连结B_1Ｄ_1,因…     

近几年江西省中考实验试题特点分析

一、典型例题特点分析[97- 4 2 ]已知 :浓硫酸有强烈的吸水性 ,氯化氢气体极易溶于水 ,试根据图 1回答问题。图 1　　 (1)写出 A中发生的复分解反应的化学方程式 :(2 )若用 B、C、D装置处理 A中导出的气体 ,得到干燥纯净的氢气 ,则各装置分别除去的物质 B、C、D(3)若要用干燥纯净的氢气来还原氧化铜 ,则上面各装置中导气管的管口连接顺序应是 a连、连 f、连、连 h;实验时要先通一会儿氢气 ,然后再加热 ,是为了。[分析 ]:由题干可知 ,A中发生的反应有 :2 HCl Zn=Zn Cl2 H2 ↑ (置换反应 )2 HCl Ca CO3 =Ca Cl2 H2 O CO2 ↑ (复…     

研究n边形的一个“母不等式”

60年代初,在波兰的一次数学竞赛中,曾出现过这样一道试题:设x,y,z为实数,则对任意△ABC成立不等式 x~2 y~2 z~2≥2yzcosA 2zxcosB 2xycosC (1) 1984年,张运筹对(1)进行了改进[1],他指出:(1)式成立的条件可放宽为A B C=(2k 1)π(k∈z),且等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC。 1988年,杨之、劳格高度评价了我国“数学奥林匹克派”在研究(1)时所取得的可喜成就,同时也美称不等式(1)是研究三角形的一种独特而有力的工具——“母不等式”。     

中心对称矩阵一类逆特征值问题的最小二乘解

本文研究了如下中心对称矩阵逆特征值问题:问题Ⅰ:已知X∈Rn×m,∧=diag(λ1,λ2,…λm),求A∈CSRn×n,使得‖AX-X∧‖=min.问题Ⅱ:已知A ∈Rn×n,求A～∈SE,使得‖A -A～‖=infA∈SE‖A -A～‖.其中SE是问题Ⅰ的解集.证明了问题Ⅰ、Ⅱ解的存在性,给出了问题Ⅰ解的通式及问题Ⅱ唯一解的表达式.     

用模拟法描绘静电场的实验方法和误差分析

由于直接对静电场进行测量,存在着一些困难,所以通常都是用一个稳定的电流场(模拟场)来代替静电场,间接地测量静电场。方法一实验装置如图1所示。实验仪器交流电源(0-20V),水平仪,水槽,探针,示波器。实验步骤水槽中放入防水坐标纸,加入一定量的水,调节水平。A、B探针接交流电源20V。C、D探针接示波器y轴输入和接地旋钮。将探针C点放在AB间直线上某一等分点,移动探针D,从示波器上观察显示波形。如果是一条直线,D与C点是等位点。再用同样的方法,找出其他一些等位点,将等位点连成曲线,即可得到一条等位线。改变探针C点在AB间直线上的位置…     

悬挂物的重力作用效果演示器

如图 1( a)所示的支架结构 ,在 O点悬挂物的重力对两支件 OA、O B的作用效果如何 ,历来是中学物理有关力的分解部分学生较难理解的一个教学难点。为了让力的这一作用效果直观、形象地展示出来 ,特设计制作本教具。图 1　　一、原理弹簧受到拉力作用将伸长 ,故可用弹簧的形变来演示拉力的作用效果。杆受压的作用效果采用连接杆结合杠杆原理进行放大显示。如图 1( b) ,当 AB杆在 B端受一个沿杆的轴向压力 F,且此力通过 A B杆作用在 A点时 ,将使指针绕轴 O偏转。将上述两方法有机组合 ,即可将图 1( a)中在支架 O点悬挂物的重力对两支件 O…     

两类条件极值问题的简单解法

拉格朗日乘数法,是解决条件极值问题的著名方法,但该法的计算量很大,计算过程冗长、繁杂.本文将从数形结合的角度出发,对两类常见的条件极值问题,提供一种简单的解法.1 求函数f(x,y)=(x-x_0)~2+(y-y_0)~2+p在条件Ax+By+C=0下的最小值.对此类问题,我们可用下法求解:取xy平面上的一点P_0(X_0,Y_0),直线L:Ax+By+C=0及L上一动点P(x,y),如左图:设P_0到L的距离为d,由于“点到直线的距离不大于点到直线上任意一点的距离”,故显然有│p_0p|≥d.应用两点间距离公式及点到直线的距离公式,可得:[(x-x_0)~2+(y-y_0)~2]~(1/2)≥│Ax_0+By_0+C│/(A~2+B~2)(1/2)所以有:     

DNA分子中碱基计算的几种类型

DNA分子的复制严格遵循碱基互补配对的原则;在蛋白质合成过程中,决定一个氨基酸的密码子是信使RNA上三个相邻的碱基.在这部分知识中,涉及到一些有关碱基计算的问题,在做这些题时,学生极易出错.本文把有关碱基计算的问题归纳成几种类型,目的是帮助学生掌握碱基计算的规律和方法.1.某DNA分子,已知任何一个碱基的含量,可求出其它殖基的含量.例:已知某DNA分子,其中 A二 a%,则 G、T、C分别等于多少?解:根据 T=A,得 T=a%则△十T=Za%∴ C+G=1-2a%∵C=G=1/2-a%2.求碱基比例.DNA双链的组成,严格遵循碱基互补配对原则:A=T,C=G,∴就有:A+G/T+C=A+C/T+G=1,而A+T/G+C不一定等于1,可得这样一条原则:在DNA双链中,等于1的碱基比C+T/G+A=1,在两互补链中互为倒数;在双链中不等于1的碱基比A+T/G+C≠1,在两互补链中比值相同.例:某生物的一条DNA分子中基因Y的一条链上C+T/G+A=0.4,基因R的一条链上A+T/G+C=0.8,那么它们互补链上相应的碱基比分别是:A、0.8 0.8B、2.5 1.25 C、0.4 1.25 D、2.5 0.8     

几何解题中的矢量方法

矢量代数是数学、物理等现代科学研究中的重要工具,它对明确概念,简化公式以及掌握客观规律的实质有较大价值.尤其在几何学中更具有直观性与简洁性.此外,利用矢量所具有的特性,还可以使初等数学中的一些问题得到巧妙而又完整的解决.本文将举例说明几何解题中的矢量方法.在举例之前先介绍矢量代数有关结论.用(?)与(?)分别表示从一个固定参照点O到点A与B的矢量,用矢量代数的一般法则,可叙述三点共线的法则如下设A,B与C为平面上三个点, 又设(?),(?)与(?)分别表示从定点O到点A,B与C的三个矢量,B位于线段AC上的充要条件是特别地,当(AB)/(BC)=t时,两个非零矢量(?)和(?)的点积定义为两个非零矢量(?)与(?)垂直的充要条件是1.用矢量的数量积证几何命题对含有垂直,夹角等命题,利用矢量的数量积来解决,有时显得较简捷.例1 证明正四面体不共面的两条棱互相垂直.证 如图(1)在正四面体OABC中,所以,同理可证BC⊥OA,CA⊥OB.例2 证明余弦定理