回忆三十一届IMO（上）

在2008年6月召开的中国数学会历届理事长、秘书长联席会议上．讨论了关于撰写出版《中国数学会会史资料汇编》一书的事。建议由各届理事长分别写一篇回忆。作为第五届理事长,我认为在我任期内最引人瞩目的事就是中国举办了第31届“国际数学奥林匹克（IMO）”,我愿意对这件事作一回顾。本文取材了裘宗沪著：《数学奥林匹克之路——我愿意做的事》（开明出版社,2008年）。写作过程中,得到了吴建平的协助。     

回忆三十一届IMO

一数学竞赛与体育竞赛相类似,它是青少年的一种智力竞赛,所以苏联数学家首创了"数学奥林匹克"这个名词,在类似的以基础科学为竞赛内容的智力竞赛中,数学竞赛历史最久、举办竞赛国家最多、影响也最大.     

第43届IMO预选题解答（下）

组合部分1.本届IMO第 1题 . (哥伦比亚提供 )2 .已知n×n(n是奇数 )的棋盘上的每个单位正方形被黑白相间地染了色 ,且 4个角上的单位正方形染的是黑色 .将 3个连在一起的单位正方形组成的一个L形图称为一块“多米诺” .问n为何值时 ,所有的黑格可以用互不重叠的“多米诺”覆盖 ?若能覆盖 ,最少需要多少块“多米诺” ?(亚美尼亚提供 )解 :设n =2m + 1,考虑奇数行 ,则每行有m + 1个黑格 ,共有 (m + 1) 2 个黑格 .而任意两个黑格均不可能被一块“多米诺”覆盖 ,因此 ,至少需要 (m + 1) 2块“多米诺” ,才能覆盖棋盘上的所有黑格 .由于当n =1,…     

第52届IMO预选题（一）

代数部分 1．本届IMO第1题． 2．求所有正整数数列x1,x2,…,x2011,使得对于每个正整数n,都存在整数a满足     

第52届IMO预选题（二）

组合部分1．本届IMO第4题．2．设1000名学生围成一个圈．证明：存在正整数k（100≤k≤300）,使得在此圈中存在相邻的2k名学生,满足前面的k名学生与后面的k名学生中包含女生的数目相同．     

第53届IMO预选题（四）

1．设A为整数集合,若对于任意的x、y∈A（允许x、y相同）,及每个整数k,均有戈。＋kxy＋y2∈A,则称集合A是“允许的”．求所有非零整数数对（m,n,）,使得包含m、n的唯一允许的集合是由所有整数构成的．     

第54届IMO预选题（四）

数论部分 1．求所有函数f：Z＋→Z＋,使得对于所有正整数m、n,均有（m^2＋f（n））｜（mf（m）＋n）．     

第51届IMO预选题（四）

数论部分 1．求最小的正整数n,使得存在n个不同的正整数s1,s2,…,sn,满足     

第50届IMO预选题（一）

代数部分 1．求最大的整数k,使得下列命题为真．已知任意2009个非退化的三角形．将每个三角形的三边染上颜色,且一条边染上蓝色,一条边染上红色,一条边染上白色．     

第48届IMO预选题（三）

几何部分 1．本届IMO第4题． 2．已知等腰△ABC,AB=AC,M为边BC的中点,X是△ABM外接圆的劣弧MA^上的一个动点,T是∠BMA内的一点,且满足∠TMX=90°,TX=BX．证明：∠MTB-∠CTM的值不依赖于点X．     

第51届IMO预选题（三）

几合部分 1．设锐角△ABC边BC、CA、AB上的高的垂足分别为D、E、F,直线EF与△ABC的外接圆的一个交点为P,直线BP与DF交于点Q．证明：AP=AQ．     

第54届IMO预选题（二）

1．已知n为正整数．求满足下述性质的最小正整数k：给定任意实数a1,a2,…,ad,且a1＋a2＋…＋ad=n（0≤ni≤1,i=1,2,…,d）,总能将这些数拆分为k组（某些组可以是空的）,使得每组中的数的和最大为1．     

第54届IMO预选题（三）

几何部分 1．本届IMO第4题． 2．已知△ABC的外接圆Г,边AB、AC的中点分别为M、N,圆Г不含点A的弧BC的中点为T,△AMT、△ANT的外接圆与边AC、AB的中垂线分别交于点X、Y,且X、Y在△ABC的内部,若直线MN与XY交于点K,证明：KA=KT．     

第53届IMO预选题（一）

代数部分 1．本届IMO第4题． 2．设Z和Q分别为整数集和有理数集．（1）是否能将Z分拆成三个非空子集A、层、C,使得A＋B、B＋C、C＋A两两不交？     

第49届IMO预选题（一）

代数部分 1．本届IMO第4题． 2．本届IMO第2题．     

第50届IMO预选题（二）

1．有2009张卡片,每张卡片一面为金色,另一面为黑色,且在一张长桌子上排成一排．开始时,所有卡片的金色面朝上．两个玩家站在桌子的同侧,且交替地进行操作．每次操作规则如下：选择相邻的50张卡片,且最左边的一张卡片的金色面朝上,其翻转卡片,使得金色面朝上的变为黑色面朝上,黑色面朝上的变为金色面朝上,并规定最后一个按上述规则操作的玩家获胜．问：     

第49届IMO预选题（二）

组合部分 1．考虑平面上边平行于坐标轴的矩形（长和宽均大于0），并称这样的一个矩形为一个“箱子”．如果两个箱子有公共点（包括箱子的内部或边界上的公共点），则称两个箱子“相交”．求最大的正整数n，使得存在n个箱子B1，B2，…，Bn，满足Bi与Bj相交当且仅当i j±1（mod n）．     

第49届IMO预选题（三）

1．本届IMO第1题． 2．已知梯形ABCD满足AB∥CD,在CB的延长线上有一点E,在线段AD上有一点F,使得∠DAE=∠CBF．设直线CD、AB与朋分别交于点I,J,线段EF的中点为K,且K不在直线AB上,证明：点I在△ABK的外接圆上的充分必要条件是点K在△CDJ的外接圆上．     

第47届IMO预选题(下)

1．有n（n≥2）盏灯L1,L2，…，Ln它们要么开着，要么关着．我们每秒钟按照下列方法同时改变某些灯的开关状态：若前一秒钟Li（i=1，2，…，n）和与其相邻的灯（当i=1或i=n时，仅有一盏灯与其相邻，其他情况有两盏灯与其相邻）处在相同的开关状态，则将Li关上；否则，将Li开着．开始时，只有最左边的一盏灯是开着的．证明：     

对第46届（2005年）IMO第5题的探究

第46届（2005年）IMO第5题是一道优秀的平面几何题，它考查的重点是圆过定点的问题。本题的平均得分为2．16分（满分为7分），难度系数为3．86，属于难题的范围。这应当引起各国教育部门和数学教育家的注意。应用平面几何知识，堵养学生观察图形以及分析问题、解决问题的能力是非常必要的。我们从3方面对此题进行探究：（1）圆过定点的位置；（2）一般情况下的证明；（3）把图形运动变化成任意四边形。