运用相似三角形证明圆中线段比例式或等积式

证明圆中线段比例式（或多积式）是初中平面几何的重点知识．运用相似三角形去证明是最常见的方法,也是近几年来各省市中考命题的重点和热点．下面介绍运用相似三角报证明圆中线段比例式或等积式的基本思路,供参阅．一、直接定相似三角形去证例1已知：如图亚,四边形ABCD内接于①O,过点D的切线DP／／AB,DP与AC的延长线相交于点P．求证,CD。＝CB·CP．分析要证CDZ＝ce·or。g＝g。。。。,。。。。。。段分别在凸DBC和凸PDC中,故只须征西DBC。凸PDC＜＝／l＝LZ,／P＝Z3．由条件可知,／l＝ZZ…·DP／AB,…／P＝／…     

圆幂定理在几何证明中的应用

相交弦定理和切割线定理以及它们的推论统称圆幂定理．在许多涉及国的证明题中可以直接应用它或借助它进行转化获得解决．举例说明如下：一、证明线段相多例回如图1,已知AD、BE、CF分别是凸ABC三边上的高,H是垂心,AD的延长钱交凸ABC的外接圆于点C．求证：DH＝DC．（1997年甘肃省中考题）分析由相交弦定理知DG·DA＝BD·DC．欲证DH＝DC,只须证DH·DA＝BD·DC．为此,只领证凸ABD。凸CHD．由已知易证／BAI）＝／HCD,而LADB。／CDH二印,所以凸ABD。凸CHD．从而结论可证．证明略．二、证明线段比例式（或等积式…     

怎样证明两条边相等

在几何证明中 ,经常要遇到证明两条边相等的问题 ,学生有时无从下手。本文试图结合实例 ,对证明两条边相等作些探讨。一、两条边若不在同一个三角形中 ,可通过两个三角形全等来证明两条边相等例 1.圆内接四边形ABCD的外角∠ DCH =∠ DCA,DP⊥ AC,垂足是 P,DH⊥ BH,垂足为 H,求证 :(1) CH=CP　 (2 ) AP=BH分析 :要证明 CH=CP,我们发现它们分别在两个三角形△ DCH和△ DCP中 ,只要证明两个三角形全等就可以了。那么要证 AP=BH,这两条线段不在同一个三角形中 ,我们也应首先考虑全等。连结 BP,可把 AD、BH放在△ ADP和△ B…     

垂径定理在证题中的应用

垂径定理及其推论说明的是圆中的直径与弦以及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系．应用这对应关系,可顺利地证明一些几何命题．现以几道中考题为例说明如下：例1如图1,已知AlABC内接于①O,BC是④O的直径,AD是AIABC的高,OE／AC,OE交AB于点E．求证：AE＝BE．门998年广州市）简析O为①O的圆心,要证AE二BE,只要证OE上用．证明注意到BC是①O的直径,有fBAC＝op．例2如图2,BC是①O的直径,弦AD上BC于E,ZC＝gr．求证：凸ABD为等边三角形．（199年吉林省）简析显见／D＝／C＝gr．这样,要证凸ABD为等边三角形…     

圆幂定理在几何证题中的应用

圆益定理指的是相交弦定理、切割线定理以及它们的推论．下面举例说明它们在证题中的常见应用．一、证明两条线段相等例1如图1,已知AD、BE、CF分别是凸ABC三边的高,H是垂心,AD的延长线交凸ABC的外接圆于点G．求证：DH＝DG．（1997年,甘肃省）分析由相交弦定理有DG·DA＝BD·＿＿。。＿＿BD·DC＿。、＿＿＿,＿＿＿＿、＿DC．即DC＝y分子上．欲证DH＝DC,只须证——”””——－DA“—”“—““－—一’””””“＿、,BDllL1。＿＿、＿。a＾‘＿＿＾＿＿,＿＿DH＝errs．放考虑证明凸ABD。凸CHD来—““DA“—…     

圆中线段比例式(或等积式)的证明途径

证明圆中的线段比例式（或等积式）是几何证明的重要内容．本文浅谈这类问题的证明途径．一、利用相似三角形图中有许多角度的相等关系，利用这些条件寻找相似三角形，是证明园中线段比例式或等积式的主要思路．例1如图1．已知P是等边凸ABC”的——外接回BC上的一点，CP的延长线和AB的延长线相交于D，连结BP．求证：（1）ZD一Zt”BP；（2）AC’一CH·CD．（199．成都市）思路点投（l）ZI＋zZ一上A一z3一zZWezD，故if一iD；（2）由（1）知if一iD．又zZ一上2．故凸BCP①凸rtw．所以CP·CW一C？BZ＝ACZ证明（1）“．“凸AB…     

证明圆中线段相等的思路分析

证明圆中线段相等,是中考试卷中的常见题型。现按所用知识分类介绍其证明思路．一、用等弧对等弦来证例1已知：如图1,AB是O1的直径,C是O1上的点,以AC为直径作O2,交AB于D,过C作O1的切线,交O2于E．求证：CE＝CD．（1997年镇江市中考题）分析。·AC是直径,…CD上AB;·．－AB是直径,’．AC上BC．于是／2＝／B．又上1＝ZB,’．／l＝／2．．－．AE＝AI）．要证“＝CD,～～～～只须证CE＝CD…·AC是直径,…AEC＝ADC．·”·CE＝CD．获证．二、用垂径定理来证例2如图2,AF是OO的直径,以OA为直径的①C与OO的…     

圆幂定理在解题中的应用

相交弦定理和切割线定理以及它们的推论却称圆幂定理。在解有关圆的问题中，应用广泛、下面举例说明圆幂定理在解题中的应用．一、求线段的长树l如图1，在凸ABC中，AB=AC，／C”一72“．①O过A、B两点且与BC7相切干B．与At、交于D，连结BH．若BC一八一1．项gAC一．（1996年山西省中考题）分析由切割线定理知BC’一CH·AC，即AC·L4C－AD＞一DC’．又AD一AC，／C一72？一易得HI：）—BH一BC一八一1．…AC·（AC一八十1）一（人一1）2，ROHCZ－（八一1）HC－（八一1）2一0解得AC—2·二、求城段的比值例2如图2，PA是…     

阴影部分面积的求法

求图形中阴影部分的面积,通常是根据条件把它转化为规则图形的面积来求,常用的方法有下面几种．一、求差法例1如图1,半圆O的直径AB＝4,过半径以的中点P作CP上OA,交半圆O于C,过C作半圆的切线CN,过A作AM入CN于M,求阴影部分的面积．（1998年,济南市）解法指导…C为切点,连结CO、AC。＊c,则s阴一s梯形Aocu－S扇形Aco．现需求地M。MC及ZAOC．AP＝PO＝l,CO＝2,。。＿＿POICC／AOC＝ie一手．—————““一CO－2”tAOC＝gr．tMCA＝／B＝／ACP,AM＝AP一回,CP＝CM一月．＿。nl。、。。CI。＿。,3c于是…     

圆幂定理在解中考几何计算题中的应用

圆幂定理包含相交弦定理、割线定理、切割线定理．这些定理是圆一章的重点内容．应用圆幕定理进行计算的中考几何题十分常见,现分类举例如下．一、相交弦定理的应用例1如图1,①O;和①O。内切于点P,①OZ的弦AB经过OOI的圆心OI,交OOI于C、D,若AC：CD：DB＝3：4：2,则①OI与OOZ的直径之比为．（1998年,南京市）分析为引用相交弦定理,过切点P作①O。的直径叩,则O1、O。必在直径用上．设AC二3a,贝uCOI＝OID＝OIP＝DB＝Za．“．“01P·OIQ＝01A·OIB,’．2。·OIQ二5。·4。…OIQ＝10a,PQ＝12a…．0OI与0O…     

圆内比例线段的证明方法

圆内比例线段（含等积式）的证明有如下一些方法．一、利用平行线证比例线段例回（1998年邵武模拟试题）如图1,OOI和①OZ相交于点A和B,经过点A的直线分别交两圆于点C、D,经过点B的直线交两圆于E、F,且两条直线相交于点P．求证：PC·PF＝PD·PE＊入lrt7Tf7】＿、。、、、、、,,＿、,厂L分析要证PC·PF＝PD·PE,只须证主、—————————一””””“”一pD一万二．因而只须征EC／／DF·pF”一’‘’””””””———一’‘—“”证明连结EC、AB、DF．zC＝＝ZABE,左ABE＝ZD,ZC＝／D．＿＿’’＿＿＿把…     

运用全等三角形证明中考题

学习了全等三角形的有关知识后,我们可以运用全等三角形的对应边相等,对应角相等的性质来证明一些中考题．例1如图工,AB上BC,AI）上DC,垂足分别为B。D,／l＝／2．求证：AB＝AD．（1997年福州市）分析要证AuB二AD,只要证凸A－BC。rtADC即可．在这两个三角形中,／l＝／2,AC＝AC,有一边和这边的一个邻角对应相等,只要再证／B＝／D或／ACB＝／ACD。根据条件,ABIBC,AD上DC,那么／B＝／D成立．放结论可证,证明略．例2如图八点C是AB的中点,CD．BE,且（：＝BE．求证：／D＝／E．（1998年重庆市）分析要证…     

观察细 证法多

从不同的角度观察初中《几何》第三册第122负例1,可以得到方法各异的多种证法二下面记录的就是笔者在讲授这道例题时师生间的一段对话．题目如图回,已知AB是①O的直径,AC是弦,直线CE和OO切干点C,AD上CE,垂足为D．求证：AC平分／BAI）．老师：这是一道证角的平分线的问题．请同学们想一想,怎样沟通条件和结论之间的联系？学生甲：观察直径AB,如图1,连结BC,则／ACB＝gry,ZB＋ZI＝op…·AD入CE,…／ADC＝gry,zZ＋Z3＝90…·CE是切线,…／3＝fB…．／l＝LZ．即AC平分ZBAD．老师：证得好．观察直径并作出直径…     

直线和圆相切在证题中的应用

在直线和圆的三种位置关系中，以相切为重要，建立在这一关系上的各条定理，在几何证题中应用很广泛．下面举例说明之。一、证明两角相等树1如图1．已知P为圆0外一点．PA、PB分别切圆O于A、B，OP与AB相交于M．C”是AB上一点，求证：zOP（］一／OCM·（1995年天津市中考试题）分析欲证ZOPC”一zOC”M．只须证凸＊＊C①凸＊CM．因zPOC一z（DM，故又须证＊C。＊M一＊P。叭”·连结＊B．易证RtAIP（7BOORtthBO．OB：（7M＝（7OB．而（7B一（入”．于是命题得证．证明由读者自己完成．二、证明两直线平行例2如图2．ABf”…     

圆幂定理在几何计算中的应用

相交弦定理和切割统定理以及它们的推论统称圆幂定理．在解有关圆的问题中,应用广泛．下面举例说明圆幂定理在几何计算中的应用．一、来国的半径例1如图三月0的弦AB与半径OC交于P点,＊是＊c的中点,且AP：PB＝1：2,若AB＝18,则①0的半径等于（）（A）3拓;（B）2拓;（C）厄;（D）4拓．（1997年大连市中考试题）分析延长CO交①O于D,设①O半径为r,则CP一会r,DP一县。由相交弦定理知”””’”””—“－2”’一2’”一’———”—“～——””’PA·PB。PC·PD．因AP：PB一回：2,AB＝18,故——。＿—＿＿。＿＿、…     

立体几何最值的六种求法

一、点移动法例１如图１，在斜三棱柱ABC—A１B１C１中，A１C１⊥BC１，AB⊥AC，AB＝３，AC＝２，侧棱与底面成６０°角．（１）①求证：AC⊥平面ABC１；②求证：点C１在平面ABC上的射影H在直线AB上．（２）求此三棱柱的体积V的最小值．解析（１）（略）．（２）由（１）知C１H⊥平面ABC，∠C１CH＝６０°，∴V＝S△ABC·C１H＝３３√CH．∵CA⊥平面ABC１，∴当点C１在平面ABC１上移动时，点H在AB上移动．由图１知，CH≥AC，AC＝２，∴当H与A重合时，V最小，Vmin＝６３√．二、面展开法例２如图２，在棱长为１…     

证明圆中两角相等的思路分析

在圆中证明两角相等,是中考题中的常见题型．这里结合1998年的中考题介绍如下．一、用等弧所对的圆周角来证例1如图1,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆O的内接四边形ABCD的边AB切小圆O于P,对角钱AC、BD交于Q,小圆半径等于CD长的一半,AK是大圆O的直径．求证：／BAK＝／CAD．（1998,四｝11省）分析只须证BK＝CD,进而要证BK＝CD．连结BK、PO,·．‘AK是大圆的直径,P为切点．易知PO／／BK,’．PO一步BK．又知PO＝“‘’“’””””“一’‘—““’””“一2—““””—”””—～士CD,…BK＝CD．获证．？…     

含30°角的直角三角形

初二几何课本第77页上介绍的等腰三角形判定定理的推论,其实是含3O°角的直角三角形的性质定理,即在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．对于某些与直角三角形有关的几何证明题,灵活应用这个定理,可简化推理过程,获得迅捷的证法．图1图2例2如图2,△ABC中,／C＝90°,B＝30°,ED是AB的垂直平分线,交BC于E,交AB于D．求证：EC＝ED．分析连结AE．要证EC＝ED,只要证RichACE。RtAiADE．在这两个三角形中,因AE＝AE,那么只要证AC＝AI）．练习题凸ABC中,土ACB＝gr,CD是高,…     

构造全等三角形证线段不等式

几何学习中,经常会遇到线段不等式的证明问题．解答它们,有时可考虑应用构造全等三角形的方法,借助它们的对应边相等作桥梁,把要证的线段不等式中的线段转化到同一个三角形中．这样为运用三角形的三边关系定理提供I有利的条件．例1如图1,ohABc中,＊B＞＊c,Al）为角平分线,P为AI）上任意一点．求证：PB－PC＜AB＊c．证明在AB上截取AE二AC,连结PE,得BE＝AB－AC．AE＝AC,／l＝／2,AP＝AP,凸APE＿凸APC．PE＝PC．PB－PE＜BE,PB－PC＜AB－AC．例2如图2,ohABC中,AI）是BC边上的中线．求证：AB＋AC＞…     

圆中线段比例式(或等积式)的证明途径

圆中线段的比例式或等积式的证明，通常是应用平行线分线段成比例定理、射影定理、相似三角形的性质、相交弦定理及推论、切割线定理及推论来解决．例1已知，如图1，△ABC是圆O的内接三角形，圆O的直径BD交AC于E．AF⊥BD于F，延长AF交BC于G。求证：AB2＝BG·BC．（1993年北京市中考题）分析要证明AB2＝BG·BC，只须证这显然是要证明△ABG∽△CBA·由题意知BH是圆O的直径，且AF⊥BD，故连结AH可得∠1＝∠D．又∠D＝∠C，所以∠C＝∠1，并且∠ABG＝∠CBA是公共角．于是△ABG∽△CBA结论得进．（证明过程略）例2如图…