等腰三角形中的一个“定值”

定理:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和,等于其腰上的高.定理的证明可转化为下列问题:如图1,已知在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上的任意一点,DE⊥AB于E点,DF⊥DC于F点,BG是腰AC的高.求证:BG=DE+DF.     

2010罗蒙诺索夫数学奥林匹克

1．解不等式 （√3-√2）^（log2 3）4-x^2≤（√3＋√2）^-（log3 2）^2x-1.2．在等腰△ABC的底边AC上取一点E,分别在两腰AB、BC上取点D、F,使得DE／／BC,EF／／AB．若BF：EF=2：3,问：△DEF的面积占△ABC的面积的几分之几？     

活用知识多角度解题

中学数学教材知识的编排是按章节分类的 ,知识点之间缺乏相互联系 .活用所学知识 ,把章节之间的知识相互渗透 ,多角度解答数学问题 ,是学好初中数学的关键 .1　利用三角形面积证明几何题例 :求证等腰三角形底边上任一点与两腰的距离的和等于腰上的高 .已知 :如图 1△ABC中 ,AB =AC ,DE⊥AB ,DF⊥BC ,CG⊥AB .求证 :DE +DF =CG图 1分析 :连结AD ,易知S△ABD =12 AB·DE ,S△ADC =12 AC·DF ,S△ABC=12 AB·CG ,AB·DE +AC·DF =AB·CG ,而AB =AC ,故DE +DF =CG .2　利用辅助圆解答几何题例 :如图 2等腰△ABC…     

从一道习题引出的结论

在△ABC(AB>AC)的边AB上取一点D,在边AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线相交于点P,求证:BP∶CP=BD∶CE.     

“极端”探究结论明了

【问题】如图1,点D是等腰AABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF．探索DE＋DF的长是否为一定值,若是,找出这一定值,并加以证明：若不是,说明理由．     

蝴蝶形的妙用

在讲授苏科版七年级（下）《图形的全等》一章时,常常遇到这样一类题： 例1如图1,已知AC⊥BC,在BC的延长线上取一点D,使DC=AC,在AC上取一点E,使CE=CB.试猜想线段DE和AB的关系.     

“极端”探究 结论明了

【问题】如图1,点D是等腰△ABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF.探索DE+DF的长是否为一定值,若是,找出这一定值,并加以证明;若不是,说明理由.     

浅说“数学建模”

先来看两道习题: [例1]如图(一),在面积为34平方厘米的等腰三角形底边上任意取一点P,设这一点到两腰垂线的长分别是a厘米和b厘米。 ①求这个等腰三角形任意一腰上高c     

用复数乘法证两直线垂直

如果arg(z,i)=士arg(22),那么-笼卜-一)02,上022.特别,如211=z:,则-)一一)一一一)—月一>02,一022,且J 02:l=,02:!.现举一例说明其应用。 例。AB、CD是④O相互垂直的直径,AB上取E、CD上取F,使OE二OF。求证:DE土DF,且DE二DF。 证如图2,建立复平面,圆半径为1,!OEI=1 OP!=m,则D、E     

梯形问题中辅助线的常见添法

一、作梯形腰的平行线例１如图１，已知等腰梯形的两底差等于腰长，求底角度数。分析：只要过D作DE∥AB交BC于E，则有EC＝BC－AD＝CD，又CD＝AB，所以DE＝DC＝EC，即△DEC为等边三角形，∠C＝６０°或１２０°。说明：当题设或结论与梯形两腰或两底差有关时，作腰的平行线，将上下底联系起来，往往能解决问题。二、作梯形对角线的平行线例２如图２，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝１，BC＝４，AC＝３，BD＝４，求S梯形ABCD。分析：我们将上、下两底联系起来看，得边长为３、４、５这一勾股数组，这启发我们平移对角线A…     

巧构全等三角形证题例说

1.巧构全等三角形证线段相等例 1.已知 ,如图 ,AB=DE,直线 AE、BD相关于点 O,∠ B与∠ D互补。　　求证 :AO=ED。证明 :过点 A作 AC∥ DE交 BD于 C,则∠ D=∠ 2。∵∠ 1 ∠ 2 =180°,∠ B ∠ D=180°,∴∠ 1=∠ B,∴ AB=AC,∴ AB=DE=CA。在△ ACO和△ EDO中 ,∠ AOC=∠ EOD,∠ 2=∠ D,AC=DE;∴△ ACO △ EDO( AAS) ,∴ AO=ED。2 .巧构全等三角形证角相等例 2 .已知等边△ ABC的边长为 a,在 BC的延长线上取一点 D,使 CD=b,在 BA延长线上取一点 E,使 AE=a b。求证 :∠ ECD=∠ EDC。证明 :过 E作 EF∥ AC…     

等腰三角形中的分类讨论

在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下 ,正确应用分类的思想方法 ,恰当地选择分类标准 ,是准确全面求解的根本保证 .在确定一个等腰三角形的边或角时 ,通常要讨论哪一条边可作为腰 (或底边 ) ,哪一个角可作为底角 (或顶角 )的问题 .本文拟探究其内在规律及解题的思路和方法 ,供同学们学习参考 .例 1　已知等腰三角形ABC中 ,BC边上的高AD =12 BC .求∠BAC的度数 .解　 分三种情况 ,等腰三角形的顶角为锐角时 ,腰上的高在三角形内 ;顶角为直角时 ,一腰为另一腰上的高 ;顶角为钝角图 1 ( 1 )图 1 ( 2 )时 ,腰上的高在三角形外 .(1 )BC…     

应用三角函数定义证中考几何题几例

中考试题中有不少几何证明题,但在考试时,大多数考生都是应用纯几何方法证明的;其实如应用三角函数定义来证明,有时不仅简便,而且利于开阔视野,提高综合证题水平．现举数例说明如下：例1求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等．（199年广西自治区中考题）证明如图1,在凸ABC中,AB＝AC,BD二CD,DE上AB于E,DF上AC于F,故／B＝ZC·．在RtchDEB和Rt凸DFC中,DE＝BDaity／B,DF＝rpsinZC．故DE＝DF．例2如图2,已知AB、AC分别切OO于B、C,P是OO上一点,PD上BC于D,PE上AB于E,PF上AC于F．求证：尸D‘…     

从一道课本习题的提示谈起

几何课本中有这样一道题:在△ABC(AB>AC)的边AB上取一点D,在边AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P.求证BP:CP=BD:CE.(提示:经过点C作AB的平行线CF交DP于F点)     

立体几何中的“动态”实验探究

1折———折叠,平面问题空间化例1(2005年浙江文理12题)设M、N为直角梯形ABCD两腰的中点,DE⊥AB于E(如图1),现将△ADE沿DE折起,使两面角A—DE—B为45°,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则MN连线与AE所成角的大小为()解:将△ADE沿DE折起,满足题设条件,得图2,过M在平面ADE内作     

三角形内角和定理导学

三角形内角和定理:三角形的三个内角之和等于180°.学习这个定理要注意以下几个问题. 一、学会定理证明课本上已给出证明.此外,利用平行线和平角知识还可得到下列证法. 证法一如图1,在三角形的任一边上任取一点,如在AC边上取点D, 过点D作DE∥CB交AB于点E,又作DF∥AB交BC于点F.则∠C=     

中点·中线·中位线

中点是图形中的特殊点 ,中线、中位线是三角形和梯形中的特殊线段。在解题时 ,如能运用相关性质 ,巧添辅助线 ,可使许多问题得到迅速解决。一、直接利用中点定义和中线的性质例 1　已知 :如图 1,△ ABC中 ,BD和 CE是高 ,M为 BC中点 ,P为 DE中点。求证 :PM⊥ DE。略证 :EM、DM分别为 Rt△ EBC和 Rt△ DBC斜边上的中线 ,故 EM=DM=12 BC。又因 PM为等腰△ MDE底边上的中线 ,故 PM⊥ DE。二、利用中点 ,构造中位线例 2　已知 :如图 2 ,△ ABC中 ,AD是高 ,BE是中线 ,且∠ EBC=30°。求证 :AD=BE。略证 :取 CD的中点 F,…     

关于一道几何题的思考

学习数学,要勤于思考,善于思考．例如,对于下面的几何题,只要我们勤于并善于从不同的角度去思考问题,就能给出多种证法．题目如图1,在ΔABC的边AB上取一点E,在CA的延长线上取一点D,使AD＝AE,且DE的延长线经过BC边的中点F．求证：BE＝CD．分析我们知道,在初二上学期的     

对一个"A字型叠加图"的探究

在相似形中有一个基本图形，如图1，含属性DE∥BC，有基本结论AD/AB=AE/AC=DE/BC．我们称图1为“A字型”．为了更进一步熟悉A字型及其基本结论，我们对一个“A字型叠加图”进行一些探究．     

活用课本习题养培多向思维

几何证明题是培养学生数学思维能力的重要渠道之一.在一个问题中,数学思维的起点(即平常所说的解题“突破口”)往往不止一个,如果能抓住这些“突破口”,寻找“一题多解和一题多变”的“途径”,就能变一道题为一组题,使我们学会举一反三、触类旁通,快速提高学习效率.几何教科书中就不乏这样的例子和素材,现就人教版《几何》第二册P70例5加以说明.例:求证等腰三角形底边中点到两腰的距离相等.已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,DB=DC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:DE=DF.分析1对于DE=DF,可根据全等三角形的对应边相等来证明.证法1…