寻找空间中那条隐形的线

一、有了中点配中点,两点相连中位线 例1如图1所示．在平行四边形ABCD中．AB=2BC．∠ABC=120°,E为线段4日的中点．将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE,使平面A’DE⊥平面BCDE．F为线段A’C的中点．     

一题多解

题:已知△ABD和△ACE都是直角三角形,且∠ABD=∠ACE=90°,如图(A),连结DE,设M是DE的中点.(1)求证:MB=MC;(2)设∠BAD=∠CAE,固定Rt△ABD,让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图(B)的位置.试问:MB=MC是否还能成立?证明你的结论.(第八届江苏省初中数学竞赛题)     

问题小世界空间大乾坤——2009年浙江省高考数学理科第(17)题简析

问题 (2009年高考浙江卷理17题):如图,在长方形ABCD中,AB＝2,BC＝1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点,现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC,在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足,设AK＝t,则t的取值范围是__.     

正射影下角与射影角的大小关系探究

有这样一道立体几何题:已知∠B AC的两边与平面M相交于B、C两点,∠B AC所在的平面与平面M斜交,点A在平面M内的射影为A1且A1、B、C不共线,试比较∠B AC与∠B A1C的大小.此题中两个角的大小关系与△ABC的形状有关(或者说直线AB、AC与平面M所成的角有关),还与△ABC与平面M所成的角     

高考江苏卷第19题（Ⅲ）别解

题目 在正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足AE：EB—CF：FA—CP：PB=1：2（如图1），将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF—B成直二面角，连结A1B，A1P（如图2）。     

6．浙江卷理科第17题

题目如图1,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC（端点除外）上一动点,现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC,在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足,设AK=t,则t的取值范围是．     

一道立几题的推广和应用——八五年全国高中数学联赛二试第二题的一种解法

高中立体几何课本(甲种本)习题八中有这样一道题目: 11。一个棱锥所有的侧面与底面所成的二面角都等于a,那么 S佣二 证明:如图1设V一A:刃2…A。S底COSa-为,棱锥,只要证明 S△VAIAi+1 =旦应。A‘A‘十’ COSa(i二r,2,…,九,A。,,与A:重合)即可.也即 证明:设△ABC所在平面与平面M所成的二面角为a,C〔M. (1)若月B与平面M不平行,如图3所示.延长AB与平面M必有一个交点D.设点A在M内的投影是A’,点B在M内的投影是B’,则B尹必在DA产上.由命题1有: S△^‘De=S△^De·eosa, S心a‘ne=S△BDe一eosa,S△人,De一S△a,De一‘S△ADe…     

两道数学竞赛题的又一解法

读了《1987年全国高中数学联合竞赛试题答案及评分标准》后,颇受启发.今对其中第二试的第一、二两题提出我们的解法,供读者参考.一、如图,△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形.现固定△ABC,而将△ADE 绕 A 点在平面上旋转,试证:不论△ADE 旋转到什么位置,线段 EC 上必存在点 M 使△BMD 为等腰直角三角形.     

关注思维发展 彰显素养导向

<正>1试题呈现(深圳中考第15题)如图1,在△ABC中,AB=AC,tan∠B=3/4,点D为BC上一动点,联结AD,将△ABD沿AD翻折得到△ADE,DE交AC于点G,GE△AGE/S_△ADG=______。2解法探究由题意知△ABD沿AD翻折得到△ADE,所以∠ABC=∠AED,因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,所以∠ACB=∠AED。又因为∠AGE=∠DGC,所以△AGE∽△DGC。在下列解法中△AGE∽△DGC的结论不重复证明。     

立体几何与其它数学分支的六大交汇点

一、与函数交汇【例1】等边三角形ABC的边长为a,将它沿平行于BC的线段DE折起,使平面ADE⊥平面BDEC,若折叠后AB的长度为d,则d的最小值为( )     

公式cosθ=S′/S的证明及应用

求二面角的一般方法是根据定义找出二面角的平面角,然后通过论证计算求解,下面介绍一种较简捷的方法,即应用面积射影定理求解,可避免作、找、论证二面角的平面角.面积射影定理:若二面角M—a一N的大小为θ,在平面M内的一个三角形的面积为S,它在平面N上的射影面积为S′,则有:cosθ=S′/S.证:设平面M内的△ABC,且S_(△ABC)=S(1)若△ABC的边AB与交线a重合(如图1),设C在平面N上的射影为C′,则S_(△ABC′)=S′,在平面M内过C作CE(?)a于E,连C′E,则∠CEC′=θ,在Rt△CC′E中:C′E=CE·cosθ.∴cosθ=C′E/CE=(1/2C′E·AB)/(1/2CE·AB)=S′/S.(2)若△ABC的边AB∥平面N(如图2),则过AB作平面N′∥平面N,设C在平面N,N′内的射影分别为C′C″.A、B在平面N上的射影分别是A′、B′则△A′B′C′、△ABC″分别是△ABC在N、N′     

不忘书本重基础 逻辑推理显能力

<正>1试题呈现与特点1.1试题呈现(2018年苏州市中考题第27题)问题1:如图1,在△ABC中,AB=4,D是AB上的一点(不与点A、B重合),DE∥BC,交AC于点E,连接CD.设△ABC的面积为S,△DEC的面积为S'.     

一道重基础宽思路考察思维能力的赛题

江苏省第八届初中数学竞赛第五题是:已知△ABC 和△ACE 都是直角三角形,且∠ABD=∠ACE=90°.如图(a),连结 DE,设 M 为 DE 中点.(1)求证:MB=MC;(2)设∠BAD=∠CAE,固定 Rt△ABD,让 Rt△ACE 绕顶点 A 在平     

一类面积最小问题的简捷解法

定理　若M为∠POQ内一点 ,过M作直线分别交OP、OQ于A、B两点 .则当M为AB的中点时 ,△AOB的面积最小 .　　　　　图 1证明　如图 1 ,设过M的任意直线分别交OP、OQ于A′、B′两点 ,且M不是A′B′的中点 .不妨设MA′ >MB′.在MA′上取MN=MB′ ,则有S△MAN =S△MBB′,∴S△MAA′ >S△MB′B,于是S△A′OB′ >S△AOB.例 1　直线l过点M (2 ,1 )且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B .O是坐标原点 ,当△AOB的面积最小时 ,求直线l的方程 .解　设A(x ,0 )、B(0 ,y) .由定理知 ,当M为AB的中点时 ,△AOB的面积最小 .由中点…     

一个相似模型的提炼与应用

引例1（2009年梅州）如图1所示,E是正方形ABCD的边AB上的动点,EP上DE交BC于点F．设正方形的边长为4,AE=z,BF=Y．求出Y与z之间的函数关系式． 分析 由已知条件可知 ∠AED＋∠BEF=∠AED＋∠ADE=90^。,所以∠BEF=∠ADE．又∠A=∠B=90^。,所以△ADF∽△BEF,     

数学奥林匹克高中训练题（114）

第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.设P为△ABC所在平面内一动点.则使得PA.PB PB.PC PC.PA取得最小值的点P是△ABC的().(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心2.如图1,在矩形ABCD中,AB=1,BC图1=m,O为矩形的中心,PO⊥平面ABCD,PO=n,且在边BC上存在唯一的点E,使得PE⊥DE.若平面PDE与平     

棱台体积公式新证

设 n棱台上、下底面面积分别为 S′,S,高为 h,则体积V=13(S+SS′+S′) h. (1)图 1·先 ·证 ·三 ·棱 ·台ABC- A1 B1 C1 的情形 ,如图 1,连 AC1 ,A1 B,BC1 将它分为三个三棱锥 ,其中VB -A1 B1 C1 =13S′h,VC1 -A BC=13Sh.还剩下一个三棱锥 B- AA1 C1 .作 C1 D∥A1 A交 AC于 D,则VB -A A1 C1 =VB -A A1 D=VA1 -A BD=13S△ A B D·h.现在求 S△ A BD,作 DE∥ BC交 AB于 E,则△ ADE∽△ ACB∽△ A1 C1 B1 ,又 A1 C1 =AD,故△ ADE≌△ A1 C1 B1 ,从而 S△ A D E =S△ A1 C1 B1 =S′.作△ADE的高 EM…     

一道课本习题的变式

<正>引例（教材第12页习题1.4第1题）已知：如图1,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB和AC于点D,E.求证：△ADE是等边三角形.（证明略）对此题进行变式,可以得到一系列数学问题.变式1：将△ADE放到△ABC的外部,探究相等线段.例1如图2,△ABC,△ADE是等边三角形.求证：BD=CE.     

2000年IMO中国国家集训队选拔考试

试 题 一、如图1,在△ABC中,AB=AC.线段。413上有一点D,线段AC延长线上有一点E,使得DE=AC.线段嬲与△AB(:的外接圆交于点T,P是线段。AT’的延长线上的一点.证明:点P满足PD PE=AT的充分必要条件是点P在△ADE的外接圆上.图1 (裘宗沪供题) 二、给定正整数五、m、n,满足1≤＆≤m≤n.试求骞㈠,‘志,卉臀躺的值,并写出推算过程. (许以超供题) 三、对正整数a≥2,记N:为具有以下性质的正整数是的个数:五的a进制表示的各位数字的平方和等于南:证明: (1)M为奇数; (2)对任意给定的正整数M,存在正整数n≥2,使得M≥M. (陈永高供题) 四、设…     

一道中考数学试题的奇思妙解

如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点。请用尺规作图法,在△ABC内,求作∠ADE,使∠ADE=∠B,DE交 AC于 E。(不要求写作法,保留作图痕迹)