双曲线的一个定值性质及其应用

双曲线的一个定值性质及其应用吕佐良（陕西省千阳中学７２１１００）定值性质ＡＢ是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１中不垂直于对称轴的一条弦，Ｍ是ＡＢ的中点，Ｏ是双曲线的中心，则ｋＡＢ·ｋＯＭ＝ｂ２ａ２．证明设点Ａ、Ｂ、Ｍ的坐标分别为（ｘ１，ｙ１）、（ｘ２，ｙ...     

’99高考数学(理)题24别解

题如图（１）,给出定点Ａ（ａ,Ｏ）（ａ＞Ｏ）和直线Ｌ：ｘ＝－１,Ｂ是直线Ｌ上的动点,∠ＢＯＡ的角平分线交ＡＢ于Ｃ．求点Ｃ的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与ａ值的关系．解法１设Ｂ（－１,ｙＢ）,则ＡＢ的方程为ｙｙＢ＝ｘ－ａ－１－ａ．又ｋＯＡ＝０,ｋＯＢ＝－ｙＢ,ｔｇ∠ＢＯＣ＝ｔｇ∠ＣＯＡ,∴－ｙＢ－ｋｏｃ１＋ｋＯＢｋｏｃ＝ｋｏｃ．（１）设Ｃ坐标为（ｘｃ,ｙｃ）,０＜ｘｃ＜ａ,则ｋｏｃ＝ｙｃｘｃ,代入（１）有ｙＢ＋ｙｃｘｃｙＢ·ｙｃｘｃ－１＝ｙｃｘｃ．消去ｙＢ化简得（１＋ａ）ｙ２ｃ＋（１－ａ）ｘ…     

直线斜率公式的应用

在解析几何中,过两点Ｐ１（ｘ１,ｙ１）、Ｐ２（ｘ２,ｙ２）（ｘ１≠ｘ２）的直线的斜率ｋ＝　　　　　。直线斜率公式在证解等式、不等式、数列、三角等方面有广泛应用。 １ 用于证明等式 例１ 已知ａ、ｂ、ｃ为三个互不相等的实数,且ｃ（ｘ－ｙ）＋ａ（ｙ－ｚ）＋ｂ（ｚ－ｘ）＝０,求证： 分析 由待证连等式中的每个分式联想到与其形态相似的斜率公式。 证明 由已知条件可得：　　　　　＝０,故Ａ（ａ,ｘ）、Ｂ（ｂ,ｙ）、Ｃ（ｃ,ｚ）三点共线, ∴　　ｋＡＢ＝ｋＢＣ＝ｋＡＣ, 即　　　　　　　　　　　 ２ 用于证明不等式 例…     

二次曲线的符号法则

在拙文《关于双曲线的内部与外部的辨析》［１］中 ,根据“同侧同号 ,异侧异号”的符号法则 ,我曾指出“当点Ｐ(ｘ０,ｙ０)在双曲线Ｈ :（ｘ－ｈ）２ａ２ -（ｙ－ｋ）２ｂ２ ＝ １的内部时 ,有（ｘ０－ｈ）２ａ２ -（ｙ０－ｋ）２ｂ２ ＞１．”那么为什么二次曲线也有“同侧同号 ,异侧异号”的符号法则呢 ?显然这是由直线的符号法则类推出来的．在新教材高二 (上 )第七章《直线和圆的方程》中有一段重要的叙述 :“由于对在直线Ａｘ +Ｂｙ+Ｃ＝０同一侧的所有点 (ｘ,ｙ) ,把它的坐标代入Ａｘ +Ｂｙ +Ｃ ,所得到的实数的符号都相同 ,所以只需…     

抛物线弦的中点问题

问题　设Ｍ（ｘ０,ｙ０）是抛物线ｙ２＝２ｐｘ的弦ＡＢ的中点,试求直线ＡＢ的斜率ｋ．解　设Ａ（ｘ１,ｙ１）、Ｂ（ｘ２,ｙ２）,则ｙ１＋ｙ２＝２ｙ０,且ｙ１２＝２ｐｘ１,ｙ２２＝２ｐｘ２．∴ｙ１２－ｙ２２＝２ｐ（ｘ１－ｘ２）,故ｋ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝２ｐｙ１＋ｙ２＝ｐｙ０．（当ｙ０＝０时,ｋ不存在）同理若Ｍ（ｘ０,ｙ０）是抛物线ｘ２＝２ｐｙ的弦ＡＢ的中点,则ｋＡＢ＝ｘ０ｐ．显然,用抛物线弦的中点坐标可以很方便地表示出弦所在直线的斜率,与中点弦相关的许多问题都可以此为基础较方便地解决,现举例如下：…     

双曲线中点弦性质的应用

性质　设Ｐ１、Ｐ２是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１上两点,Ｐ（ｘｐ,ｙｐ）是弦Ｐ１Ｐ２的中点,直线Ｐ１Ｐ２的斜率为ｋ,则有　ｙｐｘｐ·ｋ＝ｂ２ａ２．证明较简单,此处从略．应用此性质来解决有关双曲线中点弦的问题,有简捷明快、出奇制胜之感．本文拟谈谈该性质的应用．１　求中点弦例１　直线ｘ＋ｙ－２＝０被双曲线ｘ２３－ｙ２＝１所截得的弦的中点是．解　设弦的中点为（ｘ０,ｙ０）,则由性质可得ｙ０ｘ０·（－１）＝１３,　∴　ｘ０＋３ｙ０＝０．（１）又点（ｘ０,ｙ０）在直线ｘ＋ｙ－２＝０上,∴　ｘ０＋ｙ０－２＝…     

双曲线两条垂直弦的有趣性质

本文介绍双曲线的两条垂直弦的一个有趣性质．运用该性质解决双曲线的焦点弦问题,不但思路直捷,解法明快,而且大大减少运算量,能明显提高解题速度．定理　设ＡＢ是经过双曲线ｂ２ｘ２－ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（ａ＞０,ｂ＞０）焦点的任一弦,若过双曲线中心Ｏ的半弦ＯＰ⊥ＡＢ（｜ｋＡＢ｜＞ｍａｘｂａ,ａｂ）,则有２ａ｜ＡＢ｜－１｜ＯＰ｜２＝１ｂ２－１ａ２（＊）　　证明　（如图）以双曲线右焦点Ｆ２为极点,Ｆ２ｘ为极轴建立极坐标系,则双曲线的方程为ρ＝ｅｐ１－ｅｃｏｓθ．设过焦点Ｆ２的弦ＡＢ的倾斜角为α,于是有｜ＡＢ｜…     

椭圆共点弦的两条性质

本文对下述两个定值问题进行推广：问题如图（１）,图（２）,若ｌ１,ｌ２是过不在椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１上任一点Ｍ（ｘ０,ｙ０）互相垂直的两条直线,且ｌ１,ｌ２与椭圆分别交于点Ａ,Ｂ与Ｃ,Ｄ,则（Ⅰ）１ＭＡ·ＭＢ＋１ＭＣ·ＭＤ＝ａ２＋ｂ２ｂ２ｘ０２＋...     

初三数学期末试题

一、填空题（每小题３分，共４２分）： １．方程（ｘ－２）（ｘ＋１）＝０的根是＿。 ２．点Ｐ（３，－２）关于ｙ轴对称的点的坐标是。 ３．若一元二次方程 ｘ２－（ｍ－１）ｘ＋ｍ－５＝０的两个根互为相反数，那么 ｍ＝＿。 ４．在函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围是。 ４．在函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围是。 ５．关于ｘ的方程ｘ２－４ｘ＋ｋ＝０有实数根，那么实数ｋ的取值范围是。 ６．一次函数的图像过（－１，３）和（０，２）两点，则此函数的解析式为＿。 ７．在函数ｙ＝中，当ｘ－时，函数值ｙ＝。 ８．实数ａ，ｂ满足ａ＋ｂ…     

巧解直线与圆锥曲线的相切问题

我们知道圆ｘ2 + ｙ2 =Ｒ2 在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为ｘ0 ｘ+ ｙ0 ｙ=Ｒ2 如果对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ ≠ 0 )作如下变形 :Ｒ2 Ａ-ＣＲ2 ｘ +Ｒ2 Ｂ-ＣＲ2 ｙ =1.若点Ｐ(- Ｒ2 ＡＣ ,- Ｒ2 ＢＣ )满足圆的方程 ,则直线与圆相切于点Ｐ .椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为 ｘ0 ｘａ2 + ｙ0 ｙｂ2 =1,对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ≠ 0 )作如下变形 :　　　　ａ2 Ａ-Ｃａ2 ｘ+ｂ2 Ｂ Ｃｂ2 ｙ=1.若点Ｐ(- ａ2 ＡＣ , ｂ2 ＢＣ )满足椭圆方程 ,则直线与椭圆相切于点点Ｐ .双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2…     

《因式分解》自测题

一、填空题（每空２分，共２０分）１．ｘ３－２ｘ２ｙ＋ｘｙ２＝ｘ．２．ｂｃ－ａｃ＋ａＢ－ａ２＝（ｃ＋ａ）（）．３．若１２ｘ２－８ｘ－７＝（２ｘ＋１）（６ｘ＋ｍ），则ｍ＝．４．已知ａ＝３．ｂ＝２。则ａ３－２ａ２ｂ＋ａｂ２－ａ＝５．２７－８ａ３＝（３－２ａ）（）．６．１６ｘ＋　　１／４＝（４ｘ＋．）７．ｘ２－ｙ２－２ｙ－１＝（）．８．分解因式：ｘ３＋ｘ２－２ｘ－２＝（ｘ＋１）（）．二、选择题（每题３分，共２４分）１．若二次三项式ｘ２＋ａｘ—１可分解为（ｘ—２）（ｘ＋ｂ），则ａ＋ｂ的值为（）（Ａ）－１；…     

有关平面直角坐标系、函数概念、一次函数中考题选登

１．如果ａ＞０，ｂ＜０那么点Ｐ（ａ，ｂ）在第象限．（吉林省） ２．点Ｐ（－２，－４）关于ｙ轴的对称点的坐标是＿．（安徽省合肥市） ３．已知Ａ（２，ｙ）与点（ｘ，－３）关于ｘ轴对称，则点Ｐ（ｘ，ｙ）为＿．（湖南省娄底市） ４．已知点Ｐ的坐标是（－３，２）Ｐ’点是Ｐ点关于原点Ｏ的对称点，则Ｐ’点的坐标是（安徽省） ５．函数的自变量ｘ的取值范围是＿（山西省） ６．函数的自变量ｘ的取值范围是＿．（湖南省娄底市） ７．函数ｙ＝中自变量ｘ的取值范围是＿．（河北省石家庄市） ８．直线 ｙ＝１２－３ｘ与ｘ轴交点的横坐标…     

数学中考模拟试题(时间120分钟,满分150分)

Ａ卷 一、填空题（每小题３分．共４２分） １．（）－２的相反数是。 ２．用科学计数法表示 ０．００００７３＝。 ３．分解因式４－Ｘ２－ｙ２＋２ｘｙ＝。 ４．当ｘ＝，的值为０。 ５．方程６４Ｘ２＝Ｘ的解是。 ６．在Ｒｔ　ＡＢＣ中，Ｃ＝９０°，ａ＝３，ｂ＝４，则ｓｉｎ Ａ＝＿，ｃｏｓＡ＝＿，ｔｇ Ｂ＝。 ７．如果Ｏ是ＡＢＣ的外心，ＢＯＣ＝８０，则Ａ＝＿度。 ８．正比例函数ｙ＝ｋｘ（０）经过Ａ（－１，－２），则函数解析式为ｙ＝。 ９．计算（－ ａＺ）３·（－ ａ）２＝。 １０．样本 ２、３、６、ａ的平均数为 ３．５，则…     

抛物线中的两种内接三角形

抛物线中的两种内接三角形□周以宏（江苏省盱眙县中学２１１７００）设抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点，顶点为Ｃ，不难证明（１）对直角三角形ＡＢＣ，有Δ＝ｂ２－４ａｃ＝４．（２）对等边三角形ＡＢＣ，Δ＝ｂ２－４ａｃ＝１２．合理地应...     

成果集锦

分割梯形面积的一个不等式定理　在梯形ＡＢＣＤ中,底ＡＢ＝ａ,ＣＤ＝ｂ,ａ＞ｂ,过对角线交点的直线ｌ分梯形为两部分,其面积之差为Δ,梯形面积为Ｓ,则ΔＳ≤（ａ－ｂ）（ａ２＋ｂ２＋４ａｂ）（ａ＋ｂ）３（＝｜ｌ∥ＡＢ）．设梯形对角线交点为Ｏ,过Ｏ作ＥＦ∥ＡＢ,Ｍ、Ｎ分别为ＡＢ、ＣＤ的中点,则ＭＮ过点Ｏ,如图．以下用△ｘｙｚ同时表示三角形和它的面积,Ｓｘｙｚｗ表示四边形的面积．我们分两种情形讨论．（１）ｌ处于ＰＱ位置．作ＥＲ∥ＣＢ交ＯＰ于Ｒ,则Ｒ在ＯＰ上,则△ＰＲＥ≥０,从而△ＰＯＥ≥△ＱＯＦ,同样,△…     

《因式分解》测试题

(满分100分　时间60分钟)一、填空题（每空３分,共３６分）１．－９ｙ２＋１６ｘ４＝（）（）．２．计算：６３２－３７２＝．３．若ｘ２＋ｋｘ－４＝（ｘ＋１）（ｘ＋ｍ）,则ｋ＝,ｍ＝．４．如果ａ＋ｂ＝２,ａｂ＝１,那么ａ２＋ｂ２＝．５．２７ｘ３＋１（３ｘ＋１）（）．６．已知ｙ２＋ｍｙ＋４＝（ｙ－２）２,那么ｍ＝,７．如果ｘ２＋ｋ＝（ｘ－４）（ｘ＋４）,那么ｋ＝．８．如果４ｘ２＋１２ｘ＋９＝０,那么ｘ的值为＿．９．已知ａ２＋ｂ２－２ａ＋６ｂ＋１０＝０,那么ａ＝＿,ｂ＝．二、单项选择题（每小题３分,共１８分…     

初二(下)几何试题

一、填空（每小题３分，共３９分） １．等腰梯形的周长为３０ｃｍ，腰长为７ｃｍ，则中位线长＝＿ｃｍ。 ２．如图（１），ｌ１／／ｌ２／／ｌ３，ＡＤ＝２ｃｍ，ＢＥ＝３ｃｍ，＝，则ＣＦ＝ ３．在矩形、等腰直角三角形、圆、等边三角形四种几何图形中，只有一条对称轴的几何图形是＿。 ４．若 ３ｘ－ ４ｙ＝０，则 ｙ： ｘ＝，（ｘ—ｙ）：（ ｙ＋ ｘ）＝。 ５．已知ａ：ｂ：ｃ＝３：４：５，ａ＋ｂ－ｃ＝４，则ａ＝＿，４ａ＋２ｂ－３ｃ＝＿。 ６．若两个相似多边形的面积之比为４：２５，则它们周长之比为＿。 ７．如图（２），ＡＢＣ…     

用轨迹思想解题

在平面解析几何中,许多问题都与点的轨迹有关,求解此类问题时,若能用轨迹的思想方法去思考,往往会使问题迎刃而解．举例说明如下：１　判断位置关系例１　圆ｘ２＋２ｘ＋ｙ２＋４ｙ－３＝０上到直线ｘ＋ｙ＋１＝０的距离为２的点共有（　　）（Ａ）１个,（Ｂ）２个,（Ｃ）３个,（Ｄ）４个．（１９９１年高考题）分析　（１）先求到直线ｘ＋ｙ＋１＝０的距离等于２的动点的轨迹（两条平行直线）的方程．设与直线ｘ＋ｙ＋１＝０平行且距离等于２的直线方程为ｘ＋ｙ＋ｍ＝０,于是｜ｍ－１｜２＝２,得ｍ＝－１或ｍ＝３,所以ｌ１：ｘ＋…     

内接于抛物线中的三角形面积公式及应用

内接于抛物线中的三角形面积公式及应用安徽省舒城县杭埠中学丁遵标如图，二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ａ的图象，抛物线顶点Ｃ的坐标为（），与ｙ轴的交点坐标为（Ｑ．’·），当其判别式面一ｂ’，４ａｃＭＯ时，他物线与Ｘ轴两交点为Ａ（ｘ；．０）、Ｂ（。。，０）...     

解一类非线性常微分方程的积分因子法

证明了非线性常微分方程「Ａｓ（ａｘ＾ｍ＋ｂｙ＾ｎ）ｘ＾ｓ－１＋ｋａｍ（Ａｘ＾ｓ＋ｂｙ＾ｒ）ｘ＾ｍ－１」ｄｘ＋「Ｂｒ（ａｘ＾ｍ＋ｂｙ＾ｎ）ｙ＾ｒ－１＋ｋｂｎ（Ａｘ＾ｓ＋ｂｙ＾ｒ）ｙ＾ｎ－１」ｄｙ＝０（其中Ａ、Ｂ、ａ、ｂ、ｍ、ｎ、ｓ、ｒ、ｋ为实常数）有积分因子μ＝（ａｘ＾ｍ＋ｂｙ＾ｎ）＾ｋ－１，并求出了方程的通积分，当ａ≠ｂ，ｍ≠ｎ时，上述积分因子在现有文献中极为少见，一些已知结果均是本文结果的特例。