再谈对一类余数问题的看法

几年前我曾为本刊写过一篇题为《数学选择题编制之七忌》的拙文,其中列举之第一忌便是忌“题中概念的使用出错”,并举例如下:     

一类余数问题的简单解法

贵刊在2002年第11期发表的《奥赛中的“余数问题”解法例析》及2004年第1期的，《新年趣题巧解》都涉及到1^2 2^2 3^2 … n^2型的和(其中n=2002或=2004)被某个自然数k(约定：这里所指的自然数不含零，下同)除的余数问题，     

求余数找规律

我们知道，任给一个整数A，将自然数1，2，3，4，…依次除以A，所得的余数总是循环重复出现，呈周期性变化．例如，连续自然数1，2，3，4，5，6，…依次除以3，所得的余数分别为1，2，0，1，2，0，…每隔3个循环一次．     

快速求余数法

利用数论中的同余式，研究余数的快速求法。     

关于求余数的一点注记

在除法运算中,为了简化运算步骤,我们常常教学生将被除数和除数同时扩大(或缩小)10~m倍(m为正整数时,扩大10~m倍,m为负整数时是缩小10~m倍)。例如计算: (1) 0.75÷0.25=75÷25=3 (2) 3500÷500=35÷5=7但在求余数的除法运算中,     

一类数列求通项公式问题的探讨

2007年全国高考四川卷．理21：已知函数f（x）=x^2-4,设曲线y=f（x）在（xn,f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn＋1,0）（n∈N^＊）其中x1为正实数．     

求一类线段比的问题

求一条线段被一点(或数点)分成的比的问题,在数学竞赛中时有出现。本文将为这类问题的解决给出一个定理,同时利用该定理对文[1]中的定理给出一个     

一类求(证)定值问题的解法探讨

求(证)定值一类问题,由于所求(证)的结论不明确,不具体,不少同学往往无所适从,不知从何入手,下面略举数例,谈谈这一类问题的解法.     

一类求(证)定值问题的解法探讨

求 (证 )定值一类问题 ,由于所求 (证 )的结论不明确 ,不具体 ,不少同学往往无所适从 ,不知从何入手 ,下面略举数例 ,谈谈这一类问题的解法 .例 1　如图 1 ,正方形ABCD的对角线相交于点O ,O是正方形A′B′C′O的一个顶点 ,如果两个正方形的边长为a ,那么正方形A′B′C′O绕点O无论怎样转动 ,两个正方形重叠部分的面积总是一个定值 ,(人教版几何第二册 ) .图 1　　　　图 2　　　　图 3分析　两个正方形重叠部分的形状是千变万化的、不规则的 ,要证明它的面积是一个定值 ,关键在探明这个定值等于多少 .现在把正方形A′B′C′O旋转到…     

一类周期函数的再探讨

本刊1991年第1期曾探讨如下题目(IMO-10-5): 已知λ>0,f(x)是R上的函数,它满足f(x λ)=1/2 (f(x)-f~2(x))~(1/2)。求证:f(x)是周期函数。 事实上,有更一般的结论: 命题 设λ为大于零的常数,f(x λ)     

一类三角求値题的探讨

题目 1.求cos~210° cos~250°-sin40°·sin80°的值。(1991全国高中联赛) 2.求sin~220° cos~280° 3~(1/2)sin20°·cos80°的值。(1992全国高考题) 3.求sin~220° cos~250° sin20°·cos50°的值。(1995全国高考题) 4.求sin~222° sin~223° 2~(1/2)sin22°·sin23°的值。(自拟题)     

对一类试题的再探讨

在各级各类数学竞赛中,我们经常看到下面这种类型的试题:“马虎做一道减法题时,把被减数十位的6当成了9,把减数个位的3当成了5,结果得217,正确答案是多少?”很多的教师和学生在解决这类问题时,往往通过试算或胡拼硬凑,有些则采取列算式计算的方法,先把错误的算式292-75=217 找出来,然后再由题意还原列出原来的算式:262-73=189。若题中给出的数据是多位数,求解时就非常费时和麻烦,稍不注意,就会掉进命题者设置的“陷阱”而致     

一类函数周期性的再探讨

文[1]讨论了函数方程f(X λ)=(a f(x))/(1-a(f)x) (1)(λ≠0)的解f(x)的周期性.本文对这一问题作进一步探讨.我们把(1)改写为f(x λ)=(a bf(x))/(b-af(x)) (2)这里a,b不同时为零,当b≠0时,以a代a/b,从(2)就得到(1),再将(2)改写为     

构造二次函数求一类最值问题

求最值是竞赛和高考出现的一类题目,有关这类问题的求解涉及很多数学方法与技巧,不易掌握。由于二次函数y=ax~2 bx c(a≠0),当且仅当其判别式Δ=b~2-4ac≤0时,y保号。这一性质在解答一些条件最值问题中具有独特的方法。现举几例说明,以供参考。     

一类广义Vandermonde矩阵的求逆问题

Vandermonde矩阵是矩阵理论中一个重要的矩阵类型,它的许多广义形式在处理矩阵问题时能起到关键的作用.当子块Di的阶数ι,比较大时,利用分块矩阵法给出了一类广义Vandermonde矩阵D的求逆方法及其逆矩阵的分块结构表达式.     

求整数除法中的余数的一种方法

在国内外的数学竞赛中,常有求整数p被整数q除所得余数或与之有关的问题,这类题目的解法往往因题而异,需要根据问题中数字的特征,灵活地应用某些技巧,因而常使选手们头痛。本文将应用下面介绍的整数除法中的几条简单性质,给出求解这类问题的一般思路,使问题按照既定的思路逐步化简,直至求出解答。以下为解题方便,我们把余数概念推广至可以是绝对值小于除数的负整数。设自然数P和q’被自然数d除时,余数     

关于一类求最大速度问题的讨论

在一些书刊上,可以看到如下的一类问题 1.如图1所示,质量分别为M和m的物体用质量不计的细绳通过定滑轮连接。M放在倾角为θ=37°固定光滑斜面上,m放在光滑的竖直杆上,M、m之比为25:9。定滑轮到竖直杆的距离为4米。求m下滑过程中的最大速度(斜面,竖直杆均足够长取g=10米/秒~2) 题后给出的答案提示为:M、m受力平衡时,m有最大速度,v_m=3.65米/秒。     

求一类最小面积问题的简捷方法

解析几何中有这样一个题目:过点P(2,3)的直线与x、y轴的正半轴交于A、B两点,若△AOB的面积极小,求直线AB的方程,并求此面积的极小值.(《中学数学习题选解》P.269人民教育出版社,1980年5月)