一道课本习题的推广命题

正人教版高中数学选修4-4第26页习题2.1第3题是:已知:M是正三角形ABC的外接圆上的一点,求证:|MA|~2+|MB|~2+|MC|~2为定值.笔者在研究此题的过程中,得到了下面一个有趣的推广命题.命题△ABC是椭圆(或圆)C:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a0,b0)的内接三角形,且△ABC的重心是坐标原点O,M是坐标平面内的任意一点,则|MA|~2+|MB|~2+|MC|~2-3|OM|~2为     

求动点轨迹问题中的常见错误

一、忽视或错用绝对值符号忽视或错用绝对值符号 ,会使所求动点轨迹与实际轨迹不符 .例 1　一动圆外切于已知圆ｘ2 +ｙ2 =2ａｘ(ａ>0 ) ,并与ｙ轴相切 ,求动圆圆心Ｍ的轨迹 .解 :如图 ,设已知圆圆心为Ｑ ,Ｍ在ｘ轴上的射影为Ｎ ,依题意得 |ＭＮ |2 +|ＮＱ|2 =|ＭＱ|2 .　　　　　①设动圆圆心的坐标为Ｍ (ｘ ,ｙ) ,则 |ＯＮ|=|ｘ|,从而|ＮＱ|=ａ- |ｘ|.又 |ＭＱ|=|ｘ|+ａ ,|ＭＮ|=|ｙ|,代入①式得ｙ2 +(ａ - |ｘ|) 2 =( |ｘ|+ａ) 2 .化简 ,得圆心Ｍ的轨迹方程为 ｙ2 =4ａｘ　 (ｘ≥ 0 ) ,ｙ2 =- 4ａｘ　 (ｘ <0 ) .②剖析 :这个结论是错误的…     

从解题中培养发散思维

学习数学不能局限于会解几道题,而更重要的是如何想问题,怎样思维的发散,下面通过一题多解谈谈自己的做法. 例:已知点P(x,y)是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上任意一点,另有两点A(1,0),B(-1,0),求|PA|2+|PB|2的最大值及最小值. 分析此题是一     

解题中的添绝对值变形

解答含有绝对值的问题时 ,我们习惯上考虑化去绝对值的方法。这样常常要分类讨论 ,过程较为繁琐。事实上 ,对于某些问题 ,利用添绝对值的变形 ,可避免分类讨论情况的发生。例 1　已知 ab<0 ,求 a2 |b|- b2 |a|+ab(|a|- |b|)的值。解 :由 ab<0 ,a2 >0 ,b2 >0 ,得 a2 =|a2 |,b2 =|b2 |,ab=- |ab|。原式 =|a2 |· |b|- |b2 |· |a|+(- |ab|) (|a|- |b|) =|a2 b|- |ab2 |- |a2 b|+|ab2 |=0。例 2　若 a>0 ,b<0 ,则方程 |x- a|+|x- b|=a- b的解集是。解 :注意到 a- b=a+(- b) >0 ,∴ |x- a|+|x- b|=|a- b|,∴ |a-x |+|x- b|=|(a- x) +(x- b) |,∴…     

一道习题的空间推广

<正>有些平面图形与空间几何体在形状上具有"相似性",如圆与球、正多边形与正多面体.从图形联想到性质,本文将圆及其内接正多边形的一个性质推广至球及其内接正多面体.现行人教A版普通高中课本《数学》(选修4-4)习题2.1第3题:"已知点M是正△ABC的外接圆上的任意一点,求证:|MA|²+|MB|2+|MB|²+|MC|2+|MC|²为定值".为了便于解答该题以及对该题的推广,这里首先引入如下引理.引理以正n边形的中心为始点,各个     

两道解析几何题的探究式教学

新课程标准对课堂教学提出了很高的要求,以典型题目为素材,组织指导学生开展探究式教学,可大大激发学生的探究热情,笔者在一堂解析几何复习课中,用两道典型题目进行探究式教学,现整理如下:问题1设点P(4,2)是圆C:x2+y2-24x-28y-36=0内的一个定点,圆上的动点A、B满足∠APB=90°,求弦AB的中点M的轨迹方程.教师不急于把解法抛给学生,而引导学生分析条件与结论:如何利用∠APB=90°、点M为AB的中点?通过学生独立思考,很快有学生回答:设M(x,y),连结CM.则CM⊥AB.｜CM｜2+｜AM｜2=｜CA｜2.该式中:｜CM｜2=(x-12)2+(y-14)2、｜CA｜2=376…     

巧构直线与圆解决不等式问题

某些不等式问题,若能巧妙的构造直线与圆,利用直线与圆的位置关系来解,可以优化解题过程,化难为易.1证明不等式例1对一切x、y∈R,求证:x2 y2 x2 (y-1)2 (x-1)2 y2 (x-1)2 (y-1)2≥22.分析将4个无理式转译成4个两点间的距离.证明对一切x、y∈R,原式左端看作点P(x,y)与定点O(0,0)、A(0,1)、B(1,0)、C(1,1)的距离之和,|PA| |PB|≥|AB|,|PO| |PC|≥|OC|于是|PA| |PB| |PO| |PC|≥|OC| |AB|=22,当且上仅面当的P无为理OC式与用A代B数的方交法点很时难取证得明等,号但.赋予其几何意义后,不等式证明得很轻松,体现出解析几何中数形结…     

2015年湖北高考(理)第14题的推广与简解

<正>题目已知A(0,2~(1/2)-1)B(0,2~(1/2)+1).过点A任作一条直线与圆O:x~2+y~2=1相交于M,N两点,下列三个结论:①|NA|/|NB|=|MA|/|MB|;②|NB|/|NA|-|MA|/|MB|=2;③|NB|/|NA|+|MA|/|MB|=22~(1/2)中正确的结论有___.有些解析几何问题具有平面几何问题背     

反比例函数y=k/x(k≠0)中k的几何意义

一、比例系数k的几何意义 如图1,若P(x,y)是反比例函数y=k/x(k≠0)上任意一点,过P作PB ⊥x轴于B,PC⊥y轴于C,则S矩形PBOC=|OB|·|OC|=|x|·|y|=|xy|=|k|. 因△OPB与△OPC的面积都等于矩形PBOC面积的一半,于是有S △OOPB=S△OOPC=|k|/2.     

一个绝对值恒等式的运用

命题　已知 a,b∈R,则| a| | b| =max{| a b| ,| a- b| }.证明　若 ab≥ 0 ,则| a| | b| =| a b| ,此时 | a b|≥ | a- b| ;若 ab<0 ,则 | a| | b| =| a- b| ,此时 | a b| <| a- b| .∴对于任意的实数 a,b,都有 | a| | b|=max{| a b| ,| a- b| }.下面举例说明命题中所述恒等式的运用 .例 1　解方程| 2 x- 1 | | x- 2 | =| x 1 | (x∈R) .解　由命题知 | 2 x- 1 | | x- 2 |=max{| 3 x- 3 | ,| x 1 | }=| x 1 | ,∴ | x 1 |≥ | 3 x- 3 | ,两边平方整理得 2 x2 - 5x 2≤ 0 ,解得　　 12 ≤ x≤ 2 ,∴原方程的解集是 {x…     

以少胜多 提高能力

高三数学复习,时间短,内容多,任务重,怎样在短时期内提高应试水平,增强应试能力?下面结合习题谈谈这个问题。题目:设P是圆M:(x-5)~2+(y-5)~2=1上的动点,它关于A(9,0)的对称点为Q,P绕原点O依逆时针方向旋转90°到S,求|SQ|的最值。(《高三数学教学与测试》新三版,P_(202)第7     

运用数形结合求极值

一些极值问题,仅靠代数方法有时感到无从下手,如果建立几何模型,运用数形结合的方法,则非常简便,下面以两例来说明数形结合求极值·例1求代数式|x+1|+|x-5|+|x+3|的最小值·设解数:如轴图上1有所A示、B·、C、P四点,其中A对应-1,B对应5,C对应-3,P对应x,则PA=|x+1|、PB=|x-5|、PC=|x+3|所以PA+PB+PC=|x+1|+|x-5|+|x+3|由几何知识可知,当P在A处时,PA+PB+PC最小·即:当x=-1时,代数式|x+1|+|x-5|+|x+3|的值最小,且最小值为8·例2求代数式x2+4+x2-12x+37的最小值·解:因为x2+4+x2-12x+37=x2+22+(6-x)2+12,所以设线段AB长为6,点D、E…     

极值问题在解析几何中的应用

本文给出用极值求两图形间的距离的方法。一、求点到直线的离距。 1.在平面上,求点A(x_1,y_1)到直线l:y=kx+b的距离d。解:在直线l上任取一点p(x,y),则 |AP|=((x-x_1)~2+(y-y_1)~2)~(1/2) =((x-x_1)~2+(kx+b-y_1)~2)~(1/2) =((1+k~2)x~2-2(x_1+ky_1-kb)x+x_1~2+(y_1-b)~2)~(1/2) =((1+k~2)(x-(x_1+ky_1-kb)/(1+k~2))~2+(kx_1-y_1+b)~2/(1+k~2))~(1/2)当x=(x_1+ky_1-kb)/(1+k~2)时,|AP|取极小值d。所以d=|AP|极小=|kx_1-y_1+b|/(1+k~2)~(1/2)=0给出,则k=-A/B,b=-C/B,于是 d=|-(A/B)x_1-y_1-C/B|/(1+(A~2/B~2))~(1/2) =|Ax_1+By_1+C|/(A~2+B~2)~(1/2)     

2013年全国高考四川卷(文) 20题的极坐标和参数方程解法

从一点出发的线段和角的问题,首选极坐标或直线的参数方程求解,如2013年高考四川卷(文)20题:已知圆C的方程为x2+(y-4)2=4,点O是坐标原点.直线l∶y=kx与圆C交于M,N两点.(Ⅰ)求k的取值范围;(1Ⅱ)设Q(m,n)是线段MN上的点,且2/|OQ|2=1/|OM|2+1/|ON|,请将n表示为m的函数.|解(Ⅰ)将y=kx代入x2+(y-4)2=4,     

椭圆定义的应用举例

<正>一、求方程所表示的曲线的轨迹问题例1已知点M(x,y),x,y∈R满足2((x-1)²+(y-1)2+(y-1)²)2)^(1/2)=|x+y+2|,判断点M的轨迹表示怎样的曲线。解析:若将方程两边平方,化简后并不能直接判断轨迹是什么曲线,并且运算量也很大。但观察式子的结构特点,等号左边的几何意义是点M到(1,1)点距离的2倍,进而     

用图形为解析几何问题“保驾护航”

例1已知圆C:x2+y2-2x-4y+m=0(m<5),若圆与直线l:x+2y-4=0交A、B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求m的值.分析处理圆与直线相交问题时,常用到直角三角形(由弦心距、半径、弦长一半组成),即△CMB,其中CB包含所求,CM容易求,问题转化为只要求出MB即可,而MB是Rt△AOB斜边的一半,与OM相等,只要求出OM即可.M点的坐标可由直线OC和AB联立得到,至此,问题得到解决.具体     

椭圆与共轭直径 有关的一个性质

定理如图,给定椭圆 x~2/a~2+y~2/b~2=1.PP′、QQ′是椭圆一对共轭直径.弦 BB′//QQ′,直线 l//PP′,M 是椭圆上异于 B、B′的任一点.直线QQ′、B′M、BM 分别交 l 于点O′、N、K.记 m=|QQ′|=r|OQ|,P(acos,bsin),B(acos α,bsin α),M(acos β,bsin β),则O′N·O′K=(a~2cos~2+b~2sin~2)/(cos(α-)+cos(β-){r~2[cos(α--cos(β-)]-2rcos(α-)cos(β-)+[cos(α-)+cos(β-)]}.(*)     

数学奥林匹克高中训练题(3)

第一试一、选译题(每小题6分,共36分)1.已知a=355,b=444,c=533.则有().(A)a相似文献   

一道高考题的探究与引申

问题:(2006年高考全国卷Ⅱ第12题)函数 f(x)=|x-n|的最小值是( ).A.190 B.171 C.90 D.45探究:我们知道函数 f(x)=|x-a|+|x-b|(a相似文献   

函数、导数与不等式综合练习

一、选择题1.已知{x|x2-1=0}A{-1,0,1},则集合A的子集个数是().A.3B.4C.6D.82.已知全集I=R,集合M={x|x2-3x-4<0},N={x||x-1|>2},则M∩IN=().A.{x|31是|a+b|>1的充分而不必要条件,命题q:函数y=|x-1|-2的定义域是(-∞,-1]∪[3,+∞)则().A.“p或q”为假B.“p且q”为真C.p真q假D.p假q真4.将奇函数y=f(x)的图像沿x轴的正方向平移2个单位,所得的图像为C,又设图像C′与C关于原点对称,则C′对应的函数为().A.y=f(x+2)B.y=f(x-2)C.y=-f(x+2)D.y=-f(x-2)5.设a>0,…