线性矩阵方程(组)的理论

在本文中,如同线性方程组的理论那样,我们建立线性矩阵方程AX=B(XA=B)的理论,其中A是mxn矩阵,X是n×s(s×m)未知矩阵,B是m×s(s×n)矩阵。我们还建立线性矩阵方程sum from j=1 to k(A j Xj=B)(sum from j=1 to k(XjAj=B))的理论,其中Aj(j=1,2,…,k)是m×n j(mj×n)矩阵,Xj(j=1,2,…,k)是nj×s(s×mj)未知矩阵,B是m×s(s×n)矩阵,最后,我们指出,可以建立线性矩阵方程组sum from j=1 to k (Ai jX jBi) (sum from j=1 to k (Xj Ai j=Bi))(i=1,2,…,t)的理论。我们在域F上讨论这些问题。     

审视一道题

我们来看一道题 :已知a、b、c为两两互不相等的有理数 .求证1(a -b) 2 + 1(b -c) 2 + 1(c -a) 2为有理数 .为了运算的简化 ,我们不妨设a >b>c,且设a=b +m ,c=b-n(m >0 ,n>0 ) ,则a-b=m ,b -c=n ,c-a =-m-n ,∴ 1(a-b) 2 + 1(b-c) 2 + 1(c-a) 2=1m2 + 1n2 + 1(m +n) 2=n2 (m+n) 2 +m2 (m+n) 2 +m2 n2m2 n2 (m+n) 2=(m +n) 2 (m2 +n2 ) +m2 n2[mn(m+n) ]2=(m+n) 2 [(m+n) 2 -2mn]+m2 n2mn(m +n)=(m+n) 4 -2mn(m+n) 2 +m2 n2mn(m+n)=(m +n) 2 -mnmn(m+n) .(因 (m+n) 2 -mn >0 ) ①因为a、b、c为两两互不相等的有理数 ,故(m +n) 2 -mnmn(m +n) …     

关于广义m阶Euler—Bernoulli多项式的几个重要恒等式

利用广义m阶Euler_Bernoulli多项式 ,给出了有关广义m阶Euler_Bernoulli多项式的几个重要恒等式 .即 ( 1 ) ∑a b=nEa(mx (m 1 ) )·Eb(mx (m 1 ) ) (a b ) =2E(m)n 1(x) (mn ) - 2 (x-m)E(m)n (x) (mn ) ;( 2 ) ∑a b c =nEa(mx (m 2 ) ) ·Eb(mx (m 2 ) ) ·Ec(mx (m 2 ) ) (a b c ) =2E(m)n 2 (x) (mn ) - 2 [2x- (m 2 ) ]E(m)n 1(x) (mn ) [2 ( 2 -m)x2 2 ( 2m2 -m - 2 )x 2 (m m2 -m3 ) ]·E(m)n (x) (mn ) ;( 3) ∑a b=nE(m)a (x)B(m)b (x) (a b ) =2 n[B(m)n k(x) ](k) (n k) ;其中n ,k为非负整数 ,m为整数 .     

条件二次根式求值的技巧

一、巧用平方法 ,整体代入求值。例 1.已知 nm mn =3 22 ,求nm mn的值。解 :由 nm mn=3 22 两边平方 ,得nm mn 2 =92 ,∴ nm mn=52 。∴ nm mn=52 =12 10。二、巧用过渡值 ,变形求值式 ,整体代入求值。例 2 .已知 x=2 - 12 1,y=2 12 - 1,求二次根式 x2 y2 16的值。解 :∵ x=2 - 12 1=3- 2 2 ,y=2 12 - 1= 3 2 2 ,　∴ x y=6,xy=1。∴原式 =( x y) 2 - 2 xy 16=62 - 2× 1 16=50 =52。三、巧用非负数的性质 ,求出字母的值 ,直接代入求值。例 3.已知 x2 y2 - 6x- 2 y 10 =0。求 ( x y ) 2 - 4 xyx- xy的值。解 :把已知等式左端配方 ,…     

关于图的优美性的一个猜想的证明

在齿轮图Wn的每个齿的顶端分别加上m1,m2,…,mn条长为1的边后构成的图称为顶边星图．记为Wn(m1，m2，…，mn)．当m1=m2=…=mn=k时，简记为记W^n m{1]猜想：W^n m是优美图．本巧妙地构造出一类优美标号，证明了试Wn(m1，m2，，…mn)是优美图．解决了[1]中的猜想，我们的方法与[1]比较更加简洁。     

配方法的应用

正配方法是一种重要的恒等变形,它的应用十分广泛。解题时,若能根据题目的特点,灵活配方,往往能收到事半功倍的效果。一、求代数式的值例1(2011年南通卷)设mn0,m~2+n~2=4mn,则m~2-n~2/mn的值等于()。A.23~(1/2) B.3~(1/2) c.6~(1/2) D.3分析:解题的关键是寻找m~2-n~2与mn的关系。利用配方可以得至m+n、m-n与mn的关系。m~2+n~2=4mn     

一个简单不等式的妙用

众所周知(m-n)~2≥0,即m~2+n~2≥2mn.变形得(m+n)~2≥4mn或mn≤1/4(m+n)~2;当且仅当m=n时取等号。上述不等式虽然很简单,但在求解某些物理问题时相当有用。     

谈某求和公式应用的三个层次

公比不为“1”的等比数列{an}求和公式为:Sn=a1(11--qqn)(q≠1).应用层次一正用【例1】若1<|a|<|b|,求li mn→∞1 a a2 … an-11 b b2 … bn-1.解:因1<|a|<|b|,则||ba||<1,故有li mn→∞1 a a2 … an-11 b b2 … bn-1=li mn→∞1-an1-a1-bn1-b=li mn→∞(1-b)(1-an)(1-a)(1-bn)=li mn→∞anbn·(1-b)a1n-1(1-a)b1n-1=0应用层次二逆用【例2】li mx→1x x2 … xn-nx-1=.解:li mx→1x x2 … xn-nx-1=li mx→1(x-1) (x2-1) … (xn-1)x-1=li mx→1[1 (1 x) (1 x x2) … (1 x x2 … xn-1)]=li mx→1{n (n-1)x (n-2)x2 … [n-(n-1)]xn-1}=n (n-1) …     

用基本不等式求物理极值(初二、初三)

将不等式(m-n)2≥0作简单的变形,可得到(1)m2 n2≥2mn; (2)(m n)2≥4mn. 显然,当且仅当m=n时,等号成立. 用上述不等式求极值,比配方法或判别式法更简捷.     

函数f(x)=|log_ax|的一个性质及应用

<正>由对数函数的图象和性质,不难证明函数f(x)=|log_ax|的如下性质.性质已知函数f(x)=|log_ax|(a>0,a≠1),且0 f(n)时,有mn <1;(3)当f(m) 1.     

特殊矩阵的特征值性质

在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具,在讨论矩阵的性质时给出了矩阵特征值的定义,但对矩阵特征值的性质研究很少,对特殊矩阵的特征值性质的研究更少,而特殊矩阵的特征值对研究特殊矩阵有很重要的意义。我们在研究矩阵及学习有关数学知识时,经常要讨论一些特殊矩阵的性质。为此,本文围绕幂等矩阵、反幂等矩阵、对合矩阵、反对合矩阵、幂零矩阵、正交矩阵、对角矩阵、可逆矩阵等特殊矩阵给出了其主要性质并加以证明,为广大读者学习矩阵时提供参考。     

n-幂等矩阵

给出n-幂等矩阵的定义,并在实数范围内研究n-幂等矩阵.进而讨论并证明了n-幂等矩阵的若干性质.     

一种求摄动矩阵的逆矩阵的方法

应用矩阵的运算法则和逆矩阵的定义，对摄动矩阵（A＋δuv^T）和它的更一般形式（A＋UBV）给出了具体的求逆矩阵公式。     

强酉矩阵及其性质

给出了强酉矩阵的概念,并讨论了它的性质.     

三类特殊矩阵的秩

通过对幂等矩阵、对合矩阵和幂零矩阵的秩的综合讨论,分别得到了一些秩的等式和不等式。     

K-可逆矩阵与K-可换矩阵

给出了K-可逆矩阵和K-可换矩阵的定义,讨论了它们的一些性质,研究了这两种矩阵之间的某些关系,得出了一些新的结果.     

K-可换矩阵与K-反可换矩阵的性质

在文献《K-可逆矩阵与K-可换矩阵》给出的K-可换矩阵的基础上,给出了K-反可换矩阵的定义,并讨论了K-可换矩阵和K-反可换矩阵的一些性质,得到了一些新的结果.     

与矩阵A的伴随矩阵A^＊有关的几个技巧

关于矩阵A的伴随矩阵A^＊是一个非常重要的矩阵,但有关它的命题书上几乎没有涉及,本文举出了有关它的几个命题,并加以证明。     

闭复区间矩阵的逆

多点多元化综合分析评价问题,一直备受人们关注.矩阵本身所固有的多维特性,大大提高了这方面问题的分析处理水平,尤其是闭复区间矩阵的给出,将多点多元化问题中模糊问题得到了很好解决,但是如何来对多点多元化问题继续进行深入研究成为研究重点.本文在闭复区间矩阵基础之上,给出了闭复区间矩阵的逆矩阵,对其进行初步应用,为多点多元化问题有效综合评价应用在理论方面奠定了一定基础。     

用特殊分块法求逆矩阵的一个充要条件及相关的结果

本文给出了用特殊分块法求逆矩阵的充要条件及一些推导结果和应用．