几个函数条件极值的图象解法

一、x~2+y~2的条件极值若f(x,y)=0,求x~2+y~2的极值。设x~2+y~2=c~2,则所求条件极值就是c~2的极值。而x~2+y~2=c~2是以原点为圆心,c为半径的圆族,于是x~2+y~2的条件极值就是圆族x~2+y~2=c~2中c~2的极值。由于x~2+y~2中的(x,y)必满足条件     

求极值的转化策略

1 消元转化 例1.设x~2 xy y~2=9,求x~2 y~2的极值。 通常可消去一元,这里用极坐标:将ρcosθ=x,     

浅谈隐函数极值的求法

利用极值存在的第一、第二充分条件可以解决显函数的极值问题。下面将通过几个例题来初步探讨利用这二个充分条件解决隐函数的极值求解问题。 例1 试求a~2/x~2+b~2/y~2=1的极值。 解 将x~2/a~2+y~2/b~2=1记作(1)式,易知x、y的取值范围分别     

求函数y=(a_1x~2 b_1x c_1)/(a_2x~2 b_2x c_2)极值中的两个问题

在统编教材数学第三册复习题二中涉及到了函数 y=(a_1x~2 b_1x c_1)/(a_2x~2 b_2x c_2),其中 a_1、a_2不同时为零(以后不再说明),求极值的问题。方法是求 y 的值域,即先将     

用距离公式求极值

用点到直线的距离公式和两点间的距离公式求极值,往往比较简便.下面请看两个例子.[例1]已知3x+4y=5,求x~2+y~2的极小值.[分析]等式3x+4y=5是一条直线的方程,而x~2+y~2则表示平面上的点(x,y)到原点的距离的平     

导数应用中的五个误区

导数作为一种工具,在解决数学问题时应用极为方便.尤其是利用导数可以求导数的单调性、极值、最值以及曲线的切线.但在学习的过程中由于概念不清而导致错误的情形也时常发生.本文拟对导数应用中常见的误区作一个简单的剖析.一、极值的条件理解不清例1函数f(x)=x~3+ax2+bx+a~2在x=1处有极值10,求a、b.误解f′(x)=3x~2+2ax+b,由题意知(?),即(?),解得(?),或(?)     

从一个条件极值问题谈起

请看下面的问题:当变数x,y满足条件:4x~2-5xy 4y~2=5时,求函数W=x~2 y~2的最大值和最小值。显然这是一个条件极值问题。联想到x~2 y~2表示动点P(x,y)到原点的距离平方,因此本题实际上是求曲线4x~2-5xy 4y~2=5上的动点P(x,y)到原点的距离(的平方)的极值问题。从这个几何意义及方程4x~2-5xy 4y~2=5的对称性出发,我们至少可以得到以下四种解法:     

2017年高考数学江苏卷第20题的赏析与思考

<正>1原题再现2017年高考数学江苏卷第20题如下:已知函数f(x)=x~3+ax~2+bx+1a>0,b∈(R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b~2>3a;(3)若f(x)、f′(x)这两个函数的所有极值     

从求函数f（x）=x＋b／x＋a的单调区间谈起

本文对求形如f(x)=(ax~2 bx c)/(a_1x~2 b_1x c_1),x∈[α,β](a~2 a_1~2≠0)的最、极值,从一个方面进行审视探究,并给出较简便的解法,为此,先求函数f(x)=x b/(x a)的单调区间。     

用判别式法求一类有理分函数极值存在问题及处理办法

对于实数集上有理分函数:y=(ax~2+bx+c)/(a’x~2+b’x+c’)其中分子与分母是互质的多项(或单项式),且a和a’都不为零.关于求这类有理分函数的极值,书(1)中介绍了判别式法求得的y_(max)(极大值)和y(min)(极小值)它们可能都是函数(I)的极值,也可能有一个不是(I)的极值(参见文(2)).那么,利用判别式法求函数(I)的极值时,究竟何时正确?何时错误?其错误的原因在哪里?     

求三次函数极值的一种初等方法

我们知道,高等数学中对三次函数极值是这样来求的: 设f(x)=x~3 px~2 qx r,则f′(x)=3x~2 2px q. 令f′(x)=0. ①当p~2>3q时,解得由成 当x由小到大经过x_1时,f′(x)由正变负,经过x_2时,f′(x)由负变正. ∴y极大=f(x_1),y极小=f(x_2). ②当P~2=3q时,解得x_1=x_2=-p/3,此时f′(x)≥0恒成立,x由小到大经过-p/3时,f′(x)不变号,故-p/3不是极值点。     

谈谈对数求导法的可靠性

在求导数的方法中,有一个所谓对数求导法.就是先对函数两边取对数,然后再求导数y′.例1 求y=(1+x~2)~(1/2)的导数.解:两边取对数lny=1/2ln(1+x~2)两边对x求导数1/yy′=1/2·2x/(1+x~2)∴y′=·x/(1+(x~2))     

关于椭圆弦中点问题的练习课

这次练习课,我编选了下面的题组:1.过椭圆 x~2/64 y~2/36=1上一定点P(-8,0),作直线交椭圆于 Q 点,求线段PQ 的中点的轨迹方程;2.求椭圆 x~2/4 y~2=1的斜率为1的弦的中点轨迹方程;3.在椭圆 x~2/16 y~2/4=1中,求经过点     

换元要注意等价性

换元法是中学数学中常用的解题方法,利用换元法时,要注意代换的等价性,本刊90年9期《某些特殊类型代数函数极值的求法》一文例3、例4换元有误,勿视了换元的等价性,不妨把原文抄摘如下: 例3 已知x~2-y~2=36,求函数f(x,y)=2/x~2 y/9x 1的极值。     

局限性在那里?

本刊1981年第3辑刊登了《一些初等方法求极值的依据及局限性》一文,作者指出,初等方法所求极值实际上都是“最值”,即“双重极值”,并给出了一个判定双重极值的定理。作者认为,对于那些是极值而不是最值的点,一些初等方法就难以奏效了,这就显示出了这些初等方法的局限性。最近我们陆续收到一些来稿,与该文的作者讨论。现在摘登三篇。此外,作者要编辑部向来稿同志表示感谢。     

每期一题

题:如图,椭圆 x~2/a~2+y~2/b~2=1的切线与两坐标轴分别交于A、B两点,求三角形OAB的最小面积。 (下面一些解法是解析几何极值问题的常用解题方法。) 解法一利用二次函数极值知识。设切点为(x_0,y_0)(x_0>C,y_0>0),则切线AB的方程为     

用零值代换解题一例

已知x~2 x-1=0.求2x~3 4x~2 3的值。(1995,扬州市) 这道题的解法很多,现给出其中一种最简便的解法。 解 由多项式的除法, 原式=(x~2 x-1)(2x 2) 5     

代数式求值九招

在中考试题中,我们常常遇到一类在给定条件下求代数式值的问题,本文介绍能快速求解的九招． 1．利用韦达定理例1 已知x_1,x_2是方程5x~2 2x-1= 0的两根,求x~2_1-3x_1x_2 x~2_2的值．     

函数y=f(x)的解析表达式的几种求法

画函数的图象、求函数的极值、判断函数的奇偶性、确定函数的单调区间等,一般都要以解析式y=f(x)为基础。因之,求出f(x)是必要的。下面介绍几种求法。一待定系数法例1.已知:f(x)为有理整函数且 f(2x)+f(3x+1)=13x~2+6x-1 求:f(x) 解:设f(x)=ax~2+bx+c 则f(2x)+f(3x+1) =13ax~2+(6a+5b)x+a+b+2c ∵ 13ax~2+(6a+5b)x+(a+b+2c) =13x~2+6x-1比较系数得则f(x)=x~2-1。二换元法例2若:f[f(x)]=(x+1)/(x+2)求:f(x)     

用“变换法”求一类有理分函数极值——对用判别式法求有理分函数极值所存在问题的讨论

对于实数集上的有理分函数y=(ax~2+bx+c)/(a'x~2+b'x+c') (1)其中分于与分母是互质的多项式(或单项式),且a与a'都不是零。关于求这类有理分函数的极值,书[1]中介绍了如下的判别式法:将(I)化归为x的二次分程:(a—a'y)x~2+(b—b'y)x+(c—c'y)=0若y有极值,x必须为实数,所以Δ=(b—b'y)~2—4(a—a'y)(c—c'y)≥0