向量与三角形的“四心”

<正>三角形的“四心”即重心、垂心、内心、外心,在三角形中有着极其重要的地位,涉及到“四心”的问题既简洁明了,又新颖别致.向量是高中数学的新增内容,是一个具有代数与几何双重属性的量,向量能以独特的形式反映三角形的“四心”所具有的性质.下面例举有关三角形“四心”的向量关系式.     

向量与三角形的“四心”

三角形与向量的加减法紧密相关,而三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分,你知道它们的向量表示吗？你能证明吗？下面将给出向量与三角形＂四心＂相关的几个结论.     

三角形“四心”的向量视角

三角形“四心”与平面向量有机结合,可拓宽它的应用范围。使很多复杂的几何问题得以解决。若能记住有关三角形“四心”的性质,这样可以大大提高解题速度,简化解题过程,总能起到事半功倍的作用。     

三角形“四心”的向量视角

三角形"四心"与平面向量有机结合,可拓宽它的应用范围,使很多复杂的几何问题得以解决。若能记住有关三角形"四心"的性质,这样可以大大提高解题速度,简化解题过程,总能起到事半功倍的作用。     

向量视角下的三角形“四心”

三角形有外心、内心、重心、垂心,在平面几何中研究过三角形的“四心”的作法,在解析几何中可以利用方程的思想方法求三角形的“四心”,这两种方法,前者侧重几何特性,后者侧重代数运算.由于向量具有代数和几何的双重属性,以向量为视角,研究三角形的“四心”,可以揭示三角形“四心”与顶点及各心之间的联系.一、“四心”依托顶点,各具特色结论1设O是ABC所在平面内一点,则O为ABC外心的充要条件是|OA|=|OB|=|OC|(即点O到3个顶点距离相等)(OA OB)·AB=(OB OC)·BC=(OC OA)·CA=0(即O为三边垂直平分线的交点).证明如图1,设ABC的三…     

类比“四心”探“奇心”

近期笔者在研究三角形四心（内心、外心、重心、垂心）的向量形式时,通过类比联想,探究出三角形另一个“心”（在此姑且称为“奇心”）的一些漂亮结论,在此提出来,和大家一起交流     

关于三角形的“四心”与平面向量的结合

每年全国各地高考试卷中,都有不少试题与三角形的“四心(内心,外心,垂心,重心)”有关,与三角形的“心”有关的向量问题是一类极富思考性和挑战性,又具有相当深度和难度的重要题型,备受各级考试命题者的青睐,经常出现在各级各类考试卷中,学生在解决这些问题时错误率较高,甚至是无从下手.笔者搜集了部分资料,结合本人积累的一些经验,就高中新课标向量的相关知识进行阐述,对有关三角形的“四心”的相关知识进行复习.特别体现出它们之间的结合.     

三角形“四心”的向量形式

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三角形中“四心”的向量式

一、内心的向量式 1.若点O和点P为△ABC所在的平面内一点,并且满足OP=OA＋λ（AB^-AB＋AC^-AC）（其中λ∈[0,＋∞））,则点P的轨迹过△ABC的内心．     

三角形的“四心”与平面向量的结合

三角形的“四心”是指三角彤的外心、内心、重心和垂心．三角形的“四心”在高考试题中时常出现，但教材中没有作专门的论述，许多同学对此知识点的掌握是零碎的、模糊的．现通过一些典型题目，结合平面向量知识分析三角形的“四心”．     

三角形“四心”的判断

<正>三角形的"四心"(即内心、外心、重心、垂心)是中学数学的一个基础知识点,需掌握它们的定义和性质.近几年,以平面向量知识为     

杠杆原理使三角形“四心”统一

有关三角形“叫心”（即重心,内心,外心,垂心）的向量特征的试题在近几年各省的竞赛、模拟和高考试题中频频出现．     

平面向量载体下的三角形“四心”问题

平面向量载体下的三角形“四心”（重心、垂心、外心、内心）问题,是近几年各类试卷命题的一个热点,它具有较强的灵活性,富有一定的挑战性．其设计简洁明快,令人耳目一新．本文采撷数例,并就其解法略加评注,供同学们复习参考．     

三角形“四心”的向量表示

向量的加减法运算是通过三角形法则来完成的,向量与三角形有着密不可分的关系,三角形的“四心”（重心、垂心、内心、外心）又是三角形的重要内容,与“四心”相关的向量题目也是频繁出现,用向量表示“四心”则是常见问题,现归结如下．     

三角形“四心”的向量式充要条件及其应用

2006年数学高考大纲中明确指出：要加强平面向量在平面几何中的应用，纵观近几年的高考题。我们已经体会到这种命题思想的变化，在平面向量在平面几何中的应用问题中．又以涉及三角形“四心”的试题为热点．由于三角形的“四心”与向量之间有着紧密的联系．这就为运用向量法解决这类“心”题提供了可能性。预计2006年的高考还要加大对向量与三角形“心”的交汇问题的考查力度．对此，笔者给出三角形“四心”的向量式充要条件．并结合部分高考题．说明这些充要条件的应用。[编者按]     

例谈平面向量背景下三角形四心问题

本文以高中数学平面向量为载体,探究三角形中的四心问题(即垂心、外心、内心、重心),通过借助平面向量的工具性特征,快速、巧妙地处理三角形中的复杂问题,从而使四心问题达到化繁为简、化难为易的目的 ,本文结合数学实例说明如何进行应用,以便更好地实施课堂教学,提高高考数学复习效率.     

用“心”沟通向量与三角形

在平面向量的学习中，经常会遇到有关三角形的“心”（重心、外心、内心、垂心）的问题，这些问题中包含了三角形和平面向量众多的知识和方法，内容丰富．通过这些问题的训练既可以使同学们掌握向量的有关概念、又可以培养数形结合、分析问题和解决问题的能力，因此利用三角形的“心”，     

平面向量与三角形的“心”

在近几年的高考题和高考模拟题中,与三角形四心——重心、垂心、内心、外心相关的问题频频出现,这主要是考查向量和三角形的基本知识,试题的陈述简明流畅,内涵丰富.既考查了向量的几何运算,又考查了三角形的基     

与三角形的“心”有关的向量综合题分类导析

与三角形的“心”(重心、外心、垂心、内心)有关的向量综合题是一类极富思考性和挑战性的重要题型，倍受各级各类考试命题者的青睐，频频出现在各级各类考试卷中．下面精选出部分典型例题并予以分类导析，旨在探索题型规律，揭示解题方法．