巧用加零法,妙求3/cosx+2/sinx的最小值

问题 求3/cosx ＋2/sinx（o〈x〈π/2）的最小值． 文[1]利用柯西不等式的一个推广将此问题得到解决,文[2]利用导数也将此问题获解,文[3]又利用基本不等式将此问题解决．受文[1]、[2]、[3]的启发,笔者经过研究发现,此问题可用加零法,引入参数也能很方便的求解．而且相比之下,此方法更为简捷,技巧性不强,更容易让学生接受与掌握．现将此问题的解答过程呈现如下：     

利用凸函数性质巧求3/cosx+2/sinx的最小值

问题 求y=3/cosx＋2/sinx（0〈x〈π/2）（＊）的最小值 文[1]、文[2]分别利用柯西不等式的推广、导数知识将此问题得以解决,文[3]巧用基本不等式,通过两次缩小妙求问题的答案．最近笔者研究发现,利用凸函数性质也可以巧妙获解．本文给出这个巧解,以飨读者．     

妙求3/cosx+2/sinx的最小值

问题 求3/cosx＋2/sinx（0〈x〈π/2）的最小值。 文[1]利用柯西不等式的一个推广将此问题得到解决，文[2]利用导数也将此问题获解。经笔者研究发现，此类问题用基本不等式也能很好地解决，且相比之下，较文[1]和[2]似更巧妙、明快、简捷一些，给人有耳目一新的感觉。现将此问题的解答过程表述如下。     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^x最小值猜想的简证

文[1]在文末提出猜想：f（x）=a/cos^nx＋b/sin^x（0〈x〈π/2,a、b为大于0的常数，n∈N^＊当且仅当x=arctan n＋2√b/a时，取最小值（2/an＋2＋2/bn＋2）n＋2/2,文[2]用相当长的篇幅且非常繁杂的方法证明了文[1]提出的猜想是正确的．本文将直接运用均值不等式给出文[1]猜想的一个简单漂亮的初等证明．     

一类分式不等式的几个创新结果

文[1]给出不等式：若a,b〉0,a＋6=1,则3/2〈1/1＋a^3＋1/1＋b^3≤16/9.文[2]、[3]对该不等式作了推广．本文给出我们发现的三个创新结果．     

Minc-Sathre不等式的加强及简便证明

文献[1]中给出了Minc-Sathre不等式 n/n＋1〈n√n!/n＋1√（n＋1）!〈1 （n∈N^＊）① 此不等式可以用高等数学中的Stirling公式证明．文[1]给出了它的两个初等证明．文[2]给出了它的一种加强：     

对一道猜想不等式的别证

对文[2]提出的一般的猜想不等式,文[1]用柯西不等式、幂平均不等式等对其进行了证明．这里,我们尝试用拉格朗日条件极值法来重新解决这个问题．     

巧用向量数量积的几何意义再探一类问题

有一类容易出错的问题：若θ1〈α〈β〈θ2,θ1、θ2为定值,求mα＋nβ的范围,易错点是漏掉α〈β这个约束条件．文[1]利用不等式变形的技巧和分类讨论的思想解决问题;文[2]将问题转化为线性规划问题：     

巧求函数y=a/cox^n x＋b/sin^n x的最小值

题目 设a、b、n〉0,0〈x〈π/2．求函数 y=a/cox^n x＋b/sin^n x的最小值． 对此问题,文[1]、[2]、[3]都得到了很好的解决,但解决的办法都比较繁．在此,笔者采用构造“数字式”解决此问题．     

也谈利用柯西不等式及其推论证明不等式

文[1]在分析文[2]解题过程后,从柯西不等式出发,推导出两个推论(推论1和推论2),并通过举例试图说明利用这两个推论可方便迅速地解决很多不等式证明问题.笔者仔细研读后,发现文[1]中给出的方法比文[2]的方法方便得多;但同时也发现文[1]对柯西不等式表达不够严谨,给出的两个推论过于特殊化(受条件     

一个猜想的简证

文[1]在文末提出猜想：f（x）=a/cos^nx＋b/sin^n（0〈x〈π/2,a，b为大于0的整数，n∈N^＋。）当且仅当z=arctan n＋2√b/a时取最小值（2/an＋2＋2/bn＋2）n＋2/2．文[2]用相当长的篇幅且繁琐的方法证明了文[1]提出的猜想是正确的，本文将直接运用均值不等式给出文[1]猜想的一个简单的初等证明．[第一段]     

一类数列不等式的巧证

拜读文[1],觉得很受用．因为文[1]给出两类不等式证明的一些共性与规律,让学生有章可循,而不是盲目地探索．笔者在教学实践中发现,还有一类数列不等式：a1＋a2＋a3＋…＋an〈m（其中m为常数）就不能用文[1]提供的方法来证,但可用与其类似的方法来解决．     

一个不等式猜想与双圆四边形的一个性质

文[1]提出了100个待解决的不等式猜想问题,其中第95个问题是:设锐角三角形的三边长、三旁切圆半径、内切圆半径和外接圆半径分别为a、b、c、r_a、r_b、r_c、r、R,则r_a/r_b r_b/r_c r_c/r_a≥1 R/r．文[2]给出了此猜想的肯定性质证明．本文介绍此猜想的一个类似     

“待定系数法”在解证不等式问题中的应用

“待定系数法”是指对于有些具有某种确定形式的数学问题,可以引入一些待定的系数,利用已知条件列出含有待定系数的方程（或方程组）来解决．笔者深受文[1]、[2]的启发,归纳了利用一些重要不等式（如均值不等式、柯西不等式等）解证有关不等式时巧妙利用“待定系数法”,化解难点的方法．下以数例予以说明．     

利用函数思想解决一个不等式“猜想”问题

文[1]提出一个有趣的“猜想”问题：对于怎样的实数α，当x、y∈R^＋，且x≠y时，恒有如下不等式｜1/1＋x^α-1/1＋y^α｜〈｜x-y｜成立？文[2]发现：当｜α｜≥4及α=1/2时，该不等式不成立；从而猜想：除了α=0，±1，±2，±3外，对于其它α的值不等式不成立．     

一个分式不等式的引申及应用

在文[1]中,作者通过变量代换,把一类分式不等式的分母化为单项式,进而利用均值不等式和适当的放缩证明不等式．在本文中,我们通过对一道常见习题的引申,给出了此类分式不等式的另外一种简洁证明．在文[2]中,有如下的范例：例已知a、b、x、y均为正实数且(a~2/x) (b~2/y)= 1,证明：x y≥(a b)~2(为方便引申,叙述已经过修改)．     

一类分式不等式的证明不同解题策略的比较

对一类轮换对称分式不等式的证明,本刊曾先后发表文[1]、文[2]、文[3]和文[4].其中文[1]用a^2＋b^2≥2ab的变式（a^2）/b）≥2a-b（b〉0）（以下简称变式（1））;文[2]用a^2-ab＋（b^2）/4≥0的变式（a^2）/b≥a-b/4（b〉0）（以下简称变式（2））;文[3]和文[4]利用不等式等号成立的条件,配凑后使用均值不等式来证明.     

离散型Hoeldel不等式与加权均值不等式的推广

文中的定理2给出了Holdel不等式在∑j=1^n1/pj≥1时的推广形式．我们将对0〈∑j=1^n1/pj〈1和∑j=1^n1/pj〈0时给出其推广形式,并给出文[3]中的加权均值不等式在pj〈0时的推广．     

一个分式不等式链及其证明

文[1]提出一个猜想：若正数a,b,c满足abc≥1,则（a/b＋b/c＋c/a）（b/a＋c/b＋a/c）≥（a＋b＋c）（1/a＋1/b＋1/c）,文[2]将猜想的条件扩大为a,b,c为正数,并提出几个结构类似的不等式,笔者在学习文[1]和文[2]的基础上,利用柯西不等式及其推广给出文[1]中的猜想及其几个形似不等式的证明.     

{1＋1/n}^n〈3（n∈N^＊）的又一种证法

不等式{1＋1/n}^n〈3（n∈N^＊）的证明通常是利用二项式定理将{1＋1/n}^n展开，然后结合不等式的放缩技巧完成．笔发现，可以利用导数对此不等式给出一种简捷的证明，其证法如下：[第一段]