用累乘法求递推数列的通项公式

给出数列{an}的递推公式和首项a1,求数列{an}的通项公式,往往我们可以将所给出的递推公式进行变形,使问题转化为所熟知的bn+1=f(n)bn形式,当bn≠0时,变形得到(b(n+1))/bn=f(n),则由累乘法可得bn=bn/(b(n-1))·(b(n-1))/(b(n-2))…b3/b2·b2/b1·b1= f(n-1)f(n-2)…f(3)f(2)f(1)b1,若f(n-1)、f(n-2)、…、f(3)、f(2)、f(1)的积容易求出,则数列{bn}的通项公式可求出,从而得到数列{an}的通项公式.     

用待定系数法求一类数列的通项公式——一道高中数列习题的推广

高中代数(甲种本)第二册77页上有这样一道习题: 已知数列{a_n}的项满足 a_1=b a_(n+1)=ca_n+d(c≠1),证明这个数列的通项公式是 a_n=(bc~n+(d-b)c~(n-1)-d)/(c-1) 我们把这题推广成: 已知数列{a_n}的项满足 a_1=a a_(n+1)-ba_n=c_0+c_1n+c_2n~2+…+c_mn~m,其中b≠0,求这个数列的通项公式. 这类问题,可以用待定系数法解决.以     

叠数数列通项公式的探求

高中教材及各种教学资料中没有把叠数数列鲜明地提出来 ,即使出现一些比较简单的叠数数列 ,也让人感到无从下手 .本文欲通过叠数数列通项公式的探求 ,让大家掌握对任意位数叠数数列通项公式的求解 .1　一位数的叠数数列的通项公式观察下面几个数列 :1 ,1 1 ,1 1 1 ,1 1 1 ,…2 ,2 2 ,2 2 2 ,2 2 2 2 ,…3,33,333,3333,……………9,99,999,9999,…像这样首项为 1位数 ,以后各项都是首项的数字重写 ,且重写的次数与项数相同的数列 ,称为一位数的叠数数列 .最大一位数叠数数列的通项公式易得 an=1 0 n- 1 ( n∈ N) ,且自上而下各数列相对应项…     

关于一类“数列”习题的浅见

现行,中学教材以及许多中学教学参考资料上常有这样一类习题: 1.写出下里数列的通项公式:3,5,7,9…… 2.写出下里数列的第五项:3,7,12,18…… 3.写出数列1/2,2/3,3/4,4/5……的通项公式,并证明这个数列是递增是界数列.(摘自北京教育学院编《高中数学总复习教学参考书》P 131) 4.说出数列的一个通项公式,使它的前四项分别是15,25,35,45(选自六年制重点中学课本《代数》高中第二册P43)     

对一类数列通项公式求法的探讨

在中学数学中,常遇到求形如以下数列的通项公式。 (1)9,99,999,……;7,77,777,……; (2)1,0,1,0,……; (3)1,1,2,2,3,3,4,4,……。对(1),一般根据数列9,99,999,……的通项公式为G_n=10~n-1,从而推出数列7,77,777,……的通项公式为a_n=7/9(10~n-1)。然而由于拼凑没有一定的规律可循,因此常带有一定的盲目性。如(3)中数列虽也可用拼凑法求得它的通项公式,但对大多数学生来讲,已是难以下手。这就使我们想到上述所举的这些数列能否用统一的思维方法给予解决呢?它们究竟有何共同的特点呢?     

特殊数列前n项和的求法

本文通过具体例题,介绍用待定系数法求特殊数例前n项和的方法。 例1 求数列1/(1·2),1/(2·3),……1/(n·(n 1))的和。 分析 要求这个数前n项和,用等比数列和等差数列前n项和的公式无法求得。但是这个数列的通项1/(n·(n 1))是一个真分式(分子的次数小于分母的次数),它可以化成部分分式。     

一题多变 变中求胜——一道递推数列求通项测试题的教学及思考

1问题提出在一次测试中有这样一道求递推数列通项公式的试题:已知数列{an}满足an+2=4an+1-4an,且a1=2,a2=5,求数列{an/(2n-1)}的通项公式.     

关于公式a_n=S_n-S_(n-1)

用公式a_n=s_n-s_(n-1)来处理数列中的某些问题,有时显得很方便。但是使用这个公式是有条件的,使用不当就会得出错误的结果。看下面的例子。一数列的前n项和等于a_n~2 b_n c(a、b、c为常数),证明此数列是等差数列。利用上面的公式,先导出数列的通项公式: u_n=S_n-S(u-1)=a(2n-1) b(n≥2)①从而得出 u_n-u_(n_1)=2a. ②由此得出此数列是等差数列的结论。这个结论是错误的,我们先看一个具体例子:设一个数列的前n项之和为S_n=n~2 n 1,照     

求高阶等比数列通项公式的方法

让我们先来看两道例题:例1已知数列{a n}:6,9,14,23,40试求该数列的通项公式.解记an+1?an=bn,则{b n}:3,5,9,17记bn+1?bn=cn,则{c n}:2,4,8.∴cn=2n.bn=b1+(b2?b1)+(b3?b2)++(b n?bn?1)=b1+c1+c2++cn?1=3+2+22++2n?1=2n+1,an=a1+b1+b2++bn?1=6+(2+1)+(22+1)++(2n?1+1)=6+(2+22++2n?1)+(n?1)=2n+n+3,∴数列{a n}的通项公式为:an=2n+n+3.例2已知数列{a n}:1,7,16,30,53,93,166试求该数列的通项公式.类似于例1可得数列{a n}的通项公式为:an=2n+n2/2+5n/2?4.总结例1与例2,若将原数列{a n}算作“第1阶”,则例1中的数列{a n}是在“逐差”至“第3阶…     

求递推数列通项的思路和方法

给了数列的递推公式和初始值,起何求它的通项呢?下面通过例题说明求这类数列通项公式的一些基本思路和方法。例1 已知数列{a_n}的项满足: 求通项a_n。我们知道,数列的项a_n是自然数n的函数,递推式是一个循环方程, 实际上是未知数为a_n,a_(n-1)……a_2的函数方程组: 根据递推数列的这一本质特征,求通项a_n就是解方程组(*),求得未知函数a_n。     

数列通项公式求法举例

好多中学生对求数列的通项公式感到困难,现将我们平时常用的几种方法归纳如下,希望对中学生有所启发。一、利用直接观察的方法求例1.求数列{a_n}:1,0,1,0,1,0…的通项公式。解:{a_n}中1与0交错出现。因(-1)~(n 1)交错取值1与-1,所以1 (-1)~(n 1)交错取值2与0,所以可得 a_n=(1 (-1)~(n 1))/2 例2.求数列{a_n}:1,1,2,2,3,3,…的通项公式。解:易看出{a_n}奇数项为(n 1)/2,偶数项为n/2,所以可设想: a_n=(n 1)/2·f(n) n/2·g(n)     

累加法在求数列通项公式中的应用

当数列{an}的递推公式为an 1=an f(n)时,通常使用"累加法"求其通项公式.即将an=an-1 f(n-1),an-1=an-2 f(n-2),……,a2=a1 f(1)各式相加得:an=a1 n-1∑k=1f(k)(n≥2).下面举例说明累加法在求数列通项公式中的应用.     

常见数列通项公式求法综述

设Sn是数列{an}的前n项和,n∈N.题型1:由an=S1 (n=1),求数列{an}的通项公式. Sn-Sn-1 (n≥2),题型1:由an=S1 (n=1),求数列{an}的通项公式. Sn-Sn-1 (n≥2)例1 在数列{an)中,a1 a2 … an=3n,求数列{an)的通项公式.     

合成数列的通项及其应用

设有两个数列{‘}及{右,}: al一a,一a3,.‘”口”, b:,西,,b3,…,b。,依次交错排列a:,西:(k=1,2,…)构成一个新的数列{x。}: a,,b:,a,,b:,…,a。,乙二,我们称上述数列{x。}为数列{么。}和{乙。}的合成数列。 本文讨论两个数列的合成数列的通项公式及其应用。 定理设数列{a’‘},{乙。}的通项分别为 a。=f(n),b矛==g(n),那么,数列{。、}与数列{阮、}的合成数列{x二}的通项为 解:将。,二f(。)=a,b。=g(:)二吞代入(1)得所求数列的通项为X”二例2合、一“,+合‘一‘,”+“口一的·求数歹l】{x。1:1,1,2,2,3,3,n,”,’..的通项.解:将a,=f(:)=n二…     

关于无穷数列的通项公式问题

在中学数学课本中,有类似下列的例题和习题:“写出下列各数列的通项公式:(1)2,4,6,8,…………,(2)3,9,27,81,…………,(3)3/4,4/5,5/6,6/7,…………,(4)100,200,300,400,…………,(5)1.1/2,1/3,………,(6)5,0,1,13,…………,等等.”表面看来,上列数列中,(1)至(5)的通项公式好像容易观察出来,即依次     

一个来自课本习题的数学模型的应用举例

在高中代数下册中,有这样一道习题:"已知数列{an}的项满足{an+1=can+d,其中ca1=b,≠0,c≠1,证明这个数列的通项公式是an=bcn+(d-b)cn-1-d/c-1(Ⅰ)"(证略)对于该数列同时有以下四个简单结论:     

构造辅助数列求数列通项公式

<正>求数列的通项公式是高考的重点之一,因此掌握数列通项公式的求法至关重要,本文就构造辅助数列求通项公式的几种情况进行论述。1.递推公式形如:a_n=pa_(n-1)+q(p,q为常数,pq(p-1)(q-1)≠0)。处理方法:(1)利用待定系数法变形为a_n+λ=p(a_(n-1)+λ),即构造数列{a_n+λ}为公比为p     

题库(二十一)

1.已知函数.f(‘:)二一 万 了十万’ ‘”求证:函数厂二，/(诩畴关于点(音，一合)对称; (2)求j丫一2)十‘/(一1)+f(O)+/(12+/(2)+j(3)的值; (3，若气一千云岁，求证:对任何“然抓总有属>矿赫 2.已知数列{“，}的前。项和为S，，且对任意自然数”总有S，~P(a’，一l)(P 是常数且P共。，户共1). (1)求数列{“，}的通项公式‘之，; (2)数列{b，，}中，I，，，二2，l+q(q是常数)，且“，=b:，aZ<拐.求P的取值范围. 3.若a. 比数列， (1)求，，: 月是方程‘r’一万石J，一卜川2一0(，，:>0)的两实根，而且a，a一凡夕成等 的值; (2)数列{。。)…     

创设数学“结构美”巧解题

数学多给人以枯燥、繁琐的印象 ,但在很多情况下数学又给我们许多美的感受 ,特别在数学解题中存在很多“结构美”,主要表现为式子结构的对称有序、数学元素 (数字、符号、式子 )的完备整齐等 .善于发现、挖掘、创设这些“结构美”会给我们解题带来意想不到的良好效果 .1　添加、删减数学元素例 1　已知数列 {bn}是等差数列 ,b1 =1 ,b1 + b2 +… + b1 0 =1 4 5.( )求数列 {bn}的通项公式 ;( )设数列 {an}的通项公式 an=loga( 1+ 1bn) (其中 a>0且 a≠ 1 ) ,记 Sn 是数列 {an}的前 n项和 ,试比较 Sn 与 13logabn+1 的大小 ,并证明你的结论 …     

数列方法与解题

数列是中学数学教材的重要组成部分。数列的核心问题是数列的通项公式,许多问题可以通过求通项公式而解决。中学数学课本中介绍的等差数列与等比数列的定义、性质和公式是研究数列问题的基础,务必掌握。递推数列也进入了数学教材以及历年高考试题,它本身也有着广泛的应用,所以也应当而且已经引起足够重视。对于数列的通项和通项公式,要明确以下几点:(1)不是每一个数列都可以写出它的通项公式的;(2)有的数列的通项公式可