一则函数题的三个解法

07年天津高考第10题（文）题目如下:设f（x）是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f（x）=x²,若对任意的x∈[t,t+2],不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立,则实数￡的取值范围是（ ） （A）[2^1/2,+∞).（B）[2,+∞).（C）(0,2].（D）[-2^1/2,-1]∪[0,2^1/2].     

2002年全国高中数学联赛第15题的讨论

2002年全国高中数学联赛第15题： 设二次函数：f（x）=ax^2＋b＋c（a,b,c∈R,a≠0）满足条件：（1）当x∈R时,f（x-4）=f（2-x）,且f（x）≥x;（2）当x∈（0,2）时,f（x）≤（x＋1/2）^2;（3）f（x）在R上的最小值为0．求最大的m（m〉1）,使得存在t∈R,只需x∈[1,m],就有．f（x＋t）≤x．     

2011年高考必做创新题——探究创新题

第1点信息探究型XINXI TANJIUXING（）必做1已知函数f（x）的图象在[a,b]上连续,定义:f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a,b]）,f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a,b]）,其中,min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值,max|f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值.若存在最小正整数k,使得f₂（x）-f₁（x）≤k·（x-a）对任意的x∈[a,b]成立,则称函数f（x）为[a,b]上的"k阶收缩函数".（Ⅰ）若f（x）=cosx,x∈[0,π],试写出f₁（x）,f₂（x）的表达式.     

函数f（x）=cx＋d/ax＋b的一个恒等式的发现与引申

1问题提出 函数f（x）=cx＋d/ax＋b（ad≠bc,ac≠0）的图象关于（-b/a,c/a）中心对称,故函数有 f（x）＋f（-2b/a-x）=2c/a恒成立,仿此形式,函数f（x）=cx＋d/ax＋b有没有形如f（x）。[第一段]     

一题多解，探根溯源

题目 已知函数f（x）=x^2＋ax＋1/x^2＋a/x＋b（x∈R,且x≠0）,若实数a,b使得f（x）=0有实根,求a^2＋b^2的最小值.（2014年高中数学联赛贵州赛区） 1．一题多解 分析 令t=x＋1/x,则t∈（-∞,-2]∪[2,＋∞）,于是 方程f（x）=0,即t^2＋at＋b-2=0（｜t｜≥2）.（＊）     

不能忽视函数定义域的作用

作为函数三要素之一的定义域,它直接制约着函数的解析式、图象和性质。在解函数问题时,不少学生往往会忽视甚至无视定义域的作用,从而导致错误的发生。本文试举例说明,以期引起大家的注意和重视。例1已知f（槡x＋1）=x＋2槡x,求f（x）。错误解法：设槡t=x＋1,则槡x=t-1,x=（t-1）2。于是f（t）=（t-1）2＋2（t-1）=t2-1,f（x）=x2-1。     

解答函数求值题的六种意识

一、对应意识 例1已知函数g（x）=1—2x,f（g（x））=L≠（x≠0）,求f（1/2）的值．分析解答本题的常规思路是先用换元法求出厂（z）的表达式,即令1-2X=t,求出／（t）的表达式,再代1/2求f（1/2）的值,解答过程较为繁难．其实运用函数的对应关系可得如下简解．     

两道方程的巧解

解下列方程（x∈R）在解之前，先给出一个命题：设奇函数f（x）是严格单调增（减）函数，则方程f（x）＋f（ax＋b）＝0与方程（a＋1）x＋b＝0同解.证明：∵f（-x）＝-f（X），且f（x）是严格单调函数∴方程f（x）＋f（ax＋b）＝0与方程利用上述性质可以巧妙地解此类方程.解1.原方程变形为令f（x）＝X～3＋x，则易证f（x）在x∈R上是奇函数，且是严格单调增函数，则由上述命题知原方程f（x）＋f（5x＋3）＝0与6x＋3＝0同解，由此得，原方程的解为x＝-1/2.2.令x＋1＝t，则原方程可化为显然f（t）满足上述命题条件，从而此关于t的方程与3t＋1…     

二阶中立型逐段常变量微分方程的伪ω周期解

给出了二阶中立型逐段常变量微分方程d^2/dt^2（x（t）＋p（t）x（t-1））=qx（2[t＋1/2]＋g（t,x（t）,x（[t]））d^2/dt^2（x（t）＋p（t）x（t-1））=qx（2[t＋1/2]＋f（t）的伪ω周期解存在唯一性的充分条件.     

关于泛函P（x,t,u,u_k）=︱▽u︱~2＋2Z（t）F（u）的极大值原理

文章讨论了拟线性抛物型方程βt（u）=△u＋f（u） Ω×（0,T）内含有梯度的泛函P（x,t,u,uk）=︱▽u︱2＋2Z（t）F（u）在第一边值问题中满足极大值原理的条件：F（u）=∫10f（s）ds,ΩRN。     

一道高三调研考试题的繁解、错解、简解

问题：（2007年武汉市高三2月份调研考试数学理科第21题） 已知函数f（x）=x^2＋2x＋alnx． （Ⅰ）若函数f（x）在区间（0，1]上恒为单调函数，求实数a的取值范围； （Ⅱ）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．     

从一道错解题谈函数的定义域

问题：已知函数f（x）＝2＋log2x，x[1，9]，求函数g（x）=[f（x）]2＋f（x2）的最大值和最小值．当t=0时，即x=1，函数g（x）有最小值6；当t=3时，即x=9，函数g（x）有最大值33．上题的解法是1999年出版的一本资料上给出的．此题我又作为函数一章的测试题给学生做，结果表明约80见的学生与上面解法相同．上面的解答是错误的，它犯了偷换概念的错误，忽视了函数f（x）与g（x）中相同字母变量X的意义是不同的．g（x）是由函数f（x）与x2复合和运算而的，由于f（x）的定义域为[1，9]，所以g（x）定义域应由条件决定，即g（x）的定义域为[1，3…     

高屋建瓴 势如破竹——函数凹凸性在解题中的应用

某市模拟考试中，将2006年四川省高考题改编得如下一道题目： 已知函数f（x）=x^2＋2x＋αlnx。（1）若f（x）在区间（0，1]上恒为单调函数，求实数α的取值范围；（2）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数α的范围。[第一段]     

一类带有p—Laplace算子的方程解的有界性

研究方程（Фp（x＇））＇＋λ2Фp（x）＋f（x）=e（t）的拉格朗目稳定性,其中Фp（s）=｜s｜p-2s,p≥2为常数;当x→∞时,扰动项f（x）=o（x）;e（t）为2πp周期函数,且πp=2π（p-1）1/p/psinπ/p.     

大于零与R＋一样吗？

题目：已知函数f（x）=lg（ax2＋2x＋1）的值域为R,则实数a的取值范围是（ ）。     

一个拟线性两点边值问题存在唯一性定理

在f(t,x),fx(t,x)α（t),α′（t),β（t)连续,fx(t,x)≥-β（t）,β（t）≤π^2 [α^2(t)-2α′(t)]/4,且β(t)≠π^2 [α^2(t)-2α′(t)]/4条件下,证明了拟线性两点边值问题x″=α(t)x′ f(t,x),x(0=a,x(1)=b,对于任给实数a,b都有唯一解。     

三次多项式各阶导数仅有整根的一个证明

本文研究了三次多项式各阶导数仅有整根的问题，给出了f（x）=x（x—a）（x－b），当且仅当a=3rt（2s＋t），b=3rs（2t＋s）时，f（x）各阶导数仅有整根的一个证明。     

积分第二中值定理的中间点ζ的导函数的一致连续性

本文主要研究按积分第二中值定理结论：x∫a f（t）g（t）dt=f（a）ζ∫ag（t）dt＋f（x）x∫ζg（t）dt确定的中间点ζ,作为x的函数,当满足某些条件时,ζ（x）在[a,＋∞）上的严格单增性、连续性、可微性,和ζ＇（x）在（a,A]、[a,＋∞）上的一致连续性顺便指出文[1]定理2中的一个条件错误.     

符合f[f（x）]= x＋1/x＋2的f（x）存在吗？

文[1]指出，标题中函数方程的解不仅有f（x）=1/1＋x，还有f（x）=2x＋1/x＋3．     

拟线性第二边值问题的一个附注

在f(t,x),β（t),fx(t,x),α′（t)连续,fx(t,x)≥-β（t),4β（t）≤-β（t）,4β（t）≤π^2 α^2(t)-2α′（t）,4β（t）≠π^2 α^2(t)-2α′（t）等主要条件下,证明了拟线性第二边值问题x ″=α（t）x′ (t,x),x(0)=α,x′(1)=b有唯一解。